1、直線與橢圓的位置關(guān)系訓(xùn)練題一、題點(diǎn)全面練22x2 y21.右直線m桿ny= 4與。O： x + y = 4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P（m, n）的直線與橢圓=941的交點(diǎn)個數(shù)是（）A.至多為1B. 2C. 1D. 0解析：選B 由題意知,2 2>2,即升m+ nn< 2, m+n22y=3x-2所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)點(diǎn)Rm, n）在橢圓x +'4=1的內(nèi)部，故所求交點(diǎn)個數(shù)是 2.2.中心為原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為F（0,5?。┑臋E圓，截直線1、，、一為2則該橢圓的方程是（）一 2 一 22x2y從兀+示12x2 2y2D. 25 + 75 = 122C.25+75= 1解析：選C由題設(shè)知c =

2、 5 J2 ,設(shè)橢圓方程2、，x為 a2-50 +22=1,聯(lián)立方程-222X+ y2= 1 ,Sa50 a消去y,整理得y= 3x 2,(10 a2-450) x2 12( a2 50) x+4(a2- 50) a2( a2-50) =0,a2印cx2 y2由根與系數(shù)的關(guān)系得 x1 + x2=，：0a2_£ =1,解得a2=75,所以橢圓方程為25+75 = 1.x223.斜率為1的直線l與橢圓7 + y=1相交于A B兩點(diǎn)，則| AB的最大值為8 110 rA. 2C4；10C. 5解析：選C設(shè)A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（Xi, y1）, （x2, y2）,直線l的方程為y=x+t

3、,'X2 2,彳+y =1,消去 y,得 5x2+8tx + 4(121) = 0,XiX2 =t2-j5y=x+t,8,則 Xi+ X2= 一 二t)5，|AB = 5Tk2 |Xi-X2|=1 + k2 -X1 + X2 2 4X1X2maX一當(dāng)t =0時,|AB5X224.設(shè)Fi, F2分別是橢圓-+y2=1的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)一 ， 一色P,使（OP +O2）記 = 0（o為坐標(biāo)原點(diǎn)），則4 FiPb的面積是（）A. 4C. 2B.3D. 1解析：選 D . ( OP+ OF) PR =( OP- OF) PR = F1P P桎=0,PFXPR,/ FiPF2=90&

4、#176; .設(shè) | PF| = m |PF2|=n,則 m+ n=4, ni+ n2= 12,2 mn= (n) 2- n2-n2= 4,c 、1.mn= 2, . J 金=2mn= 1.5.過橢圓C： X2 + y2= 1（a>b» 0）的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交 a d橢圓C于另一點(diǎn)B,且點(diǎn)B在X軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F.若1 vkv；32則橢圓C的離心率的取值范圍是（）1 34' 4D. 0, 2A.23解析：選C由題意可知,| AF| = a+ c,|BF =于是a+ ca2 c2 , 1所以3<a a+c11 1 e2<2,化間可得3<7

5、7e112< ",從而可得< e<",選C.2236.已知Fi（ 1,0） , F2（1,0）是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，過F2且垂直于X軸的直線與橢圓 C交于A, B兩點(diǎn)，且|AB = 3,則C的方程為.解析：設(shè)橢圓 C的方程為，+看=1(a>b>0),則c=1.因?yàn)檫^F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于 A, B兩點(diǎn)，且 |AB = 3,所以b2 = a2 c2,所以 a2= 4, b2= a2 c2=4 1 a 2=3,橢圓的方程為Xr+yr=i. 4322答案：x+y3-=iX227 .過點(diǎn)M2,0)的直線m與橢圓,+ y = 1交于Pi, P2兩

6、點(diǎn)，線段 PiP2的中點(diǎn)為P,設(shè)直線m的斜率為ki(kiw0),直線 O用斜率為k2,則kik2的值為.解析：過點(diǎn)M2,0)的直線m的方程為y0=ki(x+2),代入橢圓方程化簡得(2k2+i)x28 28ki4ki2ki+ 8kiX+8ki-2=0,所以 Xi + X2=2kY，所以點(diǎn) P區(qū)不7，2kT7直線 OP的斜率 k2 =工2ki'所以- ikik2= .2- i答案：28. (20i9 廣州模擬)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(i,0)，點(diǎn)F關(guān)于直線iy=2X的對稱點(diǎn)在橢圓 C上，則橢圓C的萬程為 .22解析：設(shè)橢圓方程為，點(diǎn)=i(a>b>0),由題意可

7、知c= i,即a2b2= i，設(shè)點(diǎn)F(i,0)解得35,關(guān)于直線y=2X的對稱點(diǎn)為(m n),可得言=2.又因?yàn)辄c(diǎn)F與其對稱點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為i n , , , , , i 一 ，n i i _一，2 i；且中點(diǎn)在直線y=5X上，所以有n=2x2一，聯(lián)立,一 3 4，、一9 i6 _ .r 2924 一即對稱點(diǎn)為(5, 5)代入橢圓方程可得 瑞+薪,，聯(lián)立，解得a2=5, b2=-,所以橢圓方程為何+5X2 5y2答案：+-；7= i949. (20i9 長春監(jiān)測 )已知橢圓 C的兩個焦點(diǎn)為Fi( - i,0) , F2(i,0)，且經(jīng)過點(diǎn)Eg 孚,.(1)求橢圓C的方程；(2)過Fi的直線l與橢

8、圓C交于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方)，若磊 線l的斜率k的值.2a= | EF| + | EF>| =4, 解：(1)由歸2= b2 + c2,c= 1,j-a= 2, 解得c= 1，、b= J3,22所以橢圓C的方程為:+ =1.43(2)由題意得直線l的方程為y=k(x+1)( k> 0),y=k x+1 ,飛聯(lián)立彳x2 y2整理得17+4 y2 y 9= 0,4 + 1=1,kk144A =l+144>0,設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2), k2,6k9k則 y1+y2=37, y1y2=3Z4k25又而* =2幅，所以y1=2y2,所以 丫以2= 2(

9、y1+y2)2,則 3+4k2=8,解得k= ±乎,又k>0,所以k=乎.2210. (2018 成都模擬)已知橢圓C：與+y2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(V3,a b與短半軸的比值為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M N若點(diǎn)B(0,1)為直徑的圓上，求直線 l的方程.解：(1)由題可知 c=3, a=2, a2=b2+c2, b.二 a= 2, b= 1.Cx22，橢圓C的萬程為二十 y=1.42 F1B,求直0),長半軸在以線段MN(2)易知當(dāng)直線l的斜率為0或直線l的斜率不存在時，不合題意.當(dāng)直線 l的斜

10、率存在且不為0時，設(shè)直線l的方程為x= m什1, Mxi, yi), N(X2, y2),= my+ 1,聯(lián)立彳x22消去x可彳# (4+m)y2+2my- 3 = 0.7+y = 1一 2 , - C ,2m3A = 16m+48>0, yi + y2=-2, yiy2 = -2.4 4 4+ m 4+ m 點(diǎn)B在以MN直徑的圓上， BM , BN = 0. .,.2.，.、，、 一 一. BM - BN= ( my+1 ,yi 1) ( my+1 ,y21) = (m+ 1)yiy2+(m-1)( yi +y2)+2= 0, .(ni+1) + (m-1) - -m21+ 2=0,4

11、+m4+m整理，得 3ni-2m-5=0,解得 m= - 1 或 m= |. 3 直線l的方程為 x+y1 = 0或3x5y 3=0.二、專項(xiàng)培優(yōu)練(一)易錯專練一一不丟怨枉分1.已知點(diǎn)P是橢圓3+y= 1(xw0, yw0)上的動點(diǎn)，F(xiàn)i, F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，16 8o是坐標(biāo)原點(diǎn)，若 m是/ FiPE的平分線上一點(diǎn)，且 “ IMP = 0,則i-oM|的取值范圍是()A. 0,3)B. (0,22)C. 2 小，3)D. (0,4解析：選B如圖，延長FiM交PE的延長線于點(diǎn) G2Lp一一一一,FiM - MP= 0,FiM± MP.工G又MP / FiPE的平分線，|PF

12、| =| PG,且 M為 FiG的中點(diǎn).1_ O為F1F2的中點(diǎn)，-OM詼2F2G |F2G =| PE| IPGI =11 PF| | PE| ,，|屈=2|2a-2| PE| =|4 -|PE|. 42m|PE| V4 或 4V | PF>| <4+22, . | "OM| C (0,2 的.2.已知橢圓2，+y2=1,圓C： x2+y2 = 6a2在第一象限有公共點(diǎn)P,設(shè)圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為k1 -橢圓M在點(diǎn)P處的切線斜率為k2,則廠的取值范圍為(k2A. (1,6)B.(1,5)C. (3,6)D. (3,5)解析：選D2由于橢圓M X2+y2=1,aC x2

13、+y2=6a2在第一象限有公共點(diǎn)P,所以a2>6- a2,26a2解得3va<5.設(shè)橢圓M2 X 02+y2=1與圓C： x2 + y2= 6 a2在第一象限的公共點(diǎn)P(xo, y°),則橢圓M在點(diǎn)P處的切線方程為 等+ y0y=1,圓C在P處的切線方程為 xox+ y0y=6 a2, 所以 k1=y, k2=X0a”' '=a：所以 £。(3,5) 3.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)Q頂點(diǎn)分別是 A, A, B, B2,焦點(diǎn)分別為Fi, F2,延長B1F2與AR交于P點(diǎn)，若/ BPA為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為解析：設(shè)橢圓的方程為 b2=

14、1(a>b>0), / BPA為鈍角可轉(zhuǎn)化為 BA2, F2B1所夾的角為鈍角，則(a, b) ( c, - b) <0,即 b2<ac,則 a2 c2vac,故c 一一一1 >0,即 ae2 + e 1 >0,解得 e>或 e<一乖一1，又 0 V e< 1,所以更 < e< 1.答案:于點(diǎn)Ma,0 j,則橢圓的離心率 e的取值范圍是解析：設(shè) A(X1, y1), B(X2, y2) , X1WX2,a，24.已知橢圓|2 + b2=1(a>b>0) , A, B為橢圓上的兩點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線交x軸+y2=

15、 32-a)+y22X1 y1 則二+ 72= 1 , a b22譚+襄1, a b2a22122xi X2= xiX2+yiy2,52.2 b 2即yi= b a2xi,I y2=b2-02x2,2a,、a2- b2, 22、所以(x1 x2) = -a2-( x1 x2),一2a3所以 aab=x1+x2.又一aw x1< a, - a<x2< a, x1*x2,2a3八所以一2a<xI +x2V 2a,貝_a2_ b2 < 2a,即b2<4 所以 e2=1-b2>1.a 5a 5又 0ve1,所以15ve1.答案:(二)難點(diǎn)專練一一適情自主選5.

16、 (2018 唐山模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，長為1的線段的兩端點(diǎn) C D分別在x軸，y軸上滑動，TCP =/"PD.記點(diǎn)P的軌跡為曲線 E (1)求曲線E的方程；一、 , ， ， 一 .、.一. - . ，., , (2)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)作直線與曲線 E相交于A, B兩點(diǎn)，OM= OA+ OB,當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時，求四邊形 AOBM面積.解：(1)設(shè) C(m,0) , 口0 , n) , Rx, y).由T：P =/ 言,得(xm y) = 2( -x, n-y),x- m=-y=取n-y ，/m=V2 + 1 x,得由 "CD =<2+1,得 m+n2=(而+1)

17、2,所以(啦+1)2x2+啦;I-y2=(啦+ 1)2,2整理，得曲線 E的方程為x2+y2=1.(2)設(shè) A(xi, yi) , ”, y2),_ 2，.由 OM= OA+ OB,知點(diǎn) M坐標(biāo)為(X1+X2, y + y2).由題意知，直線 AB的斜率存在.設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,代入曲線 E的方程，得(k2+2) x2+2kx1 = 0,一2k則 x1+ x2=卜2+ 2，1k2+2.y1 + y2= k(x1 + x2) + 2 =/十2.2由點(diǎn)曲曲線E上，知(x+x2) +2y1+y2=121)這時 | AB = ,1 + k21 x1 x2| =小7x1Tx22 4x1x23

18、22,原點(diǎn)到直線 AB的距離d =為E,過點(diǎn)F且斜率為22，一，一一 x y 6. (2018 成都一診)已知橢圓-+=1的右焦點(diǎn)為所以平行四邊形 OAMB勺面積S=|AB d = "6.F,設(shè)直線l : x=5與x軸的交點(diǎn)(1)若直線l 1的傾斜角為字求| AB的值；(2)設(shè)直線AM直線l于點(diǎn)N,證明：直線 BNL l .解：由題意知，F(xiàn)(1,0) , E(5,0) , M3,0) ., 兀,.、(1)二.直線1i的傾斜角為 7，二斜率k=1.，直線1i的方程為y = x- 1.代入橢圓方程，可得 9x2-10x-15=0.105設(shè) A(xi, y1) , B(x2, y2),則 xi + X2=, xiX2= - -.93.|Ab2 _Xi +x2_2 4XiX2=0臉+八5=噂.(2)證明：設(shè)直線li的方程為y=k(