1、河南省南陽市2020屆高三數學上學期期末考試試題 文第I卷（共60分）、選擇題：本大題共 12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合 A=；x1 wx ：二3;B=x x2 44,則AI (RB產()A. 1,2 B 1-2,1 C . 1,2 1. 1,21 -i2.已知 !=1+i （i為虛數單位），則復數 zB . 1 -i C . -1 i -1-i3. 已知雙曲線 C的一條漸近線的方程是:= 2x,且該雙曲線 C經過點（v,2,2）,則雙曲線c的方程是（=1714c 222y x714二1C.22 xy1422 y dx - -

2、 =144.設 sin53 ° = a,則 cos2017 '=(A.-a C1 - a25.從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為（A.9256.A.C.7.y -x -1已知實數x,y滿足2x + y之3,則目標函數I2y -x -6z=2x 3y (zmaxzmax如圖,-7 , z無最小值網格紙上小正方形的邊長為 zmax zmax113113zmin - -7z無最小值1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的外接球的表面積V =（）A. 2 B .4 C.8 D . 43338 .運行如圖所示的程序框圖，則輸出結果為（）零降J : 一|s=5+

3、（二iy * HI k=kl睡A. 2017 B . 2016 C . 1009 D , 1008（ 冗、9 .為得到y(tǒng)=cos 2x- I的圖象，只需要將 y=sin2x的圖象（6nA.向右平移一個單位3nB.向右平移一個單位6nC.向左平移一個單位3nD.向左平移一個單位610.函數 f (x )=ln3 .，-x的大致圖象為（A.B . C . D1111.*11.設數列 an的通項公式 an=-+L +(nw N ),右數1 12 1 2 31 2 3 L n列an 的前n項積為Tn ,則使Tn >100成立的最小正整數 n為()A. 9B . 10 C . 11 D . 121

4、2.拋物線C : y2 =2px( p >0)的焦點為F,過F且傾斜角為60。的直線為l,M(3,0), 若拋物線C上存在一點N ,使M ,N關于直線l對稱，則p =()A. 2B . 3 C.4 D .5第n卷(共90分)二、填空題(每題 5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)13 .曲線f(x) = 2x-ex在點(0, f (0 )處的切線方程為 .IUKJ ruI14 .已知點 A(2,m), B(1,2), C(3,1),若/BBC AC = 0 ,則實數 m 的值為.15 .已知 MBC得三邊長分別為3,5,7 ,則該三角形的外接圓半徑等于 .a2 b216 .若不等式 一-

5、十1至m(a+b )對任意正數a,b恒成立，則實數 m的取值范圍為.三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17 .等差數列 QJ中，已知anA0 ,a1+ a2+a3=15 ,且a1+2 ,a2+5,a3+13 構成等比數列bn 的前三項.(1)求數列 /bn 的通項公式；(2)設cn =an bn,求數列cn的前n項和Tn.18 .某二手車交易市場對某型號二手汽車的使用年數x(0<x<10 )與銷售價格y (單位：萬 元/輛)進行整理，得到如下的對應數據:使用年數246810售價16139.574.5nV xyi - n xy _(1)試

6、求y關于x的回歸直線方程；(參考公式：I? =,夕=y -bX .)noJ22v X - nx i 4(2)已知每輛該型號汽車的收購價格為w = 0.05x2 1.75X+17.2萬元，根據(1)中所求的回歸方程，預測x為何值時，銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤z最大？19.如圖，在三柱 ABC AB1cl 中，側面 ABB1Al 為矩形，AB=1, AA=J2, D 是 AA1的中點，BD與AB1交于點O ,且CO，平面ABBA .(1)證明：BC _L AB1 ；(2)若OC _L J2OA ,求三棱柱ABC A BC1的高.2220 .平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C:0+4=1 ( a

7、 > b > 0 )的左焦點為F ,離心 a b率為口，過點F且垂直于長軸的弦長為 無.2(1)求橢圓C的標準方程；(2)若過點P(-2,0)的直線與橢圓相交于不同兩點M、N ,求AMNF面積的最大值.21 .已知函數f (x )=ln x+ax2+bx (其中a, b為常數且a=0)在x = 1處取得極值.(1)當a=1時，求f (x)的單調區(qū)間；(2)若f(x )在(0,e】上的最大值為1,求a的值.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22 .選修4-4 :坐標系與參數方程，一一 x=1+t cosct .在直角坐標系xoy中，直線l的參數方程

8、為3(t為參數)，在極坐標系(與直y =2 + tsinau J角坐標系xoy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，圓 C的方程為P=6sin日.(1)求圓C的直角坐標方程；(2)若點P(1,2),設圓C與直線l交于點A,B ,求| PA |十|PB |的最小值.23 .選修4-5 :不等式選講已知a>0, b >0 ,函數f (x) =| x-a |+| x + b |的最小值為2.(1)求a +b的值；22(2)證明：a +a>2與b +b >2不可能同時成立.2017秋期終高三數學試題參考答案（文）、選擇題1-5:ACDBB 6-10:CC

9、DDC 11、12: CA二、填空題13. xy1=014 .工 15. 73-16.(應,133三、解答題17 .解析(1)設等差數列的公差為 d ,則由已知a1 +a2 +a3 =15 =3a2 a2 =5又(5d +2)(5+d +13) =100，解得 d =2或 d =13 (舍去)a1 =3 ,an =2n +1又 b1 =5,b2 =10 ,q =2,，bn =5 2n(2) Cn =an bn = 5(2n 1) 2ndTn =53 5 2 7 22， ，(2n 1) 2n2Tn =53 2 5 22 :;+(2n -1) 2n,(2n 1) 2n兩式相減得-Tn =53 2

10、2 2 222 2n,-(2n 1) 2n= 5(1 -2n) 2n -1則 Tn =5(2n -1) 2n 1_5518 .解：(1)由已知：x =6, y =10 ,2 Xi yi = 242 , Z x2 = 220,i 1i 1n“ Xy -nxy_1? = = -1 , 3 = y-1?<=18.7 ；，22xi -nxi 1所以回歸直線的方程為7?=1.45x 18.7(2) z = 1.45x 18.7 一 0.05x2 -1.75x 17.22=-0.05x0.3x 1.52=0.05(x3) +1.95,所以預測當x =3時，銷售利潤z取得最大值.19.解：（1）在矩形

11、 ABB1Al中，由平面幾何知識可知 AB1 _L BD又 CO_L平面 ABB1A1, . AB1 _LCO,CoCbD=D , BD,CO?平面 BCD, AB1 _L 平面 BCD ,BC ?平面 BCD , 二 BC .L AB1.3、6（2）在矩形 ABB1Al中，由平面幾何知識可知 OA =, OB =,62.3OC = V2OA，OC = . AC = 1, BC =, Saabc33又 SA ABA 1設三棱柱ABC AB1C1的高為h,即三棱錐 A1 ABC的高為h.2,由V三棱錐C _ABA, = V三棱錐A -ABC得SAABC h SA ABA 1 OC , h 展.c

12、20.解：（1）由題息可得e=一b2令x = -c,可得y=±,即有 a2b2=4,又 a2 -b2 = c2,所以 a = 42 , b =1.所以橢圓的標準方程為(2)設 M(x，y1)N(x2, y2)直線 MN 方程為 x = my-2 ,代入橢圓方程，整理得(m2 +2)y2 -4my +2=0,則=16m28(m2+2)=8m216>0,所以 m2 a 2 .4m二段S MNF1= -|pf I |y fl,8m2 -16m2 2.m2 -22m -2,24當且僅當、m2 -2 =0,2m -2(此時適合 > 0的條件)取得 2ax2 +bx,則AMNF面積的

13、最大值是 421 解：(1)因為 f (x )= ln x +,1所以 f x = - 2ax - b . x因為函數f f (x )= ln x+ax2+bx在x=1處取得極值,所以 f 1 =1 2a b =0.- 2當 a=1 時，b = 3, f <x )=2x -3x 1 xf '(x ), f (x )隨x的變化情況如下表:X(0亨i2(9/)1(1, + 9)r+00*極大值極小值所以f(x )的單調遞增區(qū)間為：0,1J 和(1尸)，單調遞減區(qū)間為l-,1 j.22fix)”2'xf一一.一1令 f (x )=0,解得 x1 =1,x2 = 2a因為f （x

14、譙x=1處取得極值，所x2 =1=1.2a.1當一 <0時，f（x用（0,1）上單倜遞增，在（0,e上單倜遞減.2a所以f（x處區(qū)間（0,e上的最大值為f（1）.令 f (1)=1,解得 a = -2上單調遞增,在,11 i上單調遞減，在（1,e）上單調遞增, 2a'、“1 .一1當 0<1 時，f (x 心,0,1所以取大值1在x =或x = e處取得.2a2Mln 2 a 2a -2a 1=ln2a 2a 4a-1<0,所以1< 一2a<e時，f（x）在區(qū)間（0,1）上單調遞增，在11上單調遞減，在i,ei上單調2a,21f (e) = ln e+ae

15、 (2a +1 )e = 1 ,解得 a =a -2遞增.所以最大值1在x =1或x=e處取得.而 f =ln1 +a(2a +1 )<0 ,所以 f (e ) = ln e+ae2(2a+1 )e =1 ,1,1斛得a =，與1 < < e矛盾.e -2 2a1一之e時，f x城區(qū)間0,1上單調遞增，在 1,e ）上單調遞減，所以最大值1在x = 1處2a取得，而 f (1 )=ln1 +a(2a+1 )#1 ,矛盾.一一1,綜上所述，2=或2 = 2.22 .解：（1）由P = 6sinH得P2=6Psin日，化為直角坐標方程為 x2+（y 3）2=9（2）將l的參數方程

16、代入圓 C的直角坐標方程，得t2+2（coso（since）t-7 = 0 （*） 由 =4（sinc（cost/）2+28 >0,故可設上是方程（*）的兩根,t1 +t2 =2(sins -cos«)t t2 = -7又直線過點P(1,2),故結合t的幾何意義得：|PA| |PB|=|t111t2 Kti t2K. (t1t2)2 4t1t2 = j324sin2: _2,7| PA |十|PB|的最小值為2".23 .解：(1) a >0, b>0,f (x) =| x - a | | x ' b| | (x _a) _ (x b) |=| a

17、 b |= a b二 f(X)min =a+b.由題設條件知f (x)min = 2 ,a +b =2 .證明：(2) .a+b=2 ,而 a+b 至2«b ,故 abE1. 22假設a +a>2與b +b >2同時成立.即(a+2)(a -1) >0 與(b+2)(b1) >0 同時成立， a >0 , b>0,則 a >1 , b>1, ab>1 ,這與 ab W1 矛盾，22從而a +a>2與b +b>2不可能同時成立.2017秋期終高三數學試題參考答案（文）.選擇題.1-12 ACDBB CCDDCCA二.填空

18、題.13. x - y -1 =0 14.7 15.1 16.(-二,133三.解答題17.解析（1）設等差數列的公差為a1'a? ' a3 =15 = 3a2, - a2 = 5又(5-d +2)(5+d +13) =100，解得 d =2或 d = 13 (舍去) 3分,二 a1 二3 ,二 an =2n +14分又 1bl =5,b2=10q=2, ，,bn=5 2n46分n -1 Cn =an bn =5(2n+1) 2a Tn =53 +5 2 +7 22十(2n + 1) 2n-8分2Tn = 53 2 5 22(2n -1) 2n1 - (2n 1) 2n兩式相減

19、得Tn =53 +2 2+2 22 + - +2 2n,(2n+1)，2n 10分= 5(1 2n) 2n -1則 Tn =5(2n1)，2n+112分5518.解：(1)由已知：x=6, y=10，匯xy=242，匯x2= 220,3分nEx yi nxy1 = 1 t)= -= 1.45, a=y bx= 18.7 ;5分Ex2- nx2 i =1所以回歸直線的方程為 勺=1.45x+18.76(2) z=- 1.45 x+ 18.7 -(0.05 x2- 1.75 x+ 17.2)8分=-0.05 x2+ 0.3 x+1.5=-0.05( x3)2+1.95,所以預測當x= 3時，銷售利

20、潤z取得最大值.12分19.解：(1)在矩形 ABB1A中，由平面幾何知識可知AB1 -L BD 2分又 CO_L平面 ABB1Al，, AB _LCO,COn BD = D , BD,COQ平面 BCD336OB= '，二 AB1 ±¥® BCD, BC 1 平面 BCD ,，BC _L AB16分(2)在矩形 ABB1Al中，由平面幾何知識可知 OA =OC = J2OA, OC =-6 , 323-2AC -1, BC -, - Saabc -36設三棱柱ABC - AB1G的高為h,即三棱錐 A1 - ABC的高為h.又 SA ABA 1三棱錐C

21、-ABA = V三棱錐A -ABC得12SAABC h =SA ABA1 OC, h= 6.c20.解：（1）由題息可得e= 令x = -c ,可得y =b士即有2b2一 222-又 a b =c，所以 a=，2,所以橢圓的標準方程為y2=1 ；設 M (x1, y1),N(x2, y2)直線MN方程為x = my 2,代入橢圓方程，整理得(m2 2)y2 -4my 2=0則 =16m2 8(m2 +2) =8m2 _16 > 0 ,所以 m2 > 2 .4m'72y1y2"Eo o o 1S.MNF - S；PNF - S.PMF - ？ 1 PF 1 1 丫1

22、 '丫2 |二1 128m2 -16m2 2.m2 -2當且僅當m2 -2 =2，即 m =6 . 、2則AMNF面積的最大值是4（此時適合>12110的條件）取得21.解析 (1)因為 f (x) = ln x + ax2+ bx,1所以 f (x) = x+2ax+ b.因為函數f （x） = ln x+ax2+ bx在x=1處取得極值,所以 f' (1) =1 + 2a+b=0.當 a= 1 時，b= 3, f ' (x)=2x2 3x+ 1X(0,；)121(1, + 8)f+00*極大值極小值（x）, f（x）隨x的變化情況如下表:x ， , 1 一所以

23、f(x)的單調遞增區(qū)間為(0, 2)和(1, +8),1單調遞減區(qū)間為(2，1) .5分(2)f'(x) =2a+ 1xx+12ax 1x- 1x6令 f ' (x) =0,解得 x1 = 1, x2=.2a一, ， 一，1因為f ( x)在x= 1處取得極值，所以 x2=x1 = 1.2a當 A。時，f(x)在(0,1)上單調遞增，在(0，e上單調遞減.所以f(x)在區(qū)間(0 , e上的最大值為f(1).令 f (1) = 1,解得 a=- 2.當0<；<1時，f(x)在(0,1)上單調遞增，在(41)上單調遞減，在(1 , e)上單調遞增, 2a2a2a所以最大值1在x = 丁或x = e處取得.2a而 f (白=In l+a(1)2(2a+1)/=工一1<0，2a2a 2a2a 2a 4a所以 f(e) = Ine + ae2(2 a+1)e = 1,解得 a=-10分e 2當1<；<e時，f (x)在區(qū)間(0,1)上單調遞增，在(1 ,；)上單調遞減，在(g, e)上單調 2a2a2a遞增.所以最大值1在x=1或x=e處取得.而 f(1) =In1 +a-(2a+1)<0 ,所以 f (e) = Ine + ae2 (2 a+ 1)