1、期望與分布列高考試題精選.解答題（共20小題）1.某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè) 200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了 100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖: 以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的 概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).（I ）求X的分布列；(H)若要求P (X< n)> 0.5,確

2、定n的最小值;（田）以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其-，應(yīng)選用哪個(gè)？5局仍未春乙獲勝 1-12 .甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為 的概率為各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（I）求甲在4局以?xún)?nèi)（含4局）贏得比賽的概率;（R）記X為比賽決勝出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求 X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.3 . 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷(xiāo)售記錄，繪制了日銷(xiāo)售量的頻率分布直方圖，如圖所示.將日銷(xiāo)售量落入各組的頻率視為概率， 并假設(shè)每天的銷(xiāo)售量相互 獨(dú)立.(I )求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日

3、銷(xiāo)售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷(xiāo)售量低于50個(gè)的概率;(n)用X表示在未來(lái)3天里日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E (X)及方差D (X).0.W6 0 005 0 004 0,003 0.002050 100 150 200 250日銷(xiāo)售里/個(gè)4 .在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如表:作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物巾610場(chǎng)價(jià)格1兒/kg)概率0.40.6(I)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤(rùn)，求X的分布列；(H)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3

4、季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2000元的概率.5 .現(xiàn)有10道題，其中6道甲類(lèi)題，4道乙類(lèi)題，張同學(xué)從中任取3道題解答.(I )求張同學(xué)至少取到1道乙類(lèi)題的概率；(n)已知所取的3道題中有2道甲類(lèi)題，1道乙類(lèi)題.設(shè)張同學(xué)答對(duì)甲類(lèi)題的概率都是工 答對(duì)每道乙類(lèi)題的概率都是 言，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.用 X表 55示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù)，求 X的分布列和數(shù)學(xué)期望.6 . 一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1, 2, 3, 4;白色卡片3張，編號(hào)分別為2, 3, 4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何 一張卡片的可能性相同).(I)求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率.(n)

5、在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為 X,求隨機(jī)變量X的分 布列和數(shù)學(xué)期望.7 .某水產(chǎn)品經(jīng)銷(xiāo)商銷(xiāo)售某種鮮魚(yú)，售價(jià)為每公斤20元，成本為每公斤15元.銷(xiāo) 售宗旨是當(dāng)天進(jìn)貨當(dāng)天銷(xiāo)售.如果當(dāng)天賣(mài)不出去，未售出的全部降價(jià)處理完,平 均每公斤損失3元.根據(jù)以往的銷(xiāo)售情況，按50, 150), 150, 250), 250, 350), 350, 450), 450, 550進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求未來(lái)連續(xù)三天內(nèi)，該經(jīng)銷(xiāo)商有連續(xù)兩天該種鮮魚(yú)的日銷(xiāo)售量不低于 350 公斤,而另一天日銷(xiāo)售量低于 350公斤的概率；(2)在頻率分布直方圖的需求量分組中，以各組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該

6、組的各個(gè)化(i)求日需求量X的分布列；(ii)該經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃每日進(jìn)貨300公斤或400公斤，以每日利潤(rùn)Y的數(shù)學(xué)期望值 為決策依據(jù),他應(yīng)該選擇每日進(jìn)貨 300公斤還是400公斤？8 .已知一個(gè)口袋中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口 袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1, 2, 3, 4, 5的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜.(1)試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；(2)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，求分布列.9 .自2016年底，共享單車(chē)日漸火爆起來(lái)，逐漸融入大家的日常生活中，某市針 對(duì)18歲到80歲之間的不同年齡段的城市市

7、民使用共享單車(chē)情況進(jìn)行了抽樣調(diào) 查，結(jié)果如表所示：性別年齡性別女性合計(jì)18, 25)1804022025, 35)36024060035, 50)4010014050, 80)202040合計(jì)6004001000(1)采用分層抽樣的方式從年齡在25, 35)內(nèi)的人中抽取10人，求其中男性、 女性的使用人數(shù)各為多少？(2)在(1)中選出10人中隨機(jī)抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；(3)用樣本估計(jì)總體，在全市18歲到80歲的市民中抽4人其中男性使用的人 數(shù)記為;求士的分布列.10 .某中超足球隊(duì)的后衛(wèi)線(xiàn)上一共有 7名球員，其中3人只能打中后衛(wèi)，2人只 能打邊后衛(wèi)，2人既能打中后衛(wèi)又能打邊后衛(wèi)

8、，主教練決定選派 4名后衛(wèi)上場(chǎng)比 賽，假設(shè)可以隨機(jī)選派球員.(1)在選派的4人中至少有2人能打邊后衛(wèi)的概率；(2)在選派的4人中既能打中后衛(wèi)又能打邊后衛(wèi)的人數(shù) E的分布列與期望.11 .由于霧霾日趨嚴(yán)重，政府號(hào)召市民乘公交出行.但公交車(chē)的數(shù)量太多會(huì)造成 資源的浪費(fèi)，太少又難以滿(mǎn)足乘客需求.為此，某市公交公司在某站臺(tái)的60名候車(chē)乘客中進(jìn)行隨機(jī)抽樣，共抽取 10人進(jìn)行調(diào)查反饋，所選乘客情況如下表所 示：組別候車(chē)時(shí)可(單位：min)人數(shù)一0, 5)1二5, 10)5二10, 15)3四15, 20)1(I )估計(jì)這60名乘客中候車(chē)時(shí)間少于10分鐘的人數(shù)；(H)現(xiàn)從這10人中隨機(jī)取3人，求至少有一人來(lái)

9、自第二組的概率;(m)現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，設(shè)這3個(gè)人共來(lái)自X個(gè)組， 求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.12 .數(shù)獨(dú)游戲越來(lái)越受人們喜愛(ài)，今年某地區(qū)科技館組織數(shù)獨(dú)比賽，該區(qū)甲、乙、 丙、丁四所學(xué)校的學(xué)生積極參賽，參賽學(xué)生的人數(shù)如表所示：中學(xué)甲乙丙丁人數(shù)30402010為了解參賽學(xué)生的數(shù)獨(dú)水平，該科技館采用分層抽樣的方法從這四所中學(xué)的參賽 學(xué)生中抽取30名參加問(wèn)卷調(diào)查.(I)問(wèn)甲、乙、丙、丁四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生？(II)從參加問(wèn)卷調(diào)查的30名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求這2名學(xué)生來(lái)自同一所 中學(xué)的概率；(田)在參加問(wèn)卷調(diào)查的30名學(xué)生中，從來(lái)自甲、內(nèi)兩所中學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，用X表示抽

10、得甲中學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求 X的分布列.13 .某廠(chǎng)有4臺(tái)大型機(jī)器，在一個(gè)月中，一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn) 1次故障，且每臺(tái)機(jī) 器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修.每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn) 故障需要維修的概率為 工.3(1)問(wèn)該廠(chǎng)至少有多少名工人才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90% ?(2)已知一名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人 1萬(wàn) 元的工資.每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修， 就使該廠(chǎng)產(chǎn)生5萬(wàn)元的 利潤(rùn)，否則將不產(chǎn)生利潤(rùn).若該廠(chǎng)現(xiàn)有 2名工人.求該廠(chǎng)每月獲利的均值.14 .甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一次籃，先投中者獲勝.投籃進(jìn)

11、行到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)結(jié)束.設(shè)甲每次投籃命中的概率為 Z,乙每次投籃命5中的概率為晟，且各次投籃互不影響.現(xiàn)由甲先投.(1)求甲獲勝的概率；(2)求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù) X的分布列與期望.15 .某公司的兩個(gè)部門(mén)招聘工作人員，應(yīng)聘者從丁1、丁2兩組試題中選擇一組參加測(cè)試，成績(jī)合格者可簽約.甲、乙、丙、丁四人參加應(yīng)聘考試，其中甲、乙兩 人選擇使用試題Ti,且表示只要成績(jī)合格就簽約；丙、丁兩人選擇使用試題T2, 并約定：兩人成績(jī)都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.已知甲、乙考試合格 的概率都是工，丙、丁考試合格的概率都是 1,且考試是否合格互不影響.23(I)求丙、丁未簽約的概率；(I

12、I)記簽約人數(shù)為 X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.16.在公園游園活動(dòng)中有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球和2個(gè)黑球， 乙箱子里裝有1個(gè)白球和2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同；每次游戲都從這 兩個(gè)箱子里各隨機(jī)地摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng).(每次游 戲結(jié)束后將球放回原箱)(1)在一次游戲中：求摸出3個(gè)白球的概率；求獲獎(jiǎng)的概率；(2)在兩次游戲中，記獲獎(jiǎng)次數(shù)為 X:求X的分布列；求X的數(shù)學(xué)期望.17 . 一個(gè)箱中原來(lái)裝有大小相同的5個(gè)球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球.規(guī)定：進(jìn) 行一次操作是指 從箱中隨機(jī)取出一個(gè)球，如果取出的是紅球，則把它放回箱中； 如果取出的是白球，則該球不放回，

13、并另補(bǔ)一個(gè)紅球放到箱中. ”(1)求進(jìn)行第二次操作后，箱中紅球個(gè)數(shù)為 4的概率；(2)求進(jìn)行第二次操作后，箱中紅球個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.18 .袋子里有完全相同的3只紅球和4只黑球，今從袋子里隨機(jī)取球.(1)若有放回地取3次，每次取一個(gè)球，求取出2個(gè)紅球1個(gè)黑球的概率；(2)若無(wú)放回地取3次，每次取一個(gè)球，若取出每只紅球得 2分，取出每只黑 球得1分.求得分己的分布列和數(shù)學(xué)期望.19 .甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝 3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié) 束.除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是 工外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是 2.假23設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)分別求甲隊(duì)以3: 0, 3:

14、1, 3: 2勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為3: 0或3: 1,則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果 為3: 2,則勝利方得2分，對(duì)方得1分.求乙隊(duì)得分X的分布列.20 .醫(yī)學(xué)上某種還沒(méi)有完全攻克的疾病， 治療時(shí)需要通過(guò)藥物控制其中的兩項(xiàng)指 標(biāo)H和V.現(xiàn)有.三種不同配方的藥劑，根據(jù)分析，A, B, C三種藥劑能控制H指標(biāo)的概率分別為0.5, 0.6, 0.75,能控制V指標(biāo)的概率分別是0.6, 0.5, 0.4, 能否控制 H 指標(biāo)與能否控制 V 指標(biāo)之間相互沒(méi)有影響(I)求A, B, C三種藥劑中恰有一種能控制 H指標(biāo)的概率；(n)某種藥劑能使兩項(xiàng)指標(biāo) H和V都得到控制就說(shuō)該藥劑有治療效果

15、.求三種藥劑中有治療效果的藥劑種數(shù)X 的分布列期望與分布列高考試題精選參考答案與試題解析.解答題(共20小題)1.某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè) 200元.在機(jī)器使用 期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi) 幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了 100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).(I )求X

16、的分布列；(H)若要求P (X< n) >0.5,確定n的最小值;(田)以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其-，應(yīng)選用哪個(gè)？【解答】解：(I)由已知得X的可能取值為16, 17, 18, 19, 20, 21, 22,P （X=16）型）2J,10025'P （X=17）100 10025 'P（X=18）=（疆）2+2 （黑）法,P （X=19）=，.一 ；x X的分布列為:X16171819202122P1254256256252 23125(n)由(I)知:(X=20)20100； 二二J J)2 100 100 25 5(X

17、=21)"一' 、:"-'I 】,，二'(X=22)=400J 25P (X< 18) =P (X=16) +P (X=17)+P (X=18)25后后25P (X< 19) =P (X=16) +P (X=17)+P (X=18)+P (X=19)=、=，25后后25 25P (X< n) >0.5中，n的最小值為19.(m)解法一：由(I)得 P (X< 19) =P (X=16) +P (X=17)+P (X=18) +P (X=19)，e再.25 后回 25 25買(mǎi)19個(gè)所需費(fèi)用期望：EX=200X 19乂工(2

18、00X 19+500) X-L+(200X 19+500X 2) xZ+(200X 19+500252525X3) X ' =4040, £ 5買(mǎi)20個(gè)所需費(fèi)用期望:EXF200X20X等(200X20+500) X-+ (200X20+2X500) X2=4080,252525. EX<EX買(mǎi)19個(gè)更合適.解法二：購(gòu)買(mǎi)零件所用費(fèi)用含兩部分，一部分為購(gòu)買(mǎi)零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用，當(dāng) n=19 時(shí)，費(fèi)用的期望為：19 X 200+500X 0.2+1000X 0.08+1500X 0.04=4040,當(dāng) n=20 時(shí)，費(fèi)用的期望為：20X200+50

19、0X0.08+1000X0.04=4080,買(mǎi)19個(gè)更合適.2 .甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完 5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為1,乙獲勝3的概率為工，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.3(I)求甲在4局以?xún)?nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(R)記X為比賽決勝出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求 X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).【解答】解：用A表示甲在4局以?xún)?nèi)(含4局)贏得比賽的是事件，Ak表示第k 局甲獲勝，民表示第k局乙獲勝，則 P (Ak)咚 P (B0 卷 k=1, 2, 3, 4, 533(I ) P (A) =P (A1A2) +P (B1A2A3)

20、+P (A1B2A3A4)= () 2+X (2) 23x3333lx (2)等.3381(n) X的可能取值為2, 3, 4, 5.p(x=2)=p(A1A2)+p(B1B2)q,JP (X=3) =P (B1A2A3) +P (AB2B3) 衛(wèi),%P (X=4) =P (A1B2A3A4) +P (B1A2B3B4) 表，P(X=5) =P(A1B2A3B4A5)+P(B1A2B3A4B5) +P( B1A2B3A4A5)+P(A1B2A3&民)= 得，或者 P (X=5) =1-P (X=2) - P (X=3) - P (X=4) 4，81故分布列為： 一家面包房根據(jù)以往某種面

21、包的銷(xiāo)售記錄，繪制了日銷(xiāo)售量的頻率分布直方圖，如圖所示.將日銷(xiāo)售量落入各組的頻率視為概率， 并假設(shè)每天的銷(xiāo)售量相互 獨(dú)立.X2345P旦§2710 前8?52108 224E (X) =2*%3*+4*詈+5*9=若.998181 81(I )求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷(xiāo)售量都不低于100個(gè)且另1天的 日銷(xiāo)售量低于50個(gè)的概率；(n)用X表示在未來(lái)3天里日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分【解答】解：(I)設(shè)Ai表示事件 日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)”，A2表示事件 日銷(xiāo) 售量低于50個(gè)”B表示事件 在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷(xiāo)售量都不低于100個(gè)且另1 天的日銷(xiāo)售

22、量低于50個(gè)”，因止匕 P (A1) = (0.006+0.004+0.002) X 50=0.6,P (A2) =0.003X 50=0.15,P (B) =0.6X 0.6X0.15X2=0.108,(H) X可能取的值為0, 1, 2, 3,相應(yīng)的概率為：P(X=0)=C5(l-0.6)3=0. 064PQ(二 1)二C；0. 6(1-0, 6) <0 288,PC£=2)=C1O. 62(1-0.6)=0.432,p(X=3)= C?0. 6邑。. 216,隨機(jī)變量X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)?XB (3, 0.6),所以期望 E

23、 (X) =3X 0.6=1.8,方差 D (X) =3X0.6X (10.6) =0.72.4.在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場(chǎng)價(jià)格和 這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物巾610場(chǎng)價(jià)格1兒/kg)概率0.40.6(I)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤(rùn)，求X的分布列；(H)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于 2000元的概率.【解答】解：(I)設(shè)A表示事件 作物產(chǎn)量為300kg”，B表示事件 作物市場(chǎng)價(jià) 格為6元/kg ”，WJ P (A) =0.5, P

24、(B) =0.4,;利潤(rùn)二產(chǎn)量乂市場(chǎng)價(jià)格-成本，.X的所有值為：500X 10- 1000=4000, 500X6- 1000=2000,300 X 10 - 1000=2000, 300 X 6 - 1000=800,WJ P (X=4000) =P (A) P (1) = (1-0.5) X (1 0.4) =0.3,P (X=2000) =P (A) P (B) +P (A) P (1) = (1-0.5) X0.4+0.5 (1 0.4) =0.5,P (X=800) =P (A) P (B) =0.5X 0.4=0.2,則X的分布列為：X40002000800P0.30.50.2(H

25、)設(shè)G表示事件 第i季利潤(rùn)不少于2000元”(i=1, 2, 3) 則C1, C2, C3相互獨(dú)立，由(I)知，P (C) =P (X=4000) +P (X=200。=0.3+0.5=0.8 (i=1, 2, 3),3季的利潤(rùn)均不少于 2000 的概率為 P(C1C2C3) =P(G) P(C2) P(C3) =0.83=0.512, 3季的利潤(rùn)有2季不少于2000的概率為P (3C2C3)+P (G己;C3) +P (GC2日) =3X0.82X0.2=0.384,綜上：這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2000元的概率為：0.512+0.384=0.896.5.現(xiàn)有10道題，其中6道甲類(lèi)題，

26、4道乙類(lèi)題，張同學(xué)從中任取3道題解答.(I )求張同學(xué)至少取到1道乙類(lèi)題的概率；(n)已知所取的3道題中有2道甲類(lèi)題，1道乙類(lèi)題.設(shè)張同學(xué)答對(duì)甲類(lèi)題的概率都是上，答對(duì)每道乙類(lèi)題的概率都是1,且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.用 X表 55示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù)，求 X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解答】解：(I)設(shè)事件人=張同學(xué)至少取到1道乙類(lèi)題”則二二張同學(xué)至少取到的全為甲類(lèi)題P (A) =1-P (A) =1-f 二C3 6v10(II) X的所有可能取值為0, 1, 2, 3P(X=o)=。迢)°停巴)喘P(X=1)=*；P(X=2)=，9 +P(3 = : ；： = ；X的分布列為EX=

27、6; 乂亳+1X 噩+2X"+3X 送,26. 一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1, 2, 3, 4; 白色卡片3張，編號(hào)分別為2, 3, 4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同).(I)求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率.(n)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為 X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解答】解：(I)設(shè)取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片為事件A,則P (A)=所以，取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率為e7(II)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1, 2, 3, 4(X=1)(X=2)si j_ 35

28、JC4 4(X=3)35 735 2(X=4)X的分布列為i49d 17EX=-二二二十353517 5x1234P135q 3527旦 77.某水產(chǎn)品經(jīng)銷(xiāo)商銷(xiāo)售某種鮮魚(yú)，售價(jià)為每公斤20元，成本為每公斤15元.銷(xiāo) 售宗旨是當(dāng)天進(jìn)貨當(dāng)天銷(xiāo)售.如果當(dāng)天賣(mài)不出去，未售出的全部降價(jià)處理完,平 均每公斤損失3元.根據(jù)以往的銷(xiāo)售情況，按50, 150), 150, 250), 250, 350), 350, 450), 450, 550進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求未來(lái)連續(xù)三天內(nèi)，該經(jīng)銷(xiāo)商有連續(xù)兩天該種鮮魚(yú)的日銷(xiāo)售量不低于350公斤,而另一天日銷(xiāo)售量低于 350公斤的概率；(2)在頻率

29、分布直方圖的需求量分組中，以各組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)化(i)求日需求量X的分布列；(ii)該經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃每日進(jìn)貨300公斤或400公斤，以每日利潤(rùn)Y的數(shù)學(xué)期望值為決策依據(jù),他應(yīng)該選擇每日進(jìn)貨 300公斤還是400公斤？【解答】解：(1)由頻率分布直方圖可知，日銷(xiāo)售量不低于350公斤的概率為(0.0025+0.0015) X 100=0.4,則未來(lái)連續(xù)三天內(nèi)，有連續(xù)兩天的日銷(xiāo)售量不低于350公斤，而另一天日銷(xiāo)售量低于 350公斤的概率P=0.4X 0.4X (1-0.4) + (1-0.4) X 0.4X 0.4=0.192.(3 分)(2) (i) X可取 100, 200, 300, 4

30、00, 500,P (X=100) =0.0010X 10=0.1;P (X=200) =0.0020X 10=0.2;P (X=300) =0.0030X 10=0.3;P (X=400) =0.0025X 10=0.25;P (X=500) =0.0015X 10=0.15;所以X的分布列為：X100200300400500P0.10.20.30.250.15(6分)(ii)當(dāng)每日進(jìn)貨300公斤時(shí)，利潤(rùn)Y1可取-100, 700, 1500, 此時(shí)丫1的分布列為：Y1一10070015000.10.20.7此時(shí)利潤(rùn)的期望值 E (Y1) =- 100X0.1+700X0.2+1500X 0

31、.7=1180;分)當(dāng)每日進(jìn)貨400公斤時(shí)，利潤(rùn)Y2可取-400, 400, 1200, 2000,= 1200;(10 分)因?yàn)?E (Y) <E (%),所以該經(jīng)銷(xiāo)商應(yīng)該選擇每日進(jìn)貨 400公斤.(12分)8.已知一個(gè)口袋中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口 袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為 1, 2, 3, 4, 5的抽屜內(nèi),其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜.(1)試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；(2)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，求分布列.【解答】解：(1)編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為：_2X4XgX 2X

32、1 _2戶(hù)5X4X3X 2X 1 G(2)由題意得X的可能取值為p -1, -1,4 1二 2乂3乂2乂 1 _ 2 = 1=詼'=5X4X3X 2X 1 3廣元'A2X2X3X 2X1= 4 =1P(不)=5X4X3X 2X 1=5 5：”，=認(rèn)4 1 5X4X3X 2X 1 20 10A 二4乂2乂3乂 <X 1 = £ =2p1可戶(hù)5X4X3X 2X 1 =20二'，- X的分布列為:X11_112345P11_321051059.自2016年底，共享單車(chē)日漸火爆起來(lái)，逐漸融入大家的日常生活中，某市針 對(duì)18歲到80歲之間的不同年齡段的城市市民使用

33、共享單車(chē)情況進(jìn)行了抽樣調(diào) 查，結(jié)果如表所示：性別年齡性別女性合計(jì)18, 25)1804022025, 35)36024060035, 50)4010014050, 80)202040合計(jì)6004001000（1）采用分層抽樣的方式從年齡在25, 35）內(nèi)的人中抽取10人，求其中男性、 女性的使用人數(shù)各為多少？（2）在（1）中選出10人中隨機(jī)抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）用樣本估計(jì)總體，在全市18歲到80歲的市民中抽4人其中男性使用的人 數(shù)記為;求士的分布列.【解答】解：（1）因?yàn)槟挲g在25, 35）人中男性，女性使用人數(shù)占總體的比例分別為迦衛(wèi),儂二.600 5 600 5所以抽取

34、的10人中男性，女性人數(shù)分別為-X10=6,3乂10二4.55（2）由題意知，在（1）中選出的10人中，女性使用者人數(shù)為4,C2c 2所以4人中恰有2女性使用者的概率為一產(chǎn)二號(hào).11 Ju（3）由題知，己的可能取值為0, 1, 2, 3, 4,因?yàn)橛脴颖竟烙?jì)總體，任取1人，是男性使用者的概率為 黑1000 5所以隨機(jī)變量 陰艮從二項(xiàng)分布，即已BS,力，5噲 & 溪.p（&=i）=c；（|y（耕嗡,?需=2）氣淖）2仔）2噬|PC & =3)=ci cf) 3(凱嗡 p 需寸(1)4 (f)。喘所以己的分布列為:01234P169621621681625625625625

35、62510.某中超足球隊(duì)的后衛(wèi)線(xiàn)上一共有 7名球員，其中3人只能打中后衛(wèi)，2人只能打邊后衛(wèi)，2人既能打中后衛(wèi)又能打邊后衛(wèi)，主教練決定選派 4名后衛(wèi)上場(chǎng)比賽，假設(shè)可以隨機(jī)選派球員.(1)在選派的4人中至少有2人能打邊后衛(wèi)的概率;(2)在選派的4人中既能打中后衛(wèi)又能打邊后衛(wèi)的人數(shù) E的分布列與期望.【解答】解：(1)設(shè)事件A表示 選派的4人中至多有1人能打邊后衛(wèi)”,則 P (A)=C； 35,事件B表示 選派的4人中至少有2人能打邊后衛(wèi)”, . P (B) =1 P (A) =1 4 .3135 35(2)細(xì)勺可能取值為0, 1, 2,C4<=力1曝+r3 r 152 20 _4r2r292

36、 10 2一士的分布列為:012P74_72749 8EE =1 v+2x4=7-77 711 .由于霧霾日趨嚴(yán)重，政府號(hào)召市民乘公交出行.但公交車(chē)的數(shù)量太多會(huì)造成資源的浪費(fèi)，太少又難以滿(mǎn)足乘客需求.為此，某市公交公司在某站臺(tái)的60名候車(chē)乘客中進(jìn)行隨機(jī)抽樣，共抽取 10人進(jìn)行調(diào)查反饋，所選乘客情況如下表所示:組別候車(chē)時(shí)可(單位：min)人數(shù)一0, 5)1二5, 10)5二10, 15)3四15, 20)1(I )估計(jì)這60名乘客中候車(chē)時(shí)間少于10分鐘的人數(shù);(H)現(xiàn)從這10人中隨機(jī)取3人，求至少有一人來(lái)自第二組的概率；(m)現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，設(shè)這3個(gè)人共來(lái)自X個(gè)組,求X的

37、分布列及數(shù)學(xué)期望.【解答】解：(I)候車(chē)時(shí)間少于10分鐘的人數(shù)為60X (R)設(shè) 至少有一人來(lái)自第二組為事件 A"，則P (A) =1 -：十一10 10口5 _c3 一 vio)=36 (人).1112(明X的可能值為1,2, 3,p(X=1)誓喝,P (X=2)=皤+C：) X2+C看 7P (X=3)=%X 2+C1+C； 3g12 .數(shù)獨(dú)游戲越來(lái)越受人們喜愛(ài)，今年某地區(qū)科技館組織數(shù)獨(dú)比賽，該區(qū)甲、乙、丙、丁四所學(xué)校的學(xué)生積極參賽，參賽學(xué)生的人數(shù)如表所示:中學(xué)甲乙丙丁人數(shù)30402010為了解參賽學(xué)生的數(shù)獨(dú)水平，該科技館采用分層抽樣的方法從這四所中學(xué)的參賽 學(xué)生中抽取30名參加

38、問(wèn)卷調(diào)查.（I）問(wèn)甲、乙、丙、丁四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生？（II）從參加問(wèn)卷調(diào)查的30名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求這2名學(xué)生來(lái)自同一所 中學(xué)的概率；（田）在參加問(wèn)卷調(diào)查的30名學(xué)生中，從來(lái)自甲、內(nèi)兩所中學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，用X表示抽得甲中學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求 X的分布列.【解答】（本小題共14分）解：（I）由題意知，四所中學(xué)報(bào)名參加數(shù)獨(dú)比賽的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100名，抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值為 反，100 10所以甲、乙、丙、丁四所中學(xué)各抽取的學(xué)生人數(shù)分別為9, 12, 6, 3.乂？分）（R）設(shè)從30名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，這兩名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué) ”為事 件A,從30名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)

39、生的取法共有 茂帝435種，（5分）來(lái)自同一所中學(xué)的取法共有-（7分）所以PCA）二裝福答:從30名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué)的概率為出（8分）（田）由（I）知，30名學(xué)生中，來(lái)自甲、內(nèi)兩所中學(xué)的學(xué)生人數(shù)分別為 9, 6.依題意得，X的可能取值為0, 1, 2,但分）cl 1P（心 0）二/二/，15 1rli -p （y- ）-_匕5C2P（X=2）=-=|.（12 分）C15所以X的分布列為:X012P工181273535（14 分）13.某廠(chǎng)有4臺(tái)大型機(jī)器，在一個(gè)月中，一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn) 1次故障，且每臺(tái)機(jī) 器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修.每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)

40、故障需要維修的概率為3（1）問(wèn)該廠(chǎng)至少有多少名工人才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90% ?（2）已知一名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人 1萬(wàn) 元的工資.每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修， 就使該廠(chǎng)產(chǎn)生5萬(wàn)元的 利潤(rùn)，否則將不產(chǎn)生利潤(rùn).若該廠(chǎng)現(xiàn)有 2名工人.求該廠(chǎng)每月獲利的均值.【解答】解：（1） 一臺(tái)機(jī)器運(yùn)行是否出現(xiàn)故障可看作一次實(shí)驗(yàn)，在一次試驗(yàn)中，機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)為事件 A,則事件A的概率為9； ,J該廠(chǎng)有4臺(tái)機(jī)器就相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為 X,則XB（4, 9），p（x=o）=c；e）m，P（X=1）=

41、c；二普， J 0 olP（X=2）二C； 母）“0）哈,則X的分布列為:X01234P明3121|8|LJJ Isi81SL31設(shè)該廠(chǎng)有n名工人，則 機(jī)臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修為 XW n,則X=0, X=1, X=2,，X=n,這n+1個(gè)互斥事件的和事件，則n01234P (X< n)164872801SI81gl81至少要3名工人，才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維 修的概率不少于90%;(2)設(shè)該廠(chǎng)獲利為Y萬(wàn)元，則Y的所有可能取值為：18, 13, 8,P(Y=18) =P (X=0) +P(X=1HP熊2)名,olP(Y=13)-P(X=3

42、)T， olP(Y=8)=P *4)金； ol則Y的分布列為：Y181381P72 乳8SIIT貝 E(Y)=導(dǎo) 13 然得+8乂?。籵lol qL q!故該廠(chǎng)獲利的均值為14 .甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一次籃，先投中者獲勝.投籃進(jìn)行到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)結(jié)束.設(shè)甲每次投籃命中的概率為 名，乙每次投籃命 5中的概率為晟，且各次投籃互不影響.現(xiàn)由甲先投.(1)求甲獲勝的概率；(2)求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù) X的分布列與期望.【解答】解：(1)由題意甲獲勝的概率:2 p=1231 312 62X-X-+X4-XX-K-=-.35 5 3 535 125(2)由題意知投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃

43、次數(shù)X的可能取值為1, 2, 3,P (X=1)-2J '= =53 5'P (X=2) =1W4/x"KX=3=+ -、，-+3 2553535535353535s 5，- X的分布列為:X123P&4152525EX>IX 言+3 乂蚩嘿.15 .某公司的兩個(gè)部門(mén)招聘工作人員，應(yīng)聘者從Ti、T2兩組試題中選擇一組參加測(cè)試，成績(jī)合格者可簽約.甲、乙、丙、丁四人參加應(yīng)聘考試，其中甲、乙兩 人選擇使用試題Ti,且表示只要成績(jī)合格就簽約；丙、丁兩人選擇使用試題T2, 并約定：兩人成績(jī)都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.已知甲、乙考試合格 的概率都是9，丙、丁

44、考試合格的概率都是 得,且考試是否合格互不影響.(I)求丙、丁未簽約的概率；(II)記簽約人數(shù)為 X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.【解答】解：(I)分別記事件甲、乙、丙、丁考試合格為A, B, C, D.由題意知 A, B, C, D 相互獨(dú)立,且 P(A)：P(B)4, P(C)-PCD)=4. 士.L-1記事件為、丁未簽約”為F, 由事件的獨(dú)立性和互斥性得：P (F) =1- P (CD)(3 分)= 14X母吟(4分)(II) X的所有可能取值為0, 1, 2, 3, 4.分) P(X=O)=P(AB)P(F)=-X-XT,上 上 y Ou1P(X=1)= P(RB)P(F)+P(AB)

45、P(F)=2XMXe$， Z Z y 1 o1151199 1P(X-2)=P(ABF)+P(ABCD：- X - X-4- X-X-X, xzyzxjii ? 7P（X=3）=P（ABCD）+P（ABCD）=2Xx-x-x-,b 上 J J 31i9 9 1P（X=4）=P（ABCD）yX XX- £/1o on所以，X的分布列是：X01234P551213618499（12分）X的數(shù)學(xué)期望EX=0X各+1乂冬+2><；+3><春+4X!/（13分） 3b io q y y y16.在公園游園活動(dòng)中有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球和2個(gè)黑球, 乙箱子

46、里裝有1個(gè)白球和2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同；每次游戲都從這 兩個(gè)箱子里各隨機(jī)地摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng).（每次游 戲結(jié)束后將球放回原箱）（1）在一次游戲中：求摸出3個(gè)白球的概率；求獲獎(jiǎng)的概率；（2）在兩次游戲中，記獲獎(jiǎng)次數(shù)為 X:求X的分布列；求X的數(shù)學(xué)期望.【解答】解：（1）記 在一次游戲中摸出k個(gè)白球”為事件Ak （k=0, 1, 2, 3）.c|cl I p（&3）二告（2 分）c|c?+clcicl 1 7 p【均J+ 志二為 （5 分）（2）p（x=Q）*>4J，Pg）=c>4卷,pixmax擊端.X的分布列為X0112P9 1002150

47、49100（8分）X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0X-77-H X魯+2X魯】.10050100 5(10 分)17. 一個(gè)箱中原來(lái)裝有大小相同的5個(gè)球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球.規(guī)定：進(jìn) 行一次操作是指 從箱中隨機(jī)取出一個(gè)球，如果取出的是紅球，則把它放回箱中； 如果取出的是白球，則該球不放回，并另補(bǔ)一個(gè)紅球放到箱中. ”(1)求進(jìn)行第二次操作后，箱中紅球個(gè)數(shù)為 4的概率；(2)求進(jìn)行第二次操作后，箱中紅球個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解答】解：(1)設(shè)Ai表示事件 第一次操作從箱中取出的是紅球”，Bi表示事件 第一次操作從箱中取出的是白球”，A2表示事件 第二次操作從箱中取出的是紅球”，B2表示事件 第二

48、次操作從箱中取出的是白球 則A1B2表示事件 第一次操作從箱中取出的是紅球，第二次操作從箱中取出的是 白球”.由條件概率計(jì)算公式得 P (A1B2) =P (A1) P (B2IA1)二xZJL.55 25B1A2表示事件第一次操作從箱中取出的是白球，第二次操作從箱中取出的是紅 球”.由條件概率計(jì)算公式得p(B1A2)=p(B1)p(A2IB1)=|x4=-55 25A1B2+B1A2表示 進(jìn)行第二次操作后，箱中紅球個(gè)數(shù)為 4"，又A1B2與B1A2是互斥事件. P (A1B2+B1A2) =P (A1B2) +P (B1A2) =2 I 2 春25 25 25(2)設(shè)進(jìn)行第二次操作后，箱中紅球個(gè)數(shù)為 X,則X=3, 4, 5.14,、33 9,、P (XN) =1 乂卷展，P (X=4)=25，55 25212P(X=5 444-進(jìn)行第二次操作后，箱中紅球個(gè)數(shù) X的分布列為:進(jìn)行第二次操作后，箱中紅球個(gè)數(shù) X的數(shù)學(xué)期望914EX=:12 9325 25 ,X345P(X)925142522518 .袋子里有完全相同的3只紅球和4只黑球，今從袋子里隨機(jī)取球.(1)若有放回地取3次，每次取一個(gè)球，求取出2個(gè)紅球1個(gè)黑球的概率；(2)若無(wú)放回地取3次，每次