1、數(shù)列與不等式的綜合問題B測試時間：120分鐘滿分：150分解答題（本題共9小題，共150分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）1 . 2016 銀川一模（本小題滿分等比數(shù)列bn的各項均為正數(shù)，b1 = 1,15分）在等差數(shù)列an中，a 3,其前n項和為Sn,&公比為 q（qM 1），且 b2+ &T12, q=.（1）求 an 與 bn；"口11112證明：3仝e+&+ S<3.解（1）設(shè)an的公差為d,因為b + S2= 12,Sq二 G解得 q = 3 或 q= 4（舍）,d= 3.（4 分）q+6+ d = 12, 所以6+ dq=.q故 3

2、 + 3（n 1） = 3n, bn= 3n1.（6 分）（2）證明：因為 Sn= n?3；3n?, （8 分）1 2 2 1 1 所以Sn= n?3+ 3n? = 3齊市 丄10分）1 1 1故s + L+ ST21八=3 2 1 2 所以 3" 21-nZ2,E12 分）1 1 1 1因為n1,所以0石"2于是產(chǎn)1 肓1,1 1 1 1 23an即3"s +寸+ 即15分)2. 2017 黃岡質(zhì)檢（本小題滿分15分）已知數(shù)列an的首項a = |,卸1 =匚7，n N*.1（1）求證：數(shù)列-1為等比數(shù)列;an 記S =1 +1 + 1，若SV100，求最大正整數(shù)

3、n. a1 a2an1解（1）證明：因為an+ 12 丄 3+ 30?1 1 1 1所以an -1=鬲-3=3又因為一一1工0，所以一一1工0（ n N），a1an1所以數(shù)列-1為等比數(shù)列.（7分）an1n- 131 1_+ 3 312(2)由(1)，可得-1= 3Xan3所以孑2x1所以s=+a11丄-.3- 3n+1.1=n + 2 X1 = n +1 3?，I31 31若Sv100，則n+1 -3<100,所以最大正整數(shù) n的值為99.（15分）33. 2016 新鄉(xiāng)許昌二調(diào)（本小題滿分15分）已知3是等差數(shù)列，bn是各項都為正 數(shù)的等比數(shù)列，且 a1 = 2， b1= 3， a3

4、+ & = 56， a5+ b3= 26.(1)求數(shù)列an , bn的通項公式;若-X2+ 3x三詁對任意n N恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.a1+ 2d+ b1 q4= 56,解(1)由題意，a1+ 4d+ b1 q2= 26,將a = 2, b一 3代入，得2十2：十；q2= 56，2+4d+ 3 q = 26,消 d得 2q4 q2-28= 0,二(2q2 + 7)( q2-4) = 0, bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列， q= 2,所以d = 3, (4分)二 an= 3n 1, bn= 32 .(8 分)記 Cn= 3-£_,')2n+ 1 'n-12n

5、 1Cn；1 Cn= 3 2 ?2n+ 1?2n + 3?>0所以Cn最小值為Cl = 1 , (12分)2 b因為X2+3x對任意n M恒成立,2所以一x + 3x<2,解得x>2或x< 1,所以 x ( X, 1 U 2，+X) . (15 分)4. 2016 江蘇聯(lián)考(本小題滿分15分)在等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn中，a 1, b =2, bn>0(n N*)，且b1, a?, k成等差數(shù)列，a, k, + 2成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an > bn的通項公式; 設(shè)Cn = abn,數(shù)列Cn的前n項和為Sn,若2n>an +1對所有正整數(shù)n恒成立，

6、求 常數(shù)t的取值范圍.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q(q>0).由題意，得 2?1 + d? = 2 + 2q,解得 d = q= 3.(3 分)?2q? = ?1 + d?3 + 2d?,二 an= 3n 2, bn=2 3 .(5 分)(2) Cn= 3 bn 2 = 2 3n-2.(7 分)S= Cl + C2+ Cn=2(31 + 32+ 3n) 2n =3n+1 2n 3.(10 分)Sn + 4n32n+1 3n八s+n = 3n+1 3=3 +1.(11 刀) 3n+ 1>3n 2 +1 恒成立，即 tv(3n 3n + 3) min.(l2

7、 分)令 f(n) = 3n3n + 3,貝y f(n+ 1) f(n) = 2 T n 3>0,所以 f(n)單調(diào)遞增.(14 分)故t<f （1） = 3,即常數(shù)t的取值范圍是（一3 3） . （15分）5. 2016 天津高考（本小題滿分15分）已知an是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d.對任意的n N, bn是an和an+1的等比中項.（1）設(shè)Cn= bn+ 1 bn, n N，求證：數(shù)列Cn是等差數(shù)列;2nn /1(2)設(shè) a = d, Tn = g1 ( 1)kb2, n N，求證：筆 1 亍<%證明 (1)由題意得 b2= anan+1,有 Cn= b；+1 b

8、2= 3+ ©+ 2 anan+1 = 2da+1, (3 分)因此 Cn+ 1 Cn= 2d(an+ 2 an+ 1) = 2/ 所以 Cn是等差數(shù)列.(6 分)(2) Tn= ( b + bz) + ( b3 + bj + ( b2n 1 + b2n)=2d( a2 + a4+ ajn?a2+ an?=2d 2=2d2n(n+1) . (9 分)n 1 丄n 11 n 11所以S1 Tk=2d22 k?k + 1?= 2d2S1 k一 k+ 1芬1- 詁.（15分）2dn+1 2d '）6. 2016 德州一模（本小題滿分15分）已知數(shù)列an滿足a + 282+ 3a3

9、+ nan= n（ n N*）.（1）求數(shù)列an的通項公式an；1令bn -2 ana2n 11 （n N）, Tn= b1+b2+ bn,寫出T-關(guān)于n的表達式，并求滿5足Tn>2時n的取值范圍.解 （1） /ai + 2a2+3a3+ na= n,所以 ai + 2a2 + 3a3+ （n 1）an-1= n 1（n2）.兩式相減得an=半2）, （4分）又a = 1滿足上式，二an = n（ n N） , （5分）（2）由（1）知 bn= 2工，（6 分）1 1 3 52n 12Tn=2+ 23+歹+ -2+1"兩式相減得12n 1班2-+11112n 1, （9 分）2

10、" / 211 212 2n 2n2n+ 3八, （10 分）2n 11,2n+ 3由 Tn Tn 1 = 32'n2n+12n 132'n= 2n當(dāng) n2 時，Tn Tn1>0,所以數(shù)列可單調(diào)遞增.（12分）1137 5T4 = 3 = <16 16 2,又T5 = 3 竺戸=83>80 532 322,2n.（15 分）所以n5時，Tn>T5>5 故所求n5, n N.（15分）7. 2016 吉林二模（本小題滿分20分）已知數(shù)列an前n項和S滿足：2S+ &= 1.2an+1（1）求數(shù)列an的通項公式; 設(shè)bn= ? + ?

11、' + 3 1?，數(shù)列bn的前n項和為Tn,求證：Tn<.解 (1)因為 2S+an= 1,所以 2S+1 + an+1 = 1.兩式相減可得 2an+1 + an+1 an = 0，即卩 3an+1 = an,_ an+ 1即石-an13，（4 分）13,又 2S + ai= 1,二31 =二所以數(shù)列an是公比為3的等比數(shù)列.（6分）3士后 _ 11 n- 1 _ 1 n故 a = 3 3= 3，12an+1數(shù)列an的通項公式為an= 3n.（8分） (2)證明：.bn= ?1 + an?1 + an+1?，2 *3n11bn= ?3n + 1?？3n+1 + 1? = 3+T

12、 ?+1, （11 分）十，11111-T戶b + b2 + + bp 3+?-3+7+ （3+1 3+1 ） + +3+1一111八4 3"+1 <4, （18 分） Tn<4.（20 分）a 18. 2016 浙江高考(本小題滿分20分)設(shè)數(shù)列an滿足an于 < 1, n N.p 1*（1）證明：I anI >2n （I a1I 2） , n N；3*2 n, n N，證明：IanI <2, n N證明（1）由an+ 1 an 一12冬1 ,得I an| 刁an+1|冬1,故丄2n 2n+1 仝 2,IanInn N, （3 分）I a1丨羽，I a

13、2I a212 + 2 2 +| an-1|丨釧2n1 一 2n12n-1<1,（6分）因此 |an| >2n-1（| ai| 2）.（8分）(2)任取n N，由(1)知,對于任意 m>n,I an|I 別| an|I an+ 11| an+ 111 an+ 22門一2 2門一2介+12*+2 +I am打1 an|2 m-11 12m 益2* + 2"+ 1十十qm1故 I anI< qn- 1 + 2“邊.2nwm2n從而對于任意m>n,均有3 m| an|<2 + 42n.由m的任意性得I an| < 2.一一*一| an0| 22 n

14、o否則，存在n0 N，有| an0|>2，取正整數(shù) m>log34且n0>no,則2n0 3 '0<2n0 4log 341 an0| 22n0=1 a。1 2,與式矛盾,綜上，對于任意n N,均有 |an| < 2.(20 分)9. 2016 金麗衢十二校聯(lián)考（本小題滿分20分）設(shè)數(shù)列an滿足：a 2, an+1 = can +右。為正實數(shù)，n N），記數(shù)列an的前n項和為S.(1)證明：當(dāng) c = 2 時，2n+1 2< Sn<3n 1(n N);（2）求實數(shù)c的取值范圍，使得數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列.解（1）證明:*r1 F an+ 11易

15、得 an>0( n N)，由 an+1 = 2an + ，得=2 +anan>2,所以an是遞增 af數(shù)列,從而有an>2,3 +11八故< 2+ -<3, (2 分)an4由此可得an+ iv3anv32an-ivv3na匸2 *3 :所以 Sn<2(1 + 3 + 32+ 3n1) = 3n 1, (4 分)又有 an+ 1>2an>2an1>>2ai = 2小,所以 Sn>2+ 22 + + 2n= 2n+1 2, (6 分)所以，當(dāng) c = 2 時，2n+1 2< Sn<3n 1(n N)成立.(8 分)13

16、 由 ai = 2 可得 82 = 2C+ 2<2，解得 c<4，(10 分)若數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列，則1 1得花戸，記t二亍，1 * 1 1又 an+1 t = (an t) c t，因為 ant(n N)均為正數(shù)，所以 c>0，即 an>由an>0(n N)及 c，t>0 可知 an+1 t <c( ant )< -<cn(a1 t) = cn(2 t)，進而可得 an<c (2 t) +1.1由兩式可得，對任意的自然數(shù)n，tC<cn1(2 t) +1恒成立.3 111因為 o<c<3, t<2,所以t1<t，即c<tJ，解得 c>2.(i4F面證明：當(dāng)<c<3時，數(shù)列an是單調(diào)