1、盱眙中學(xué)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、填空題1已知向量a，b滿足| a | = 1，b = 2，(a b)·a = 0，則a與b的夾角為 2中，所對(duì)的邊長分別為，且，則。3已知、，滿足=+（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）,若+=1 , 則點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程是 4命題“存在，使得”的否定是 5如果關(guān)于的不等式的解集不是空集，則參數(shù)的取值范圍是 6已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)k，對(duì)定義域中的任意x，等式恒成立現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)：，則函數(shù)、與集合M的關(guān)系為 .7若集合, 則等于 _8設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知=3，=11，則等于_9數(shù)列，的一個(gè)通項(xiàng)公式為_.10不等式的解集為_.

2、11已知a+1，a+2，a+3是鈍角三角形的三邊，則a的取值范圍是 12已知，且，則的最大值為13已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，xn的平均數(shù)是，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)2x1 1，2x2 1，2x3 1，2xn 1的平均數(shù)是，方差是14某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間5,40中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有_ _根在棉花纖維的長度小于20mm。二、解答題15（）設(shè)函數(shù)，求的最小值；（）設(shè)正數(shù)滿足，證明16設(shè)，函數(shù) （1）求m的值，并確定函數(shù)的奇偶性； （2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證

3、明。17（本題16分）已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)的底數(shù)，當(dāng)時(shí)，解不等式；若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍；當(dāng)時(shí)，試判斷：是否存在整數(shù)k，使得方程在 上有解？若存在，請(qǐng)寫出所有可能的k的值；若不存在，說明理由。18附加題) 已知矩陣， （1）計(jì)算AB； （2）若矩陣B把直線的方程。19本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每小題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換已知矩陣，向量 (I)求矩陣的特征值、和特征向量；(II)求的值（2）（本小

4、題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為（）求直線l的直角坐標(biāo)方程；（）點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講（）已知：a、b、；w.w.w. .c.o.m （）某長方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長之和等于3，求其對(duì)角線長的最小值.20如圖，在以點(diǎn)為圓心，為直徑的半圓中，是半圓弧上一點(diǎn)，曲線是滿足為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，且曲線過點(diǎn).（）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線的方程；（）設(shè)過點(diǎn)的直線l與曲線相交于不同的兩點(diǎn)、若的面

5、積不小于，求直線斜率的取值范圍. 參考答案一、填空題1【解析】試題分析：由得夾角為考點(diǎn)：向量數(shù)量積運(yùn)算點(diǎn)評(píng)：22【解析】34對(duì)任意，都有.【解析】含有量詞的命題既要否定量詞，又要否定結(jié)論.56M, 【解析】（1）若axbM，則存在非零常數(shù)k，對(duì)任意xD均有 akxb，即a(k1)x恒成立，得無解，所以M（2），則，k4，k2時(shí)等式恒成立，所以M78639an=10111213，1430二、解答題15（）解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)：于是， 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間是增函數(shù)，所以時(shí)取得最小值，（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明()當(dāng)n=1時(shí)，由（）知命題成立()假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立即若正數(shù)滿足，則當(dāng)n=k

6、+1時(shí)，若正數(shù)滿足，令，則為正數(shù)，且，由歸納假定知同理，由，可得綜合、兩式即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立根據(jù)()、()可知對(duì)一切正整數(shù)n命題成立16略17（1）；（2）；（3）存在唯一的整數(shù)?！窘馕觥恳?yàn)樗裕「闹虚g；即不等式恒成立，分類討論：且時(shí)，數(shù)形結(jié)合：如圖：若，若，如圖：方程在 上有解，需判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合。（1） 即，由于，所以所以解集為；當(dāng)時(shí)，即不等式恒成立， 若，則，該不等式滿足在時(shí)恒成立； 由于， 所以有兩個(gè)零點(diǎn)， 若，則需滿足 即，此時(shí)無解； 若，則需滿足，即，所以， 綜上所述，a的取值范圍是。方程即為，設(shè)， 由于和均為增函數(shù)，則也是增函數(shù)， 又因?yàn)椋?所以該函數(shù)

7、的零點(diǎn)在區(qū)間上，又由于函數(shù)為增函數(shù)，所以該函數(shù)有且僅有 一個(gè)零點(diǎn)，所以方程有且僅有一個(gè)根，且在內(nèi)，所以存在唯 一的整數(shù)。18略19（1）解：（I）的特征多項(xiàng)式為令，得1， 2分當(dāng)1時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得 4分(II)由得，得 5分 7分（2）解：（）化簡為，直線l的直角坐標(biāo)方程為； 3分（）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，得P到直線l的距離， 5分即，其中 當(dāng)時(shí)， 7分（3）m 解：（）， ， 4分（）不妨設(shè)長方體同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別等于a、b、c， 7分【解析】20（）() -，-1（-1， 1）（1，）.【解析】(I)先建系，然后根據(jù)為定值,可確定點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，然后按照求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求解即

8、可.(II) 先設(shè)直線l的方程為ykx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.根據(jù)條件可知 ,從而得到k的取值范圍.再利用弦長公式和韋達(dá)定理用k表示出|EF|,再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)O到直線l的距離，從而表示出三角形的面積，這樣三角形的面積就表示成了關(guān)于k的函數(shù)，再根據(jù),得到關(guān)于k的不等式，從而解出k的取值范圍，再與前面k的取值范圍求交集即可.（）解法1：以O(shè)為原點(diǎn)，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得MA-MB=PA-PBAB4.曲線C是以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的雙曲線.設(shè)

9、實(shí)平軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則c2，2a2，a2=2,b2=c2-a2=2.曲線C的方程為.解法2：同解法1建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得MA-MB=PA-PBAB4.曲線C是以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的雙曲線.設(shè)雙曲線的方程為0，b0）.則由解得a2=b2=2,曲線C的方程為()解法1：依題意，可設(shè)直線l的方程為ykx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F， k（-,-1）（-1，1）（1，）.設(shè)E（x，y），F(xiàn)(x2,y2)，則由式得x1+x2=,于是EF而原點(diǎn)O到直線l的距離d，SDEF=若OEF面積不小于2,即SOEF，則有 綜合、知，直線l的斜率的取值范圍為-，-1(1-,1) (1, ).解法2：依題意，可設(shè)直線l的方程為ykx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0.直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F， k（-，-1）（-1，