1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上空間線線、線面、面面垂直關系練習題 一、填空題1給出下列三個命題：“直線、為異面直線”的充分非必要條件是“直線、不相交”；“直線垂直于直線”的充分非必要條件是“直線垂直直線在平面內的射影”；“直線垂直平面” 的必要非充分條件是“直線垂直于平面內的無數(shù)條直線”其中所有真命題的序號是 2如圖，正方形ABCD，P是正方形平面外的一點，且PA平面ABCD則在PAB、PBC、PCD、PAD、PAC及PBD中，為直角三角形有_5_個3在四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足 時，平面MBD平面PCD 4已知三棱錐的底面是正三角形，點

2、在側面上的射影是的垂心，且的長為定值，則下列關于此三棱錐的命題：點在側面上的射影是的垂心；三棱錐是一個正三棱錐；三棱錐的體積有最大值；三棱錐的體積有最小值.其中正確命題的序號為 .5如果a,b是異面直線，P是不在a,b上的任意一點，下列四個結論：（1）過P一定可作直線L與a , b都相交；（2）過P一定可作直線L與a , b都垂直；（3）過P一定可作平面與a , b都平行；（4）過P一定可作直線L與a , b都平行，其中正確的結論有_（2）_6給出下列命題：分別和兩條異面直線ABCD同時相交的兩條直線ACBD一定是異面直線同時與兩條異面直線垂直的兩直線不一定平行斜線b在面內的射影為c，直線ac

3、，則ab有三個角為直角的四邊形是矩形，其中真命題是 7點P在直徑為2的球面上，過P作兩兩垂直的三條弦，若其中一條弦長是另一條弦長的2倍，則這三條弦長之和為最大值是 8正四面體ABCD的棱長為1，棱AB/平面，則正四面體上的所有點在平面內的射影構成圖形面積的取值范圍是 9直二面角的棱上有一點A，在平面、內各有一條射線AB，AC與成450，AB，則BAC= （或，兩種情形）10.四棱錐的底面是矩形，面，為 的中點，為上一點，且面，則 .11已知邊長為的正，點分別在邊上，且，以為折痕，把折起至，使點在平面上的射影始終落在邊上，記，則的取值范圍為 【答案】【解析】設到的距離為，則與間距離為，的面積為

4、的取值范圍為12三棱錐中，點在內，且，則的度數(shù)是_13.如圖，與是四面體中互相垂直的棱，若，且，其中、為常數(shù)，則四面體的體積的最PABDC大值是 ?！敬鸢浮?4如圖，已知平面平面，、是平面與平面的交線上的兩個定點，且，在平面上有一個動點，使得，則的面積的最大值是 12 .二、解答題15 如圖，正方形所在的平面與三角形所在的平面交于，平面，且 （1）求證：平面；（2）求證：平面平面； 證明：（1）正方形ABCD中，又平面CDE， 平面CDE， 所以平面CDE （2）因為，且， 所以， 又 且， 所以， 又， 所以16.如圖所示，ABC為正三角形，EC平面ABC，BDCE，ECCA2BD，M是EA

5、的中點求證：（1）平面BDM平面ECA（2）平面DEA平面ECA17.如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，已知，(1)設是上的一點，證明：平面平面；ABCMPD(2)求四棱錐的體積(1) 證明：在中，由于，所以故又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面(2) 解：過作交于，由于平面平面，所以平面因此為四棱錐的高，又是邊長為4的等邊三角形因此在底面四邊形中，所以四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為，此即為梯形的高，所以四邊形的面積為18.如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=AD，ABC=600，E是BC的中點如圖2，將ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，連結B

6、C，BD，F(xiàn)是CD的中點，P是棱BC的中點(1)求證：AEBD； (2)求證：平面PEF平面AECD；(3)判斷DE能否垂直于平面ABC?并說明理由ABCDE圖1ABCDEFP圖2證明：(1)連接，取中點，連接在等腰梯形中，AB=AD，E是BC的中點，與都是等邊三角形 平面，平面平面，(2)連接交于點，連接，且，四邊形是平行四邊形。N是線段的中點。P是線段的中點， 平面 平面(3)與平面不垂直假設平面，則平面，平面，平面 ，這與矛盾與平面不垂直ABCC1B1A1FDEM19.如圖，三棱柱中，D、E分別是棱BC、AB的中點，點F在棱上，已知.(1)求證:平面ADF;(2)若點M在棱上，當為何值時

7、，平面平面ADF?分析：（1）要證明,可通過線線平行和面面平行兩條路來證明線面平行.要在平面中找到與平行的直線，可反用線面平行的性質，利用過的平面與平面的交線,這里注意為的重心，（）,再利用比例關系證明從而證明結論.ABCC1B1A1FDEOM.取中點,可通過證明面,證明解：（1）連接交于，連接 因為CE，AD為ABC中線，所以O為ABC的重心，從而OF/C1E OF面ADF，平面，所以平面 （2）當BM=1時，平面平面 在直三棱柱中，由于平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC 由于AB=AC，是中點，所以又平面B1BCC1平面ABC=BC， 所以AD平面B1BCC

8、1 而CM平面B1BCC1，于是ADCM 因為BM =CD=1，BC= CF=2，所以，所以CMDF DF與AD相交，所以CM平面 CM平面CAM，所以平面平面 當BM=1時，平面平面20已知正三角形所在的平面與直角梯形垂直，且NPCBADHM（1）求證：；（2）求點到平面的距離；（3）在線段上是否存在一點，使得平面20【解析】（1）（2）由 即（或過作的垂線，求垂線段的長）（3）假設上存在點，使得平面.在平面內過點作交于,連接,則 又， 所以平面是平行四邊形 ，所以 ，這與矛盾，所以假設不成立，即在線段上不存在一點，使得平面.21.如圖1，在正方體中，為 的中點，AC交BD于點O，求證：平面

9、MBD證明：連結MO，DB，DBAC， DB平面，而平面 DB 設正方體棱長為，則， 在Rt中， OMDB=O， 平面MBD評注：在證明垂直關系時，有時可以利用棱長、角度大小等數(shù)據(jù)，通過計算來證明22.如圖2，是ABC所在平面外的一點，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求證：BC平面PAC 證明：在平面PAC內作ADPC交PC于D因為平面PAC平面PBC，且兩平面交于PC，平面PAC，且ADPC， 由面面垂直的性質，得AD平面PBC 又平面PBC，ADBC PA平面ABC，平面ABC，PABC ADPA=A，BC平面PAC 評注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應將兩條直

10、線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直在空間圖形中，高一級的垂直關系中蘊含著低一級的垂直關系，通過本題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直一般來說，線線垂直或面面垂直都可轉化為線面垂直來分析解決，其關系為：線線垂直線面垂直面面垂直這三者之間的關系非常密切，可以互相轉化，從前面推出后面是判定定理，而從后面推出前面是性質定理同學們應當學會靈活應用這些定理證明問題下面舉例說明23.如圖所示，ABCD為正方形，平面ABCD，過且垂直于的平面分別交于求證：，證明：平面ABCD，平面SAB又平面SAB，平面AEFG，平面SBC同理可證評注：本題欲證線線垂直，可轉化為證線

11、面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉化中，平面起到了關鍵作用，同學們應多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實現(xiàn)證明所需要的轉化24.如圖，在三棱錐BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，為垂足，作AHBE于求證：AH平面BCD 證明：取AB的中點，連結CF，DF ， ， 又，平面CDF 平面CDF， 又， 平面ABE， ， 平面BCD評注：本題在運用判定定理證明線面垂直時，將問題轉化為證明線線垂直；而證明線線垂直時，又轉化為證明線面垂直如此反復，直到證得結論25如圖，是圓的直徑，是圓周上一點，平面ABC若AEPC ，為垂足，是PB上任意一點，求證：平面AEF平面PBC證明：AB是圓的直徑，平

12、面ABC，平面ABC，平面APC平面PBC，平面APC平面PBCAEPC，平面APC平面PBCPC，AE平面PBC平面AEF，平面AEF平面PBC評注：證明兩個平面垂直時，一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關系26.如圖, 在空間四邊形SABC中, SA平面ABC, ÐABC = 90°, ANSB于N, AMSC于M。求證: ANBC; SC平面ANM分析:要證ANBC, 轉證, BC平面SAB。 要證SC平面ANM, 轉證, SC垂直于平面ANM內的兩條相交直線, 即證SCAM, SCAN。要證SCAN, 轉

13、證AN平面SBC, 就可以了。證明: SA平面ABCSABC又BCAB, 且ABSA = ABC平面SABAN平面SABANBC ANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBCANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面ANM27.在三棱錐SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC（1）求證：ABBC；（1）【證明】作AHSB于H，平面SAB平面SBC平面SAB平面SBC=SB，AH平面SBC，又SA平面ABC，SABC，而SA在平面SBC上的射影為SB，BCSB，又SASB=S，BC平面SABBCAB28.如圖941，PA平面ABCD，四邊形ABCD是矩形

14、，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點（1）求平面PCD與平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求證：平面MND平面PCD（1）【解】PA平面ABCD，CDAD，PDCD，故PDA為平面ABCD與平面PCD所成二面角的平面角，在RtPAD中，PA=AD，PDA=45°（2）【證明】取PD中點E，連結EN，EA，則EN CD AM，四邊形ENMA是平行四邊形，EAMNAEPD，AECD，AE平面PCD，從而MN平面PCD，MN平面MND，平面MND平面PCD【注】 證明面面垂直通常是先證明線面垂直，本題中要證MN平面PCD較困難，轉化為證明AE平面PCD就較簡單了另外，在本題中

15、，當AB的長度變化時，可求異面直線PC與AD所成角的范圍29.正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中點（1）求證：平面MNF平面ENF（2）求二面角MEFN的平面角的正切值（1）【證明】M、N、E是中點，即MNEN，又NF平面A1C1，MNNF，從而MN平面ENFMN 平面MNF，平面MNF平面ENF（2）【解】過N作NHEF于H，連結MHMN平面ENF，NH為MH在平面ENF內的射影，由三垂線定理得MHEF，MHN是二面角MEFN的平面角在RtMNH中，求得MN=a，NH=a，tanMHN=，即二面角MEFN的平面角的正切值為30.，四棱

16、錐PABCD的底面是邊長為a的正方形，PA底面ABCD，E為AB的中點，且PA=AB（1）求證：平面PCE平面PCD；（2）求點A到平面PCE的距離（1）【證明】PA平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又四邊形ABCD為矩形，CDAD，CDPD，ADPD=DCD面PAD，PDA為二面角PCDB的平面角，PA=PB=AD，PAADPDA=45°，取RtPAD斜邊PD的中點F，則AFPD，AF 面PAD CDAF，又PDCD=DAF平面PCD，取PC的中點G，連GF、AG、EG，則GF CD又AE CD，GF AE四邊形AGEF為平行四邊形AFEG，EG平面PDC又EG 平面PEC，

17、平面PEC平面PCD（2）【解】由（1）知AF平面PEC，平面PCD平面PEC，過F作FHPC于H，則FH平面PECFH為F到平面PEC的距離，即為A到平面PEC的距離在PFH與 PCD中，P為公共角，而FHP=CDP=90°，PFHPCD，設AD=2，PF=，PC=，F(xiàn)H=A到平面PEC的距離為 31如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA平面ABC（1）求證：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面（1）【證明】C是AB為直徑的圓O的圓周上一點，AB是圓O的直徑BCAC；又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，從而BC平面PACBC 平面PBC，平面PAC平面PBC（2）【解】平面PAC平面ABCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD32ABCABC是正三棱柱，底面邊長為a，D，E分別是BB，CC上的一點，BDa，