1、2.三角形的表示 ABC中，邊：AB BC AC 或 c, a, b.頂點(diǎn)：A B, C .內(nèi)角：/ A , / B , / C.二、三角形的邊1.二角形的二邊關(guān)系：(證明所有幾何不等式的唯一(1) 三角形任意兩邊之和大于第三邊：b+c>aABQI方法）八年級(jí)數(shù)學(xué)講義第11章 三角形一、 三角形的概念1 .三角形的定義 由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖 形叫做三角形要點(diǎn)：三條線段；不在同一直線上；首尾順次相 接.2 2)三角形任意兩邊之差小于第三邊：b-c<a判斷三條已知線段a、b、c能否組成三角形.當(dāng)a最長(zhǎng)，且有b+ca時(shí)，就可構(gòu)成三角形.確定三角形第三邊的取值范

2、圍：兩邊之差 第三邊 兩邊之和.2.三角形的主要線段三角形的高線從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的 線段叫做三角形的高線.銳角三角形三條高線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；直角三角形三條高線交于直角頂點(diǎn)；鈍角三角形三條高線所在直線交于三角形外部一點(diǎn)三角形的角平分線三角形一個(gè)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的 頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線 段叫做三角形的角平分線。三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)連結(jié)三角形一個(gè) 頂點(diǎn)與它對(duì)邊中的線段叫做三三角形三箱形®3)三角形的中線三角形的三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)三、三角形的角1三角形內(nèi)角和定理結(jié)論 1: ABC 中：/A+/ B+/ C=180中

3、至少有2個(gè)銳角結(jié)論2:在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余.中至多有1個(gè)鈍角注意：在三角形中，已知兩個(gè)內(nèi)角可以求出第三個(gè)內(nèi)角 如：在 ABC中，/ C=180 (/ A+/ B)在三角形中，已知三個(gè)內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，求各內(nèi)角.如：ABCt 已知 / A: /B: /C=2 3: 4,求 / A、/ B、/C 的度數(shù)2三角形外角和定理外角：三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的角.性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角三角形的一個(gè)外角與與之相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)外角個(gè)數(shù)：過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)有兩個(gè)外角，這兩個(gè)角為對(duì)頂角(相等) ，可見(jiàn)一個(gè)三

4、角形共有6個(gè)外角四、三角形的分類(lèi)(1)按角分：銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形(2)按邊分：不等邊三角形 底與腰不等的等腰三角形 等邊三角形五多邊形及其內(nèi)角1、多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段 首尾順次相接組成的圖形叫做 多邊形.2、正多邊形：各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形 3、多邊形的對(duì)角線(1)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n 3)條對(duì)角線，將多邊形分成(n 2)個(gè)三角形。制 5 3)(2)n 邊形共有 £ 條對(duì)角線。4、n邊形的內(nèi)角和等于(n-2) - 180 (n>3, n是正整數(shù))。任意凸形多邊 形的外角和等于360多邊形外角和恒等于360°

5、,與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).多邊形最多有3個(gè)內(nèi)角為銳角，最少?zèng)]有銳角(如矩形)；多邊形的外角中最多有3個(gè)鈍角，最少?zèng)]有鈍角.5、實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360 ;相鄰的多邊形有公共邊?！究键c(diǎn)三】判斷三角形的形狀8、若 ABC勺三邊 a、b、c 滿(mǎn)足(a-b ) (b-c) (c-a) =0,試判斷 ABC勺 形狀。9、已知a, b, c是 ABC的三邊，且滿(mǎn)足a2+b2+c2=ab+bc+ca,試判斷 ABC的形狀。10、若ABC勺三邊為 a、b、c（a與 b不相等），且滿(mǎn)足 a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0,試判斷 ABC勺形狀。二、三角形角有關(guān)計(jì)算1.如圖AA

6、BC中AD是高,AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O,/A= 50 , /C =70 求/ DAC/AOB解AD是zABC的高，/C = 70. /DAC =180 -90 -70 =20: /BAC =50/ABC =180 -50 -70 =60 AE和BF是角平分線/BAO =25 , /ABO =30/AOB =180 -25 -30 =1252 .如圖，ABC ,D是BC邊上一點(diǎn)，/求/ DAC勺度數(shù)B A3 .已知：P是ABCft任意一點(diǎn).求證：輪延長(zhǎng)BP支AC于點(diǎn)D./BPC是APDCtSI：<ZBPC>ZPX 同理可得/PDC>NA BD是ACH上的需二 ZB

7、POZA1= /2, /3=/4, / BAC= 63解設(shè)1 X012,2 x01312 2x0,（卜 又 344 2x00又2 4BAC 180x 2x 630 1800x 390DAC 630 390240/ BPC> /A 入4.如圖，/ 1=/2,Z3=Z 4, / A= 100 ,求 x 的值«?：VZ1=Z2 &N4AZABC=2Z2 ZACBIZ4在 A 中 N A+/ ABC +/AC B=18(T AZA+2(Z2+Z4H800v za= m°AZ2+Z4=40°7Z2+Z4+x=180aAx-ur5 .已知zABC勺/ B、/ C

8、的平分線交于點(diǎn) O。求證：/ BOC=90 +/A （角平分線模型）證明：TBO、COAZBs /C的平分線A Z1=Z2Z3=Z4在 BOC 中 / BOC+/2+/3=1AZ2+Z3=l«0° - NBOC在中 ZA+ZAIK+ZA( B=lS(rAZA+2(Z2+Z3)=18OaZA+2(l«00 -ZBOC>1SOw6 .已知：BR CPM ABC勺外角的平分線，交于點(diǎn)P。求證：/P=90° -A （角平分線模型）證明:1'RP、CP是外角平分線:.Zl=Z2 Z3=Z4 二/EBC是AABC的外席 二 ZEBC=ZA+ZACB=Z

9、A+(1S(r -Z3-Z4)A ZEBC=Z1+Z1 lZl=ZA+(lSfl° -2Z3) 2/l+2Z3=/A+lHir PBC 中，/H/3=1MT -/PA ZA+1S0* =2(180° -ZP)1 /f - ZA7. zABC中，/ ABC勺平分線BD和AABC的外角平分線 CD交于D,求證:/ A=2Z D （角平分線模型）證明:YBD、CD是角平分線:.Nl=/2Z3=Z4在 ZiBDC 中 N4/2+ND, Z3=Z2+ZD在 AABC中 ZACE=ZA+ZABCA2Z3=ZA+2Z2A2(Z2+ZD>= NA +2/2：、ZA=2ZI)8. AO

10、Efr, /AOB=90 , / OAB勺平分線和 ABC勺外角/ OB評(píng)分線交于P,求/ P的度數(shù)解二RP是甫平分疑A Z1=Z2Z3=Z4在口中 Z4=/2+/P/-Z3=Z2+ZP在 ABO中 ZOBD=ZO+ZOAB% 2 Z3=Z 0+2 Z2A2(Z：+ZP)=ZO+JZ2二 ZO=2ZP二 /P=45"9. 如圖：求證：/ A+/ B+/ C=/ ADC（飛鏢模型）證明:連接BD并運(yùn)式到EVZADE=ZABIHZAZDE=ZCBIHZCV ZAIXZABD+ZC BDZAB(=ZABD+ZA；.ZA+ZABOZCZAIK第12章 全等三角形一、全等三角形的概念與性質(zhì)1、

11、概念：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。(1)表示方法：兩個(gè)三角形全等用符號(hào)“二”來(lái)表示，記作ABC二DEF2、性質(zhì)：(1)對(duì)應(yīng)邊相等(2)對(duì)應(yīng)角相等(3)周長(zhǎng)相等(4)面積相等、全等三角形的判定1全等三角形的判定方法：(SAS ,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)邊邊邊(SS9邊角邊(SA9角邊角(ASA)角角邊AAS直角邊和斜邊(HD2.全等三角形證題的思路:找?jiàn)A角（SAS）已知兩邊找直角（HL）找第三邊（SSS）若邊為角的對(duì)邊，則找任意角（AAS）已知一邊一角找已知角的另一邊（SAS）邊為角的鄰邊 找已知邊的對(duì)角（ AAS）找?jiàn)A已知邊的另一角（ASA）皿上 找兩角的夾

12、邊（ASA）已知兩角加田/、找任后一邊（AAS）3全等三角形的隱含條件：公共邊（或公共角）相等 對(duì)頂角相等利用等邊（等角）加（或減）等邊（等角），其和（或差）仍相等利用平行線的性質(zhì)得出同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等全等三角形（SA9【知識(shí)要點(diǎn)】?jī)蛇吅退鼈兊膴A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SA6,幾何表示如圖，在 ABC和DEF中, AABIS AACD (SASBE=CD.【例2】如圖，已知：點(diǎn)口 E在BC 上，且BD=CE AD=AE / 1 = /2, 由此你能得出哪些 結(jié)論給出證明.AB DEB E ABC DEF(SAS)BC EF【典型例題】【例11已知：如圖，AB=ACAD=

13、AE 求證：BE=CD.證明：在4ABE和AACD/ AB=AC ,/ZZBAE=ZCADAD=AEi正明：二" AB DEJ.A=" AF=DC.二 AF+FC DC+FC二 AC=DF在A ABC和 DEF中AB = DE，上 A " DAC=DFA ABC A DEF (SAS)/.一口FE=ACSBC/EF【例3】 如圖已知：AE=AF AB=AC /A=60 , /B=24 ,求/BOE勺度 數(shù).【例4】如圖，點(diǎn)【例5】如圖，均為等邊三角形已知 ABC BDE求證：BA CD=一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，AB/ DE且AB=DE AF= D

14、C 求證：BC/ ER全等三角形（SS9【知識(shí)要點(diǎn)】三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SS6幾何表示【典型例題】【例11如圖，在ABC 中，M在 BC上，D 在 AM上，AB=AC , DB=DC求證：AM是ABC的角平分線證明：在ABDffi AACDF-J-二解析：是AC的中點(diǎn)（已奈口）,AD-CD在 AAB 口和也0日口中【例2】如圖：在 ABC, BA=BCD是AC的中點(diǎn)。求證：BDLACAB=ACDB=DCAD=AD.AB匿 AACD (SSS). ZBAD=ZCAD例 3.如圖：AB=CDAE=DF CE=FB又AB=AC.MB=MC求證：/ B=/ CoCp(圖

15、22)BA=BC （己知）AD=CD （已證）BD=BD C公共邊）/, /ABD/CBD Csss）/A口B=/GDB（企箸三角彩的對(duì)應(yīng)用相等）J ADB+CDB180" （平面定義）ABD±AC 至立定義）.AM是ABC的角平分線（三線合例4.如圖，在ABC中，C 90 ,口E分別為AC、AB上的點(diǎn)，且AiLAD=BD,AE=BC,DE=DC證：DEL A口AA6,證：BC=EF全等三角形（AA9【知識(shí)要點(diǎn)】?jī)蛇吅退鼈兊膴A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“【典型例題】【例11已知如圖，A D,AB DE,AB/DE,求CE相交于點(diǎn)【例2】如圖，AB=AC

16、B C,求證：AD=AE【例3】已知：如圖，ABAC BD AC CE AR垂足分別為D E, BDF,求證：BE=CD【例4】已知如圖，1 2, 3 4,點(diǎn)P在AB上，可以得出PC=P明試證明之.AA【知識(shí)要點(diǎn)】?jī)蛇吅退鼈兊膴A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成全等三角形（ASA【典型例題】證明:【例1】如圖，已知ABC中，AB AC, BE、CD分別是 ABC及ACB平分線.求證：CD BE .J AB=AC二上AEC=/ACE/* BE, CD分別是Z ABCACB的平分二1E8C= jTDCBAABCDACBE'上口CH=上 EHCBG = BC上 ABC=/ ACB二 ABGD

17、ACBE (ASA) .CD=BE【例2】如圖，在 MPM, H是高M(jìn)CJ口 NR的交點(diǎn)，且MQ= NQ求證：H*PM.證明：. MCJ口 NR是MPN勺高，./MQN/MRN90 ,又./ 1 + /3=/2+/4=90° , /3=/4./1 = /212在 AMPCjn NHQK MQ NQMQP NQH. MP NHQ (ASA PM= HN【例3】已知：如圖AC1 CD于C , BD LCD于D , M是AB的中點(diǎn)，連結(jié)CM并延長(zhǎng) 交BD于點(diǎn)F。求證：AC=BF全等三角形（HL）【知識(shí)要點(diǎn)】直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“HL'【典型例題】1、如圖

18、，AB= CD DHAC BF,AC E, F是垂足，de = bf.求證：ab/cd.解析：VDE±AC BF_LAC（已知）*/AFB=/CE口二9。氣垂立定義）在4CED和AAFB中DE= BF （已知） :ZAFB=ZCEOU）AB = CD（已知）/. ACED A AFB （HL）A=/ C （全等三角形的對(duì)應(yīng)向相等 ，ABCD（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）例 2、已知：BEL CD BE= DE BG= DA 求證： zBEC2 A DAE D吐 BC例3、如圖：在 ABC中，/C=90° , AC=BC過(guò)點(diǎn)C在4ABC外作直線 MN AML MN于 M BNL M

19、NT No (1)求證：MN=AM+BN全等三角形常見(jiàn)輔助線的作法 一倍長(zhǎng)中線法倍長(zhǎng)中線法：就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等 三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法.ASAS倍長(zhǎng)中線法的過(guò)程：延長(zhǎng)XX到某點(diǎn)，使什么等于什么（延長(zhǎng)的那一條），用 證全等（對(duì)頂角）方法總結(jié)：遇中線，要倍長(zhǎng)，倍長(zhǎng)之后構(gòu)造全等三角形_,轉(zhuǎn)移邊、轉(zhuǎn)移角，然后 和已知條件重新組合解決問(wèn)題【例題精講】例1、如圖1,在AB。, AD為BC邊上的中線.求證：AE+AC>2AD分析：因?yàn)锳D為中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使DEfAQ連接CE進(jìn)而利用全等三角形的判定（SA0 AABD2zECD由全等可得_AB

20、=EQ_;證明：延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD連接EC.一A-八ADrDCDB在 ACDEJ口 zBDA中 * -圖L,DEAD/ CDEM BDADCDB.CD 國(guó) ABD/A (SA9.CEAB在AEM CE+AC>AE CEAB.AB+AC>AE VDEAD AE2AD ; AB+AC>AE . AB+AC>2AD例2如圖CB CM 別是鈍角 AEG 口銳角ABC勺中線，且AGAB求證：CE=2CD證明：延長(zhǎng)CD至，使DF=CD連接BF,在 NAD可口/ BDCJF AD=BDYZADF=z BDCLCD=DF./AD* /BDC.AF=BCAF/ BC. / CAF

21、吆 ACB=180 ,: /ACBh ABC / ABC廿 CBE=180/CAFh CBE又因?yàn)?AC=BEH/CA*/CBE.CE=CF例3、 如圖，在 ABC中，AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF / AD交CA的延長(zhǎng)線于 點(diǎn)F,交EF于點(diǎn)G,若BG CF ,求證：AD為 ABC的角平分線.證明：延長(zhǎng)FE到點(diǎn)H ,使HE FE,連結(jié)BH .在CEF和 BEH中CE BE CEF BEH FE HE/. CEF 省 BEHEFC EHB , CF BH BGEHB BGE ,而 BGE AGF二 AFG AGFAFG CADAGF BAD又 EF II AD例4、如圖，在 abc中，a

22、d是bc邊的中線，E是AD上一點(diǎn)，且 BE= AQ 延長(zhǎng)BE 交AC于點(diǎn)F.求證：AF= EF證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G,使AD=DG連結(jié)BG:ad是bc邊的中線DC=DB在ADCS! AGDEfAD=DG/ADCM GDBDC=DB.ADC2 A GDB (SSS/ CA>/BGD BG=ACX v BE=AC .BE=BG/BEDWG /BEDh AEF,./AEF之 CAD即：/AEF之 FAE AF=EF二截長(zhǎng)補(bǔ)短法截長(zhǎng)：1.過(guò)某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線2.在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。【例題精講。一-一_-F例 1.如圖， ABC中，/ACB= 2/B,

23、 Z 1證法一：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至點(diǎn)F,使得AF=AB在ABDffi AFD 中AB= AF4 /1= N2AD=AD=/2 求證：AB= AO CD.AB乎 AAFED ( SA0 / B= / F . /ACB= 2/B./ACB= 2/F而 / ACB= / F+ / FDC./ F= / FDC .CD= CF而 AF= AO CF .AF= AO CDA補(bǔ)短：1.延長(zhǎng)短邊,敘通過(guò)旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起.AB= AO CD在AB上截取A& AQ 連結(jié)DE在AEDffi ACM.DE=DC, /且見(jiàn)ANC7 乙獨(dú)3 = /3 + N 瓦W= 22/5=/田十/酩E.1.Z5 = /KDB：.RS =