1、第一章第一章 實(shí)數(shù)集與函數(shù)實(shí)數(shù)集與函數(shù) 1 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) 2 數(shù)集數(shù)集 確界原理確界原理 3 函數(shù)的概念函數(shù)的概念 4 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)復(fù)合函數(shù)與反函數(shù) 1.1 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)一一 . .實(shí)數(shù)及其性質(zhì)實(shí)數(shù)及其性質(zhì)二二. . 絕對(duì)值與不等式絕對(duì)值與不等式 一一 . 實(shí)數(shù)及其性質(zhì)：實(shí)數(shù)及其性質(zhì)：1.回想中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義回想中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義. 假設(shè)規(guī)定： 01 201 2.(1)999nna aaaa aaa 1.1 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)那么有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成無(wú)限循環(huán)小數(shù)。那么有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成無(wú)限循環(huán)小數(shù)。( ,qp qp正分?jǐn)?shù),有理數(shù)為整數(shù)且q0)或有限小數(shù)和無(wú)限小數(shù).負(fù)分?jǐn)?shù),無(wú)理

2、數(shù):用無(wú)限不循環(huán)小數(shù)表示. 實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)00,1 .999xaxa記為闡明: 對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)x,y,假設(shè)有-x = -y與-x -y, 那么分別稱(chēng)x = y與x x)2.兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系 .)2 , 1(, 2 , 1,. 90 , 90), 2 , 1(,.,.110000210210 xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn+或分別記為小于或大于那么稱(chēng)而使得或存在非負(fù)整數(shù)假設(shè)記為相等與那么稱(chēng)假設(shè)有為整數(shù)為非負(fù)整數(shù)其中 給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù) 1)定義1 闡明: 自然規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù).naaaax210.nnaaa

3、ax210.nnnxx101+定義定義2 設(shè)設(shè) 為實(shí)數(shù)x的n位缺乏近似，而有理數(shù) 稱(chēng)為x的n位過(guò)剩近似，n=0, 1, 2, .為非負(fù)實(shí)數(shù).稱(chēng)有理數(shù)2) 經(jīng)過(guò)有限小數(shù)比較大小的等價(jià)條件經(jīng)過(guò)有限小數(shù)比較大小的等價(jià)條件012.,nxa a aa nnnaaaax101.210nnaaaax210.210 xxx210 xxx 對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)其n位缺乏近似和n位過(guò)剩近似分別規(guī)定為 和 留意：對(duì)任何實(shí)數(shù)留意：對(duì)任何實(shí)數(shù)x, 有有, 命題1 設(shè)v實(shí)數(shù)的性質(zhì) 1.實(shí)數(shù)集R對(duì)加,減,乘,除(除數(shù)不為0)四那么運(yùn)算是封鎖的.即恣意兩個(gè)實(shí)數(shù)和,差,積,商(除數(shù)不為0)依然是實(shí)數(shù). 2.實(shí)數(shù)集是有序的.即恣意兩個(gè)實(shí)數(shù)

4、a, b必滿(mǎn)足下述三個(gè)關(guān)系之一: a b .01201 2.,.xa a ayb bb為兩個(gè)實(shí)數(shù)，那么為兩個(gè)實(shí)數(shù)，那么,nnxynxy存在非負(fù)整數(shù)使得 v實(shí)數(shù)的性質(zhì) 3.實(shí)數(shù)集的大小關(guān)系具有傳送性實(shí)數(shù)集的大小關(guān)系具有傳送性.即假設(shè)即假設(shè)a b, b c,那么有那么有ac.5.實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R具有稠密性具有稠密性.即任何兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必即任何兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一個(gè)實(shí)數(shù)有另一個(gè)實(shí)數(shù),且既有有理數(shù)且既有有理數(shù),也有無(wú)理數(shù)也有無(wú)理數(shù).6.實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.即任一實(shí)數(shù)即任一實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上獨(dú)一的一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上獨(dú)一的一點(diǎn),反之反之,數(shù)軸上

5、的每一點(diǎn)也都獨(dú)數(shù)軸上的每一點(diǎn)也都獨(dú)一的代表一個(gè)實(shí)數(shù)一的代表一個(gè)實(shí)數(shù). , 0 , , . 4 b na n a b R b a , 使得使得 那么存在正整數(shù)那么存在正整數(shù) 假設(shè) 即對(duì)任何即對(duì)任何 實(shí)數(shù)具有阿基米德性實(shí)數(shù)具有阿基米德性 例1 證明 例2 證明 .:,yrxr，yx滿(mǎn)足存在有理數(shù)證明為實(shí)數(shù)設(shè).,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn+即得且有為有理數(shù)那么令使得故存在非負(fù)整數(shù)由于.,:,babaRba+那么有假設(shè)對(duì)任何正數(shù)證明設(shè)ee.,.bababababa,+從而必有矛盾這與假設(shè)為正數(shù)且那么令有那么根據(jù)實(shí)數(shù)的有序性假假設(shè)結(jié)論不成立用反證法eeee,0|,0a

6、aaaaa0-a二二. 絕對(duì)值與不等式絕對(duì)值與不等式從數(shù)軸上看的絕對(duì)值就是到原點(diǎn)的間隔：從數(shù)軸上看的絕對(duì)值就是到原點(diǎn)的間隔： 絕對(duì)值定義：|00|0- ; |,04.5. | | |6.,0| |aaaaaaaahhahahhah hababababa baabbb +1.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)2. -| | |3. | |絕對(duì)值的一些主要性質(zhì)絕對(duì)值的一些主要性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)4三角不等式的證明：三角不等式的證明：由性質(zhì)2 -|a| a |a|, -|b| b |b|兩式相加 -(|a|+|b|) a+b |a|+|b|由性質(zhì) 3 上式等價(jià)于 |a+b| |a|+|b|把上式的 b 換成 -b 得 |a-b|

7、|a|+|b| 幾個(gè)重要不等式幾個(gè)重要不等式: 均值不等式: 對(duì) 記 (算術(shù)平均值) (幾何平均值) (調(diào)和平均值)222,abab+ sin 1.x sin .xx12,na aa+R1211( ) ,nniiiaaaM aann+1121(),nnniniiGaa aaa12111( ).111111innniiiinnH aaaanaa+ 有平均值不等式: 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立. Bernoulli 不等式: (在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)) 有不等式 當(dāng) 且, 且 時(shí), 有嚴(yán)厲 不等式 證 由 且),( )( )(iiiaMaGaH naaa21, 1x. ,1)1 (N+nnxxn1x

8、0 xNn.1)1(nxxn+2n01+ x+111)1 (1)1 ( , 01nnxnxx 利用二項(xiàng)展開(kāi)式得到的不等式: 對(duì) 由二項(xiàng)展開(kāi)式 有 上式右端任何一項(xiàng).).1( )1( xnxnnn+.1)1 ( nxxn+, 0h,! 3) 2)(1(! 2) 1(1)1 (32nnhhnnnhnnnhh+nh)1 ( 作業(yè)作業(yè)p4 ,3, 4, 6, 71.2 數(shù)集確界原理 一、區(qū)間與鄰域 二、上確界、下確界一、區(qū)間與鄰域1.1.集合集合: :具有某種特定性質(zhì)的事物的總體具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱(chēng)為該集合的元素組成這個(gè)集合的事物稱(chēng)為該集合的元素.,21naaaA 所具有

9、的特征所具有的特征xxM 有限集有限集無(wú)限集無(wú)限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就說(shuō)說(shuō)則則必必若若BABxAx .BA 記作記作數(shù)集分類(lèi)數(shù)集分類(lèi):N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)集整數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,RQQZZN .,相相等等與與就就稱(chēng)稱(chēng)集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 + + xxxC.CA 則則不含任何元素的集合稱(chēng)為空集不含任何元素的集合稱(chēng)為空集.)(記記作作例如例如,01,2 + + xRxx規(guī)定規(guī)定 空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.2.2.區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全

10、體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,baRba 且且bxax 稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間,),(ba記作記作bxax 稱(chēng)為閉區(qū)間稱(chēng)為閉區(qū)間,ba記記作作oxaboxabbxax bxax 稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間,稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間,),ba記作記作,(ba記記作作),xaxa + + ),(bxxb 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a).(0aU 記記作作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫做這鄰域的半徑叫做這鄰域的半徑 . )( + + axaxaUxa a + +a ,鄰域鄰域的去心的的去心的點(diǎn)點(diǎn) a. 0)( axxaU,

11、鄰域鄰域的的稱(chēng)為點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)數(shù)集數(shù)集 aaxx , 存在存在 11(0,1),11xyE y MMMx + +由無(wú)界集定義，由無(wú)界集定義，E 為無(wú)界集。為無(wú)界集。證明：對(duì)恣意證明：對(duì)恣意2 確界: 例例2 那么那么 那么那么 例例3 設(shè)設(shè)S和和A是非空數(shù)集，且有是非空數(shù)集，且有 那那么么有有 .,) 1(1+nSn._inf _,supSS. ), 0 ( ,sin xxyyE._inf _,supEE.AS .infinf ,supsupASAS 例例4 設(shè)設(shè)A和和B是非空數(shù)集是非空數(shù)集. 假設(shè)對(duì)假設(shè)對(duì) 和和 都有都有 那么有那么有 證證 y 是是A的上界的上界, 是是B的下界的下界, x A

12、yB ,xysupinf.AB,yB .sup yAAsup .infsup BA例4 設(shè) A, B為非空數(shù)集,滿(mǎn)足:.,yxByAx有證明數(shù)集 A有上確界, 數(shù)集B有下確界,且.infsupBA證: 故有確界原理知,數(shù)集A有上確界,數(shù)集B有下確界. 是數(shù)集A的一個(gè)上界,而由上確界的定義知,Byy由假設(shè),數(shù)集B中任一數(shù) 都是數(shù)集A的上界, y A中任一數(shù) 都是B的下界,xy.supA 是數(shù)集A的最小上界, 故有supA 而此式又闡明數(shù) 是數(shù)集B的一個(gè)下界, supA 故由下確界的定義證得 .infsupBA例例5 5 AB為非空數(shù)集為非空數(shù)集, .BAS 試證明試證明: : . inf , i

13、nf mininfBAS 證 ,Sx有有Ax或或,Bx 由由Ainf和和Binf分別是分別是AB的下界的下界,有有Axinf或或. inf , inf min .infBAxBx即即 inf , inf minBA是數(shù)集是數(shù)集S的下界的下界, . inf , inf mininf BAS 和和 又SAS , 的下界就是的下界就是A的下界的下界, Sinf是是S的下界的下界, Sinf 是A的下界的下界, ;infinf AS 同理有.infinfBS inf , inf mininfBAS inf , inf mininfBAS 于是有于是有綜上綜上, 有有例例5 5 AB為非空數(shù)集為非空數(shù)集

14、, .BAS 試證明試證明: : . inf , inf mininfBAS 證 ,Sx有有Ax或或,Bx 由由Ainf和和Binf分別是分別是AB的下界的下界,有有Axinf或或. inf , inf min .infBAxBx即即 inf , inf minBA是數(shù)集是數(shù)集S的下界的下界, . inf , inf mininf BAS 和和AAsupAsupAsupAxxAsupAx 00 x命題命題3 3：設(shè)數(shù)集：設(shè)數(shù)集有上下確界，那么這上有上下確界，那么這上，且，那么無(wú)妨設(shè)有對(duì)，使，矛盾。下確界必是獨(dú)一的。下確界必是獨(dú)一的。證：設(shè) 3.數(shù)集與確界的關(guān)系: 確界不一定屬于原集合. 以例1

15、為例做解釋. 4.確界與最值的關(guān)系確界與最值的關(guān)系: 設(shè)設(shè) E為數(shù)集為數(shù)集. E 的最值必屬于的最值必屬于E, 但確界未必但確界未必, 確界是一種臨界點(diǎn)確界是一種臨界點(diǎn). 非空有界數(shù)集必有確界非空有界數(shù)集必有確界(見(jiàn)下面見(jiàn)下面確實(shí)界原理確實(shí)界原理), 但未必有最值但未必有最值. 假設(shè)假設(shè) 存在存在, 必有必有 對(duì)下確界有類(lèi)似的結(jié)論對(duì)下確界有類(lèi)似的結(jié)論.Emax.supmaxEE 5 確界原理確界原理 定理定理1 (確界原理確界原理). 設(shè)設(shè) E 為非空數(shù)集，假設(shè)為非空數(shù)集，假設(shè)E有上界，那么有上界，那么E必有上必有上確界；假設(shè)確界；假設(shè)E有下界，那么有下界，那么E必有下確界。必有下確界。xE

16、bExbx E0 x0 xEEBA)|(BA非空，有上界： ，(1).假設(shè)中有最大數(shù)，那么即為上確界；中無(wú)最大數(shù)，用下述方法產(chǎn)生實(shí)數(shù)的一個(gè)分劃；，其他的實(shí)數(shù)歸入下類(lèi)，那么是實(shí)數(shù)的一個(gè)分劃。證明證明 設(shè)設(shè).(2).假設(shè)的一切上界歸入上類(lèi)1BbEx xEEAxEA 。其次，由于不是的最大數(shù)，所以它不是的上界，即。這闡明中任一元素都屬于下類(lèi)；A,B不空.首先取 A、B不漏性由A、B定義即可看出； 23 A、B不亂.設(shè) AaBb ，因a不是E的上界， Ex，使得 xa，而E內(nèi)每一元素屬于A，所以 bxa.43A 由的證明可見(jiàn)無(wú)最大數(shù). 所以 )|(BA是實(shí)數(shù)的一個(gè)分劃.由戴德金定理， 知上類(lèi)B必有最小

17、數(shù)，記作c. Ex1由 知 Ax，即得 cx .E這闡明c是的一個(gè)上界. 假設(shè)b是E的一個(gè)上界，那么 Bb，由此得 bc，所以c是上界中最小的， 由上確界定義， c為集合的上確界，記作 Ecsup下證下證:非空的有下界的集合必有下確界。非空的有下界的集合必有下確界。現(xiàn)實(shí)上，設(shè)集合 xE 有下界b， 那么非空集合 |ExxE有上界-b， 利用集合 E上確界的存在性， 即可得出集合E的下確界存在。 定理1處理了非空有上(下)界集合的上(下)確界存在性問(wèn)題，我們可以利用上確界的存在性，得出我們所研討的某一類(lèi)量如弧長(zhǎng)的存在性。 假設(shè)全序集中任一非空有上界的集合必有上確界，我們稱(chēng)該全序集是完備的。定理1

18、刻劃了實(shí)數(shù)集是完備的。下確界都存在的上因此，S設(shè)設(shè)A,B為非空有限數(shù)集為非空有限數(shù)集, . 證明證明: BAS例6 證:顯然是非空有界數(shù)集由于BAS,supsupxSxAxBxAxB 有或或,sup,supmaxBAx 從而有supmax sup ,sup;SABsupS;sup,supmaxBA 故得,supsupsup,SASxSxAx，另一方面.supsupSB 同理又有supS.sup,supmaxBA 所以 綜上,即證得.sup,supmaxsupBAS 例7 證明實(shí)數(shù)空間滿(mǎn)足阿基米德原理.證明證明 假設(shè)結(jié)論不成立，即 bna ）， 21(n4.小結(jié) P9: 1, 2, 3, 4,

19、5.:作業(yè)(1) 區(qū)間和鄰域的概念;(2) 確界原理.1.3 函數(shù)的普通概念映射映射函數(shù)的概念函數(shù)的概念幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)反函數(shù)反函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)一 映射 1 映射 定義 設(shè)X,Y是兩個(gè)給定的集合，假設(shè)按照某種規(guī)那么f,使得集合X中的每一個(gè)元素x，都可以找到集合Y中獨(dú)一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)那么f是集合X到集合Y的一個(gè)映射，記為 f : X Y X y=f(x).其中y稱(chēng)為在映射f之下x的象，x稱(chēng)為在映射f之下y的一個(gè)原象集合X稱(chēng)為映射的定義域，記為 而在映射之下， X中元素的象的全體稱(chēng)為映射的值域，記為 .fD X:fR( ),.fRy y

20、Yyf xxX并且 概括起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)映射必需具備以下三個(gè)根本要素： (1)集合X，即定義域 ； (2)集合Y，即限制值域的范圍： 3對(duì)應(yīng)規(guī)那么，使每一個(gè) 有獨(dú)一確定的y=f(x)與之對(duì)應(yīng).fD X;fRY,xX 需求指出兩點(diǎn)： (1) 映射要求元素的象必需是獨(dú)一的 (2 ) 映射并不要求逆象也具有獨(dú)一性 2 一一對(duì)應(yīng) 定義 設(shè)f是集合X到集合Y的一個(gè)映射，假設(shè)f的逆象也具有獨(dú)一性，即對(duì)X中的恣意兩個(gè)不同元素 ，它們的象 與 也滿(mǎn)足 ，那么稱(chēng)f為單射；假設(shè)映射滿(mǎn)足 ，那么稱(chēng)f為滿(mǎn)射；假設(shè)映射f既是單射，又是滿(mǎn)射，那么稱(chēng)f為雙射又稱(chēng) 一一對(duì)應(yīng)12xx1y2y12yyfRY逆映射:fXY,fyRY

21、xX( )f xyx的 :fgRXyx fxyXfR 到上,-1f11,.fffDRRX值域?yàn)樵O(shè)是單射，那么對(duì)恣意它的逆象即滿(mǎn)足方程)是獨(dú)一確定的.對(duì)應(yīng)關(guān)系構(gòu)成了的一個(gè)映射,把它稱(chēng)為的逆映射，記為其定義域?yàn)?2():,XUxugxfUYuyfug :現(xiàn)設(shè)有如下兩個(gè)映射和2,fUDXYxyfgxfg如 果 R那 就 可 以 構(gòu) 造 出一 個(gè) 新 的 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系fg :這 還 是 一 個(gè) 映 射 ， 稱(chēng) 為和 g 的 復(fù) 合 映 射復(fù)合映射復(fù)合映射 二 函數(shù)概念 函數(shù)是整個(gè)高等數(shù)學(xué)中最根本的研討對(duì)象, 可以說(shuō)數(shù)學(xué)分析就是研討函數(shù)的.因此我們對(duì)函數(shù)的概念以及常見(jiàn)的一些函數(shù)應(yīng)有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí). 例

22、例 圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)nnrSn sin2, 5 , 4 , 3 n3S5S4S6S圓內(nèi)接正圓內(nèi)接正n 邊形邊形Orn ) 定義定義 給定給定 R，假設(shè)存在某種對(duì)應(yīng)法，假設(shè)存在某種對(duì)應(yīng)法那么那么 ，使得對(duì)于，使得對(duì)于X中任一元素中任一元素 ，都有獨(dú)，都有獨(dú)一確定的數(shù)一確定的數(shù) R與之對(duì)應(yīng)，那么稱(chēng)與之對(duì)應(yīng)，那么稱(chēng) 是從是從 到到R的一個(gè)函數(shù)，記作的一個(gè)函數(shù)，記作 R。函數(shù)在。函數(shù)在 點(diǎn)點(diǎn) 的值記作的值記作 ， 稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù) 的定義域，的定義域， 稱(chēng)為自變量，稱(chēng)為自變量， 稱(chēng)為因變量。稱(chēng)為因變量。 從概念上講，從概念上講， 即對(duì)應(yīng)法那么是函數(shù)，即對(duì)應(yīng)法那么是函數(shù)， 是函數(shù)

23、值，兩者是不同的。是函數(shù)值，兩者是不同的。 但它們是相互決但它們是相互決議的，今后在大部分場(chǎng)所，不加區(qū)分。議的，今后在大部分場(chǎng)所，不加區(qū)分。 但有但有些場(chǎng)所，如微分和微分方式概念中，必需加以些場(chǎng)所，如微分和微分方式概念中，必需加以區(qū)分。區(qū)分。XXxyXf :x)(xfy XXffy f xffx()0 x)(0 xf對(duì)應(yīng)法那么對(duì)應(yīng)法那么f函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: :定義域與對(duì)應(yīng)法那么定義域與對(duì)應(yīng)法那么.xyfXDYfX21xy 例例如如，1 ,1: D211xy 例例如如，)1 ,1(: D自變量自變量因變量因變量商定商定: 定義域是自變量所能取的使算式有意定義域是自變量所能取的使算式有意義

24、的一真實(shí)數(shù)值義的一真實(shí)數(shù)值.定義定義: :.)(),(),(的圖形的圖形函數(shù)函數(shù)稱(chēng)為稱(chēng)為點(diǎn)集點(diǎn)集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 假設(shè)自變量在定假設(shè)自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只需一個(gè)，這種函是只需一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否數(shù)叫做單值函數(shù)，否那么叫做多值函數(shù)那么叫做多值函數(shù)例例如如，222ayx + + 表示函數(shù)的主要方法有三種: 表格法、圖形法、解析法(公式法). 用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念, 坐標(biāo)平面上的 v函數(shù)的表示法.)(),(),(的圖形的圖形函數(shù)函數(shù)稱(chēng)為稱(chēng)為點(diǎn)集點(diǎn)集xfyDxxfyyxC v單值函

25、數(shù)與多值函數(shù)v 在函數(shù)的定義中,對(duì)每個(gè)xD, 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總是獨(dú)一的, 這樣定義的函數(shù)稱(chēng)為單值函數(shù). v 假設(shè)給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法那么, 按這個(gè)法那么, 對(duì)每個(gè)xD, 總有確定的y值與之對(duì)應(yīng), 但這個(gè)y不總是獨(dú)一的, 我們稱(chēng)這種法那么確定了一個(gè)多值函數(shù). 例如, 由方程x2y2r2確定的函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù): 此多值函數(shù)附加條件“y0后可得到一個(gè)單值分支 221)(xrxyy. 22xry. 此函數(shù)稱(chēng)為絕對(duì)值函數(shù), 其定義域?yàn)镈=(-, +),其值域?yàn)镽f =0, + ).例 6. 函數(shù)0 0 |xxxxxy. (2) (1)常值函數(shù)常值函數(shù) y=c.其定義域?yàn)槠涠x域?yàn)镈=(-, +),其值域?yàn)槠?/p>

26、值域?yàn)镽f =c.三幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例三幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例 (3) 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)xxx sgn 其定義域?yàn)镈=(-, +) ,其值域?yàn)镽f =-1, 0, 1.(4) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超越表示不超越 的最大的最大整數(shù)整數(shù)階梯曲線(xiàn)階梯曲線(xiàn)x其定義域?yàn)镈=(-, +),其值域?yàn)?=Z. fR5“非負(fù)小數(shù)部分函數(shù) ,.yxx x +它的定義域是,0,1 .fDR +值 域 是 是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo(6) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)其定義域?yàn)镈=(-, +)

27、 ,其值域?yàn)?=0, 1.fR(7) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgxo)(xf)(xg在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法那么對(duì)應(yīng)法那么用不同的式子來(lái)表示的函數(shù)用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱(chēng)為分段函稱(chēng)為分段函數(shù)數(shù). 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy分段函數(shù)分段函數(shù)例例1 1.)3(,212101)(的的定定義義域域求求函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)+ + xfxxxf解解 + + + + + +23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故)

28、()(xgxf+)()(xgxf)()(xgxf)()(xgxf0)(xg函數(shù)的四那么運(yùn)算 在函數(shù)的共同定義域內(nèi)可以實(shí)行函數(shù)的加減法運(yùn)算和乘法運(yùn)算，, 也可以實(shí)行除法運(yùn)算 這時(shí)要特別小心，要除去的點(diǎn)。四、復(fù)合函數(shù)四、復(fù)合函數(shù) 在實(shí)踐問(wèn)題中，有很多比較復(fù)雜的函數(shù)是由幾個(gè)在實(shí)踐問(wèn)題中，有很多比較復(fù)雜的函數(shù)是由幾個(gè)比較比較 簡(jiǎn)單的函數(shù)簡(jiǎn)單的函數(shù)“疊置而成的，如在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中位疊置而成的，如在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中位移移y與時(shí)間與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系)sin( + + ty就是由三角函數(shù)就是由三角函數(shù)uysin 和線(xiàn)性函數(shù)和線(xiàn)性函數(shù) + + tu“疊置而成的，疊置而成的，,uy 設(shè)設(shè),12xu 21xy

29、定義 設(shè)函數(shù) 定義域包含函數(shù) 的值域，那么在 的定義域上可以用以下法那么確定一個(gè)函數(shù) ，稱(chēng)之為f與g的復(fù)合函數(shù)，記作 。我們總有 。 這里“ 運(yùn)算是非交換的，普通的沒(méi)有 。但它是結(jié)合的： ，故可定義 。)(xfy )(xgu)(xg)()(xgfy gf)()(xgfxgffggfhgfhgf)()(nfff21定義定義:,自變量自變量x,中間變量中間變量u,因變量因變量y留意留意: : 1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的合函數(shù)的; fDZ 復(fù)合條件復(fù)合條件,arcsinuy 例如例如;22xu+ + 2arcsin(2)yx+復(fù)合函數(shù)的定義域復(fù)合

30、函數(shù)的定義域 )(|xuDuDxxDf 使使 D 復(fù)合條件在實(shí)踐運(yùn)用時(shí)常取方式復(fù)合條件在實(shí)踐運(yùn)用時(shí)常取方式fDZ 內(nèi)層函數(shù)的值域落在外層函數(shù)的定義域之內(nèi)內(nèi)層函數(shù)的值域落在外層函數(shù)的定義域之內(nèi)2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成合構(gòu)成.,2cotxy 例例如如,yucot ,uv.2xv .1)( ,)(2xxguuufy例1).()(xgfxgf求并求定義域。例例2._)( , 1)1 (2+xfxxxf12.1122xxxxf+) ( )(xf, 22x. 22+x A. B. C. D. ,2x, 12+x五 反函數(shù) Xf :1xXx 2)()(2

31、121xfxfxx2121)()(xxxfxfYXf:)(XfY YXf:Xf :)(xfyYXf:Yy)(xfy 定義定義 設(shè)設(shè)R是一函數(shù)，假設(shè)是一函數(shù)，假設(shè)(或由)，那么稱(chēng)f在上X是 1-1的。假設(shè)假設(shè)，那么稱(chēng)f為滿(mǎn)的。是滿(mǎn)的 1-1 的，那么稱(chēng)f為1-1對(duì)應(yīng)。R是1-1 的意味著對(duì)固定y至多有一個(gè)解x，是1-1 的意味著 對(duì)，有且僅有一個(gè)解x。YXf:Yy)(xfy )(xfy )(1yfxYXf:XYf:1XXIff:1YYIff:1YXff:)(11定義定義 設(shè)設(shè)是1-1對(duì)應(yīng)。, 由獨(dú)一確定一個(gè)的反函數(shù)，記為 反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域 顯然有 (恒等變換 (恒等變

32、換) 由這種對(duì)應(yīng)法那么所確定的函數(shù)稱(chēng)為Xx0 x0yxyDW)( xfy 函函數(shù)數(shù)o0 x0yxyDW)( yx 反反函函數(shù)數(shù)o 從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒(méi)什么區(qū)別，作為函數(shù)，習(xí)慣上我們還是把反函數(shù)記為 , 這樣它的圖形與 的圖形是關(guān)于對(duì)角線(xiàn)Y=x對(duì)稱(chēng)的。)(1xfy)(xfy)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函數(shù)數(shù) 嚴(yán)厲單調(diào)函數(shù)是1-1對(duì)應(yīng)的，所以嚴(yán)厲單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)。 但 1-1 對(duì)應(yīng)的函數(shù)有反函數(shù)不一定是嚴(yán)厲單調(diào)的，看下面例子 aaayxxey xay xay)1( )1( a)1 , 0(3.對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyl

33、n xyalog xya1log )1( a)0 , 1(xOy1122322232的性質(zhì)：xysin周期為2p的周期函數(shù)有界函數(shù) |sin x|1特殊值：sin 212k+sin0ksin 212k ., 2, 1, 0ksinyxxOy1122322232的性質(zhì)：xycos周期為2p的周期函數(shù)有界函數(shù) |cos x|1特殊值：02cos+k12cosk1) 12(cos+k., 2, 1, 0kcosyxxOy22xytan的性質(zhì)：xytan周期為p的周期函數(shù)無(wú)界函數(shù)：+xxxxtanlimtanlim0202漸進(jìn)線(xiàn)：2x特殊值：., 2, 1, 00)tan(kktanyxxOy22xy

34、cot的性質(zhì)：xycot周期為p的周期函數(shù)無(wú)界函數(shù)：0202lim cotlim cotxxxx+ + 漸進(jìn)線(xiàn)：xx, 0特殊值：cot020, 1, 2,.kk+ 232正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc xycsc (5)反三角函數(shù)的圖象 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為根本初等函數(shù)三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為根本初等函數(shù).2.初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和根本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四那么運(yùn)由常數(shù)和根本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四那么運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)子表示的函數(shù),稱(chēng)為初等函數(shù)稱(chēng)為初等函數(shù).例例1 1).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx + + 求求設(shè)設(shè)解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( + + xx; 1 x, 0 x或或, 11)(2 xx;20 x,1)(20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( + + xx; 01 x, 0 x或或, 11)(2 xx;2 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 1有界函數(shù)有界函數(shù):.)(否否則則稱(chēng)稱(chēng)