1、問題07函數(shù)與方程、不等式相結(jié)合問題一、考情分析函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式都是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，也都是高考的熱點和重點，在每年的高考試題中這部分內(nèi)容所占的比例都很大，函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式是高中數(shù)學的主線，它們貫穿于高中數(shù)學的各個內(nèi)容 ，求值的問題就要涉及到方程 ，求取值范圍的問題就離不開不等式，但方程、不等式更離不開函數(shù) ，函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式思想的運用是我們解決問題的重要手段二、經(jīng)驗分享（1）確定函數(shù)零點所在區(qū)間，可利用零點存在性定理或數(shù)形結(jié)合法.（2）判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：解方程法；零點存在性定理、結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)；數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).-X*十甚xW 1解析】

2、對任苣的圣士W區(qū)都有/區(qū)）"區(qū)）成立即汽"玉式。必觀察回工工31的圖象可知，當工=；時，函數(shù),在）嘰二；因為式處二|光一上+仍一1竦工一左一伊1）日上T|,所以 ,一g工日二|4一1|.所以JkTR；解得左w；或上豈;，故答案為或左44444【點評】本題考查了分段函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，主要考察了不等式的恒成立問題和函數(shù)的最值問題.注意不等式：|a| |b|對a,b R是恒成立的.特別要注意等號成立的條件.滲透到方程問題、不等式問題、和某些代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)知識.且涉及的知識點多、面廣 ，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，它們是高考中考查的重點，所以在教

3、學中我們應引引起高度的重視.（.3d+6工工之G【小試牛刀】【2018屆湖南衡陽高三12月聯(lián)考】已知函數(shù)，若恰好存在3個切一A整數(shù)x,使得 -U成立，則滿足條件的整數(shù)a的個數(shù)為()A. 34 B. 33 C. 32 D. 25【答案】A【解析】畫出f X的函數(shù)圖象如圖所示： I.1 1 4 I蘭 £>口時,左)之知當芯<0時，a > /(X),'/(?) = -3><9 + IS = -9 f f (4) = 3x164 24 = 2工 /(一1)+4 =2,/!_-?!=-(-3-3乂(-3/+ 4 = 4,T J三一1T7-3x (-4十4三

4、20，當口哎0時身一24M<?W9y當00口時，口三0與2三口 £ 3 j當白3吐4玉門2”恰好存在3個整數(shù)肛使得空史上0成立，整數(shù)。的值為-23,-22,-9 x及0, 2, 3, %5，9,共找個，故選白(三)函數(shù)、方程和不等式關系的應用函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合 ，是函數(shù)某一變量值一定或在某一范圍下的方程或不等式，體現(xiàn)了一般到特殊的觀念.也體現(xiàn)了函數(shù)圖像與方程、不等式的內(nèi)在聯(lián)系，在高中階段，應該讓學生進一步深刻認識和體會函數(shù)、方程、不等式三部分之間的內(nèi)在聯(lián)系，并把這種內(nèi)在聯(lián)系作為學習的基本指導思想，這也是高中數(shù)學最為重要的內(nèi)容之一.而新課程標準中把這個聯(lián)系提到了十分明朗、鮮

5、明的程度.因此，在高三的復習中，對這部分內(nèi)容應予以足夠的重視.【例3】已知函數(shù)=凡式力二±，其中ma均為實數(shù).C;求g(x)的極值；(2)設m 1,a 0,若對任意的xi,x2 3,4 (x X2),""一""廠彳麗|恒成立，求a的最小值；成立，求設a 2 ,若對任意給定的xo(0,e,在區(qū)間(0,e上總存在(tit?),使得 m的取值范圍.【分析】(1)求g(x)的極值，就是先求出g '(x),解方程g '(x) 0，此方程的解把函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，我們再確定在每個區(qū)間里 g '(x)的符號，從而得出極大值或極

6、小值；(2)此總是首先是對不等式I/-*w)| H1以石一蒸國 恒成立的轉(zhuǎn)化，由(1)可確定f(x)在3,4上是增函數(shù)，同樣的方法(導一，一 一一一1數(shù)法)可確7E函數(shù)在3,4上也是增函數(shù)，不妨設x2x1 ,這樣題設絕對值不等式可變?yōu)閒(x2)g(x)f(xi)1g(x2)g(x)/(Xt) < /(x)li(x) - f(x)-,整理為八以三)八卬或刈，由此函數(shù)在區(qū)間I或1廿口-1)七八一3,4上為減函數(shù)，則Ma)i-一二一W0在(3,4)上恒成立，要求a的取值范圍.采取分離參數(shù)法-J得+工尸一 恒成立，于是問題轉(zhuǎn)化為求一 在3,4上的最大值；(3)由于x0的任意 X1性，我們可先求出

7、g(x)在(0,e上的彳t域(0,1,題設“在區(qū)間(0,e上總存在t1,t2(t1 t2),使得f(t1)2 一 2f(t2)g(x0)成立"，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e上不是單調(diào)函數(shù)，極值點為一(0 e),其次m m_ 22f(e) 1,極小值f(一) 0,最后還要證明在(0,一)上，存在t,使f(t) 1,由此可求出m的范圍.mmr、 eQ -j)【解析】(1)= -jp一,令 g (x) 0,得 x = 1 .【點評】本題主要考查了導數(shù)的應用，求單調(diào)區(qū)間，極值，求函數(shù)的值域，以及不等式恒成立等函數(shù)的綜合應用.對于不等式的解法要熟練地掌握其基本思想，在運算過程中要細心，不可

8、出現(xiàn)計算上的錯誤.解決不等式與函數(shù)、方程之間聯(lián)系的題目時不僅要理解其內(nèi)在的聯(lián)系，還應注意轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合的思想應用.有關恒成立問題、能成立問題、恰好成立問題在新課標高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，要理解各自的區(qū)別.在求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題可采用以下方法：先求出函數(shù)在導數(shù)為零的點、不可導點、閉區(qū)間的端點的函數(shù)值，然后進行比較，最大的函數(shù)值就是函數(shù)的最大值 ，最小的函數(shù)值就是函數(shù)的最小值 .【小試牛刀】【2017中原名校高三上學期第三次質(zhì)量考評】已知定義在 0,的函數(shù)T4K(1 -刈， 若關于x的方程尸+('-3)/(句+工-2=。有且只有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)t的取值集合【答案】【解析】設

9、g（# = /+（F-3” + f-2爸才=2時j=Oj=l顯標合題意Z2時正一負根:義（0）0=41）0方程的極大于工尸（工匠（力工）+】-2 = 0只有1根；D2時兩根同號:只育胞-個正根在區(qū)間（0= 1）而且二L工£=二E - 0,對稱軸¥ = ?£（0）：】73.4=0 =5±20,所以25 20.所以取值集合為25入耳裁答新五、遷移運用1.12019屆廣東省汕頭高三上學期第二次聯(lián)考】 設函數(shù)（制是定義在R上周期為2的函數(shù)，且對任意的實數(shù) 恒二FIX,當還.1刎,電）=/若我）的“吟在在（后8）上有且僅有三個零點,則H的取值范圍為（）A. 35

10、B .伍| C . （3,5） D . 16）【答案】C【解析】1=曲。-fw=。.二 rw m,'/CO是偶曲教,根據(jù)困貫的周期和奇偶性作出外嘮的圖象如圖所示：二（約一£>力工在工=9 +8）上有且僅有三個零息,-y = f CO和7 = 1口%£的圖象在（o,+s）上只有三個交點, 結(jié)合圖象可得0。九3-logn5 > 1 解得MVqCS,（a > 1應財）式-%-b）都在函數(shù)（兒B與8/為同一對）.函數(shù)即上的苑圍是靠，故選匚2.12019屆四川省攀枝花市高三第一次統(tǒng)考】在直角坐標系中，如果相異兩點y=f（x）的圖象上，那么稱為函數(shù)y = fO

11、）的一對關于原點成中心對稱的點=， JF COSXjX 0 帖9嚴肅。的圖象上關于原點成中心對稱的點有（A. 1對 B . ?對 C . S對 D . 7對因為'''叫* > "關于原點對稱的函數(shù)解析式為所以函數(shù)的圖象上關于原點成中心對稱的點的組數(shù),加0式一冷,2<0圖象交點個數(shù),FT同一坐標系內(nèi)，畫出y =y -嗝（一卯< o圖象，如圖,由圖象可知，兩個圖象的交點個數(shù)有5個,的圖象上關于原點成中心對稱的點有5組，故選C.3.【2019屆山東省濟南高三 11月調(diào)研】已知函數(shù) "工）=/ + 2-/與心"必式）的圖象上存在關

12、于j軸對稱的點，則口.的取值范圍是（）A.(-3/1 媳)B .(- 9C12 C .【答案】B【解析】依題意I存在加 U 使得六一或0）三。也）、即臉|十2-一；三%|十log式和十的;因而2三二式或口十a(chǎn)）i即圖數(shù)y = 2T 三與"1。史缶+a）的圖像在（口，+00）上有交點j如圖所示m可 工1fcJ知若困列3,二L二 與7二】膽0-G的圖象在上有交點1則當父=0 時，滿足logn（O-Ki） < 2®-；<；010 < n < v"2 才易知當B 三。時J 函數(shù)y = L _ ：與y =1暇（苴+ w的圖象在+叼上恒有交點,古處的取

13、值范圍是（-%、J故選不rxinx- 2xfx>C|f （x） - ffw -j-1 = 04.【2018屆安徽省蕪湖市高三一?！恳阎瘮?shù)"劉=1 J+5=。，若方程恰有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）113 11A. （一1,一§） B . （- L-） C .（一T一5） D .（一 乙一 5）?2 3由1y = mx- 1與y = l + f相切選B.mi - 1與y =上加k -/ 相切得設切點1如圖可得實數(shù)m的取值范圍是刀5.【2018屆湖北省襄陽市高三1月調(diào)研】已知定義在川上的函數(shù)*）,當工4。2時，且對于任意的實數(shù)，都有jq-i）,若函數(shù)有且只

14、有三個零點，則。的取值范圍是（）A. 2,W| B . （%歷W訪）C 2.10） D .也«可【答案】B【解析】,Era « > 1 rloti.A < 4 比 Jn 10>2«*. v2<(J< (TU 、4已知函數(shù)工）二由圖可知 “口 網(wǎng) ' Y ,選B.13.【河北石家莊2017屆高三上學期第一次質(zhì)檢，10】解集為（）A.-11- B(tJTC) r C.1 ln2,1 d , 1,1 ln2【答案】B【解析】因為當x 1時，/G"2 + x之2 ；當x 1時，/二年 C ,所以丁0r3）" 2 ,

15、等價于f(x) 1,即 2ex11,解得x 1ln2,所以/VW) <2的解集為，故選B.14.12017江蘇徐州豐縣民族中學高三上學期第二次月考】設函數(shù)/X工）二八"l口（a R,e為自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線y sinx上存在一點（*000）使得0%"="，則2的取值范圍是 【答案】1,e【解析】由題設及函數(shù)的解析式可知'所以0 y 1 .由題意問題轉(zhuǎn)化 為“存在x 0,1,使得“7m 二，有解"，即在0,1有解，令心）=,t-+x則卜"H,當x 0時，函數(shù)“3” 7 +算是增函數(shù)；所以0 x 1,當h(0) <方(44夙

16、1)h（x） e.所以1,e，故應填答案1,e .15.12019屆天津市三校聯(lián)考】已知函數(shù)g(x) = f(x) - 4,若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)-的取值范圍是【答案】-1 C由 0【解析】作匕困額月燈=的圖象, 占X_I- V令gGO = Q可得f GO 二 b ：畫出直線丁二。二平移可得當一1匚匕C 00寸，直線7 =替呢EI繇y =月外有兩個交點；則式燈的零點有兩個,故匕的取值范圍是一【*%故答案為一1 V匕V 016.12019屆廣東省佛山市順德區(qū)高三第二次教學質(zhì)量檢測】已知函數(shù)/（幻在打上連續(xù)，對任意FER都有#1闖都有勺）/-"喇H。/（-3-.t） = Al + #

17、；在:“. 1）中任意取兩個不相等的實數(shù)若f（2a則實數(shù)口的取值范圍是.【答案】卜叫：卜（1什8）【解析】由f（ - 3 T）=網(wǎng)1 + "可知函數(shù)/（對關于直線,二_I對稱；在_j_ 1）中任意取兩個不相等的實數(shù) 打勺，都有g72力出）“八。）卜”恒成立；可知函數(shù)幻在區(qū)間（-g,- 1）上單調(diào)遞減，由對稱性可知函 數(shù)，（£在區(qū)間（-L + g:上單調(diào)遞增，不妨設 用"U + 1W,則由 3-D<，3h-2）可得14a1 < （3a - 1/+ 1 > 0i，整理得，即，解得白工;或u > 1 ,所以實數(shù)口的取值范圍kJ是（以ju£

18、;L + 8）.（-L0）U（O 4-r）19.定義在' 一 ,' 一 ' 上的函數(shù) f（x）及二次函數(shù) g（x） 滿足：1+ M £（1） = -3） = 3“工）一2八與二由二,八，不' ，且g（x）的最小值是1. x H（I ）求f （x）和g（x）的解析式；（n）若對于Xi,X2 1,2,均有W.句一工/（七）-21口2-2成立，求實數(shù)a的取值范圍;(ID)設忒*> ="頊（至>0）中河切=-1式j（）（xwuy討論方程的解的個數(shù)情況.【答案】（I） 二一1叱1）押正/+2、（n） （,4（出）三個解.【解析】（I了3-2

19、/d）=En加汽37人力=瓜鳳工+1）小 X Xx由聯(lián)立解得* /（<）=-hio+i）j虱工）是二次函數(shù)，可設gCx） = .<r-徵、/a = 01-3又gQ）二g（-3） =工拋物緘對稱E媯上=-1.揖=-1.一根據(jù)髭意函擺有最小值為汽=-L，廉6 =A（xy-i.又冢1） = /1 + 1尸_ = 3 = ."=：故卮（x） = （h411： _ = Y + 2m(n)設 - 一一 ,.-I- -一一 依題意知：當1 x 2時,F'8 - y- -x+1X3+H - 2=g+2乂工一。之0x+1x+1,F（x）在1,2上單調(diào)遞增，G111 二 口 - 3

20、M 0,：G（2 卜力+8£0,解得24,實數(shù)a的取值范圍是（，4；（出）圖像解法：（x）的圖象如圖所示： 令T二 T1 =-1 工=01（x），則（T）1而（x）1有兩個解，（x） e 1有1個解.代數(shù)解法；令丁=a幻則l（1）由啊T）=T 得;T：-2F = K7WG 或1江丁 + 1） = 7（T ）6：解得 7；=TJ>"L若心=五=-1,貝戶2-皿。）或-皿。）什底工)=£ = C- 口>工 + 2工二。一1(x30) -ln(x41) = e-l(jr>0) 若”.上 ，則' )或 由/ * "叱°）解得覆

21、=M 7而一皿日1）= 0）無解綜上所述，方程，"雙-1共有三個解.20.已知函數(shù) /（工）"_"."*1"好夫.（1）討論f x的單調(diào)性;（2）證明：當X 0,1時,（3）若函數(shù)f x有兩個零點x,x2，比較f x+x2與0的大小，并證明你的結(jié)論2）上遞增；a 1時,f （x）在（0,）上遞增；a 0時,f汽）在（0,1）【答案】（i）a1時,f （x）在（0, 1）上遞增，（2,1）上遞減，（1,aa上遞增；1 a 0時,f （x）在（0,1）上遞增，（1, 1）上遞減，（1 aa上遞增，在（1,）上遞減；（2）見解析；（3）,六1>

22、0.解析】（1）/二一9WX口之。時，.在<0,1）上遞增在（L+電上遞減JO&vO時f （乂）M的兩根為J aA.工=1 .即q = l時;f 3 在（。：+均上通埼 a尻一即口<T時f（G在（03上遞膘LLd上遞減十。上遞增J raa且八）=-1+上+以-3<0；故此時一工）在Q+工）上有且只有一個零點. a La aC. ->lP-l<a<O0tf U）在D上遞坡怯3上堪咸（Lm）上遞增： £td?£1目，=9故此時f （x）在（Or8上有且只有一個零點,，1， 1，、 一 、，.綜上所述：a 1時,f （x）在（0,一）上遞