1、 2022-1-18 16:59 第二章第二章 群論群論 11 圖形的對稱變換群、群的應用圖形的對稱變換群、群的應用 2022-1-18 16:59定義定義1: 使圖形不變形地變到與它重合的變使圖形不變形地變到與它重合的變換稱為這個圖形的對稱變換換稱為這個圖形的對稱變換. 定義定義2：圖形的一切對稱變換關于變換的乘圖形的一切對稱變換關于變換的乘法構成群，稱為這個圖形的法構成群，稱為這個圖形的對稱變換群對稱變換群. 2022-1-18 16:59 設正三角形的三個頂點分別為設正三角形的三個頂點分別為1、 2、 3. 顯然，正三角形的每一對稱變換都導致正三顯然，正三角形的每一對稱變換都導致正三角形

2、的三個頂點的唯一一個置換角形的三個頂點的唯一一個置換. 反之，反之， 由由正三角形的三個頂點的任一置換都可得到正正三角形的三個頂點的任一置換都可得到正三角形的唯一一個對稱變換，從而可用三角形的唯一一個對稱變換，從而可用3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S 表示正三角形的對稱變換群表示正三角形的對稱變換群. 2022-1-18 16:59其中其中(1)為恒等變換為恒等變換, (1 2), (1 3), (2 3) 分分別表示關于正三角形的三個對稱軸的反射變換別表示關于正三角形的三個對稱軸的反射變換, (1 2 3), (1 3 2)分別表示關于正三角形的中分別表示關于

3、正三角形的中心按逆時針方向旋轉(zhuǎn)心按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120度、度、240度的旋轉(zhuǎn)變度的旋轉(zhuǎn)變換換.l3Ol1l2231l2l1l3l4O1234 2022-1-18 16:59 正方形的四個頂點分別可用正方形的四個頂點分別可用1、 2、 3、 4來表示來表示. 于是正方形的每一對稱變換可用一于是正方形的每一對稱變換可用一個個4次置換來表示次置換來表示. 顯然，顯然， 不同的對稱變換不同的對稱變換所對應的置換也不同，而對稱變換的乘積對所對應的置換也不同，而對稱變換的乘積對應了置換的乘積應了置換的乘積. 這說明，正方形的對稱變換這說明，正方形的對稱變換群可用一置換群來表示群可用一置換群來表示. 202

4、2-1-18 16:59 第一類第一類: 繞中心的分別旋轉(zhuǎn)繞中心的分別旋轉(zhuǎn)90度，度，180度，度，270度，度，360度的旋轉(zhuǎn)，度的旋轉(zhuǎn)，這對應于置換這對應于置換 (1234)， (13)(24)， (1432)，(1).第二類第二類: 關于正方形的關于正方形的4條對稱軸的反射條對稱軸的反射, 這對應于置換這對應于置換所以所以, 正方形的對稱變換群有上述正方形的對稱變換群有上述 8個元素個元素. 這是四次對稱群的一個子群這是四次對稱群的一個子群. 2022-1-18 16:591, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 2022-1-18 16:591：ABCD2 Pi 2022-1-18

5、 16:592ABCD2 PiABCDPi2 2022-1-18 16:593ABCD2 PiABCDPi 2022-1-18 16:594ABCD2 PiABCD3 Pi2 2022-1-18 16:595ABCDABCD 2022-1-18 16:596ABCDABCD 2022-1-18 16:597ABCDABCD 2022-1-18 16:598ABCDABCD 2022-1-18 16:59 正正n邊形的對稱變換群階為邊形的對稱變換群階為2n. . 這種群稱這種群稱為為2n 元二面體群元二面體群. . 記為記為Dn 1123,n 22123,n 11123,nnn , 01 , 0

6、2(31),nn 2022-1-18 16:596D 123456(1),(123456),(135)(246),(14)(25)(36),(153)(264),(165432),(26)(35),(13)(46),(15)(24),(16)(25)(34),(12)(36)(45),(14)(23)(56) 2022-1-18 16:592 個個2-循環(huán)，循環(huán)，n 個個n-循環(huán)循環(huán),組成，則稱組成，則稱 121 2nn 型置換，型置換，其中其中1212.nnn 例：例：5S中中(123)(123)(4)(5) 是一個是一個211 3型置換型置換(12345)是一個是一個15型置換型置換(12

7、)(34)(12)(34)(5) 是一個是一個121 2型置換型置換是一個是一個 一個一個n次置換次置換 ，如果其循環(huán)置換分解式，如果其循環(huán)置換分解式是由是由1 個個1-循環(huán)，循環(huán)， 2022-1-18 16:59問題的提法：問題的提法：用用n種顏色的珠子做成有種顏色的珠子做成有m顆珠子的項鏈，顆珠子的項鏈，問可做成多少種不同類型的項鏈？問可做成多少種不同類型的項鏈？ 這里所說的不同類型的項鏈，指兩個這里所說的不同類型的項鏈，指兩個項鏈無論怎樣旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)都不能重合。項鏈無論怎樣旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)都不能重合。 2022-1-18 16:5912354678 沿逆時針方向給珠子標號，沿逆時針方向給珠子標號

8、，由于每一顆珠子的顏色有由于每一顆珠子的顏色有n種選種選擇，因而用乘法原理，這些有標擇，因而用乘法原理，這些有標號的項鏈共有號的項鏈共有nm種。種。但其中有一些可以通過旋轉(zhuǎn)一個角但其中有一些可以通過旋轉(zhuǎn)一個角度或翻轉(zhuǎn)度或翻轉(zhuǎn)180度使它們完全重合，度使它們完全重合，我們稱為是本質(zhì)相同的，我們要考我們稱為是本質(zhì)相同的，我們要考慮的是無論怎么旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)都不能慮的是無論怎么旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)都不能使它們重合的項鏈類型數(shù)。使它們重合的項鏈類型數(shù)。 2022-1-18 16:59 設設X=1，2，m, 代表代表m顆珠子的集合，顆珠子的集合，它們逆時針排列組成一個項鏈，由于每顆珠子它們逆時針排列組成一個項鏈，由于

9、每顆珠子標有標號，我們稱這樣的項鏈為有標號的項鏈標有標號，我們稱這樣的項鏈為有標號的項鏈. . 12,nAa aa 為為n種顏色的集合種顏色的集合. 則每一個映射則每一個映射: XA 代表一個有標號代表一個有標號的項鏈的項鏈. |: XA mn ，它是全部有，它是全部有令令標號項鏈的集合，顯然有標號項鏈的集合，顯然有，是全部有標號項鏈的數(shù)目，是全部有標號項鏈的數(shù)目. 2022-1-18 16:5912km1 2 iiiimkmgD12km1 2 c c c ckm kcA 設設，其中，其中mD 2022-1-18 16:59g 12m11m212m 12iii c cccccggg mgg e

10、 111211212ggg gg g 111211212gggggg 1212g ggg 2022-1-18 16:59mgD mgD 12g 2 1 2 1 mD 2022-1-18 16:59mgD g gf 12 g g ggg12 12mm 2022-1-18 16:59 6123645gD 1112332123456aaaaaa 1112332(1)(2)(3)(4)(5)(6)(gggggggaaaaaa 1112332216543aaaaaa 1 g 2022-1-18 16:59g2122332123456aaaaaa 2 g2122332(1)(2)(3)(4)(5)(6)(

11、gggggggaaaaaa 122332216543aaaaaa 2 2022-1-18 16:59gf |,gfg ggg12m 12mn g 2022-1-18 16:5912mgfn 121mmgmNnDD mD 1221112,1 2,mmmNnmDmc ,12,cm 2022-1-18 16:59解解1234566D (1),(123456),(135)(246),(14)(25)(36),(153)(264),(165432),(26)(35),(13)(46),(15)(24),(16)(25)(34),(12)(36)(45),(14)(23)(56) 2022-1-18 16:596163gf 221 243gf 3233gf 2323gf 163gf 64321342