1、Mathematics Laboratory阮小娥博士一元函數微積分與一元函數微積分與無窮級數無窮級數阮小娥教授Sept. 2019 數列極限的概念數列極限的概念 收斂數列的性質與極限運算法則收斂數列的性質與極限運算法則 數列收斂的判別準則數列收斂的判別準則第一章 微積分的理論基礎第二節(jié)第二節(jié) 數列的極限數列的極限2課時）課時）1作業(yè)：作業(yè)：page34, A組組9(1)(3), 11(1)(2)(5)(7)(8)12(1), 13(1). 15.“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”（1 1割圓

2、術：割圓術：播放播放劉徽劉徽1、概念的引入、概念的引入第一部分第一部分 數列極限的概念數列極限的概念2R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS3（2 2截丈問題：截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211 X第一天截下的杖長為第一天截下的杖長為;212122 X為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnXn 天截下的杖長總和為天截下的杖長總和為第第nnX211 1戰(zhàn)國戰(zhàn)國 中，惠施說：中，惠施說：42、數列的定義、數列的定義定義定義:按自然數按自然數,

3、 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數編號依次排列的一列數 ,21nxxx (1)稱為稱為無窮數列無窮數列,簡稱簡稱數列數列.其中的每個數稱為數其中的每個數稱為數列的列的項項,nx稱為稱為通項通項(一般項一般項).數列數列(1)記為記為nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n5注意：注意：1.數列對應著數軸上一個點列數列對應著數軸上一個點列.可看作一可看作一動點在數軸上依次取動點在數軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數列是整標函數數列是整標函數).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21,

4、 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 6.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數數列列 nnn播放播放3、數列的極限、數列的極限7問題問題1: 當當 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數值確定的數值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當nxnnn 問題問題2:“無限接近意味著什么無限接近意味著什么?如何用數學語言如何用數學語言刻劃它刻劃它? 1nxnnn11)1(1 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:8,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n

5、,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只只要要 n,100011 nx有有, 0 給給定定,)1(時時只只要要 Nn.1成成立立有有 nx9定義：定義：, ,不論它多么不論它多么是數列是數列 如果對于任意給定的正數如果對于任意給定的正數e( (小小),),總存在正數總存在正數N, ,使得對于使得對于Nn時的一切時的一切nx不等式不等式e-axn都成立都成立 , ,那末就稱常數那末就稱常數anx的極限的極限, ,或者稱數列或者稱數列nx收斂于收斂于a。記為記為或或如果數列沒有極限如果數列沒有極限,就說數

6、列是發(fā)散的就說數列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有有關關與與任任意意給給定定的的正正數數 Nnaxnaxnnlim10 x1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個內內都落在都落在所有的點所有的點時時當當NaaxNnn :定義定義N 其中其中;:每每一一個個或或任任給給的的 .:至少有一個或存在至少有一個或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有時時使使11數列極限的定義未給出求極限的方法數列極限的定義未給出求極限的方法.

7、例例1. 1)1(lim1 nnnn證證明明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,時時則則當當Nn 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：12例例2.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數數設設證證Cxn CC ,成立成立 ,0 任任給給所以所以,0 ,n對于一切自然數對于一切自然數.limCxnn 說明說明:常數列的極限等于同一常數常數列的極限等于同一常數.小結小結: 用定義證數列極限存在時用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給關鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但

8、不必要求最小的N., 0 13例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,時時則則當當Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 14例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求證證且且設設證證, 01a取取.limaxnn 故故,limaxnn 1axNnNn時時恒恒有有使使得得當當axaxaxnnn 從從而而有有aaxn a1 , 0任任給給15第二部分：收斂數列的性質第二部分：收斂數列的性質 與極限運算法則與極限運算法

9、則1.有界性有界性定定義義: 對對數數列列nx, 若若存存在在正正數數M, 使使得得一一切切自自然然數數n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 則則稱稱數數列列nx有有界界,否否則則, 稱稱為為無無界界.例如例如,;1 nnxn數列數列.2nnx 數數列列數數軸軸上上對對應應于于有有界界數數列列的的點點nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界無界無界16定理定理1 1 收斂的數列必定有界收斂的數列必定有界. .證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時時恒恒有有使使得得當當則則. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有

10、則對一切自然數則對一切自然數 .有界有界故故nx注意：有界性是數列收斂的必要條件注意：有界性是數列收斂的必要條件.推論推論 無界數列必定發(fā)散無界數列必定發(fā)散. .172.唯一性唯一性定理定理2 2 每個收斂的數列只有一個極限每個收斂的數列只有一個極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設設由定義由定義,使使得得., 021NN ;1 axNnn時恒有時恒有當當;2 bxNnn時時恒恒有有當當 ,max21NNN 取取時時有有則則當當Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .時時才才能能成成立立上上式式僅僅當當ba 故收斂數列極限唯一故收斂數列極限唯一.18例例5.)1(

11、1是是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數數列列 nnx證證,limaxnn 設設由定義由定義,21 對于對于,21,成立成立有有時時使得當使得當則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即即當當區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.,1, 1兩兩個個數數無無休休止止地地反反復復取取而而 nx不可能同時位于長度為不可能同時位于長度為1的區(qū)間內的區(qū)間內., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實上事實上nx19定理定理3.有理運算法則：有理運算法則：則設,lim,limbbaannnnbababannnnnnnlimlimlimbababannnnnnnlimlimlimabbabannnnnnnlimliml

12、im0,limlimlimbbababannnnnnn .,lim1為常數kkakann Zmaammnn,lim2（可推廣到有限個數列的情形）（可推廣到有限個數列的情形）推論：推論：20, 0,limaaann設定理定理4.保號性保號性,NN則.,同號與使得aaNnn并且，并且，. 0, 0qaNnNan恒有使得則假設假設反之，反之，. 0, 0qaNnNan恒有使得則假設假設定理定理5.保序性保序性,.lim,limNnNbbaannnn使得若N設設，恒有nnba . ba 則21定理定理6.夾逼性夾逼性,limlimNnNabannnn使得若N設設，恒有nnnbca.limacnn則例例

13、6 nnnn1lim例例7 12321lim3nnnnn例例8.01lim)2.(1lim) 1 ( :aannnnn證明2221) 1(21lim2nnnnn所以,所求極限為.21分析：分析： 考慮利用夾逼性考慮利用夾逼性. 構造夾逼數列構造夾逼數列1212nn1) 1(21lim121lim22nnnnnnn例例9 ).2211(lim222nnnnnn求nnnnn2222211nnn22121nnnn221lim23重要極限重要極限（1可以證明它是單調增的；（2可以證明它有上界3。.11limennn單調性：單調性：定理定理7 （單調有界準則）（單調有界準則）單調增減有上下界的數列必定收

14、斂。單調增減有上下界的數列必定收斂。第三部分：數列收斂的判別準則第三部分：數列收斂的判別準則 ，都有若設有數列11,nnnnnaaaanaN 是單調增（減）的。則數列na若以上不等式是嚴格成立的，則稱該數列是嚴格單調若以上不等式是嚴格成立的，則稱該數列是嚴格單調增減的。增減的。nnn11lim求極限例例1024子數列與數列極限的歸并原理子數列與數列極限的歸并原理,:21kknnnnaaaa子數列子列）子數列子列）aannlim設設 為一數列，由為一數列，由 中的無窮多項按照腳標中的無窮多項按照腳標由小到大排列所組成的一個數列稱為數列由小到大排列所組成的一個數列稱為數列 的的一個子數列子列）。一

15、個子數列子列）。 na na na定理定理8歸并原理）歸并原理）記做：記做：aaknklim主要利用它的逆否命題判斷數列的發(fā)散性。主要利用它的逆否命題判斷數列的發(fā)散性。為任一子列，則設kna25Cauchy收斂原理收斂原理定理定理9 （Cauchy收斂原理）收斂原理）aannlim., 0 nmaaNnmN恒有使得N例例1126nan131211,1,31,21, 1n的前的前n n項和構成的數列項和構成的數列發(fā)散。發(fā)散。證明證明: : 調和數列調和數列例例12證明證明: : 數列數列222sin22sin11sinnnan收斂收斂.例例13有極限。證明數列), 2 , 1( !10nnann

16、思路分析思路分析 考慮利用單調有界準則：討論其單調性和有界性考慮利用單調有界準則：討論其單調性和有界性1101naann開始遞減；后，當nan10又數列為正，0為它的一個下界；所以，必有極限。27一、一、 利用數列極限的定義證明利用數列極限的定義證明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二、二、 設數列設數列nx有界，又有界，又0lim nny， 證明：證明：0lim nnnyx. .練練 習習 題題281 1、割圓術：、割圓術：“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣

17、體而無所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入1 1、割圓術：、割圓術：“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、

18、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：