1、數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)和方法歸納1.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an*an=d (d 為常數(shù))，an=a1+(n1)d等差中項(xiàng)：x, A, y成等差數(shù)列u 2A=x + yai an nn n -1刖 n 項(xiàng)和 Sn =L = na1 +d性質(zhì)：4 是等差數(shù)列(1)若 m + n = p+q, WJ am+a0=ap+aq；(2)數(shù)列Ln/Kn Na2n "仍為等差數(shù)列，Sn, $2n-Sn, $3n-S2n仍為等差數(shù)列，公差為n2d；(3)若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d, a, a+d(4)若an, bn是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為Sn, Tn,則am=迎bm T2m(5) Ln為等差數(shù)列u

2、 Sn=an2+bn (a, b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù))Sn的最值可求二次函數(shù)Sn =an2+bn的最值；或者求出 匕口中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：當(dāng)a1 >0, d <0,解不等式組n 一°可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值.an 1 M 0當(dāng)a1 <0, d >0,由1為 一°可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n化an 1 - 0(6)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列an有S2n = n(a1 a2n) = n(a2 ' a2n)=n(an - an 1 )(an, an 1 為中間兩項(xiàng))S偶 _$奇=nd，=-.S 偶an 1(7)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n-1的等

3、差數(shù)列Qn有S2n=(2n 1)an(an為中間項(xiàng))，S奇_ nS偶12.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an±=q (q為常數(shù)，q=0) , an =a1qn，an等比中項(xiàng)：x、G、y成等比數(shù)列=G2=xy,或G = ±歷'na1g =1)前n項(xiàng)和:Sn = ai 1 -'q.1-q(要注意!(q =i)性質(zhì)：小 是等比數(shù)列(1)若 m + n = p +q ,貝U am。an =ap aq(2) Sn, S2n -Sn, S- -S2n仍為等比數(shù)列，公比為qn注意：由Sn求an時(shí)應(yīng)注意什么？n = 1 時(shí)，a1 = S1 ；n±2時(shí)，an =Sn -

4、SnA .3.求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法(1)求差(商)法1 11如：數(shù)列(aj, a1+=a2 + +-nan=2n+5,求 an2 22(2)疊乘法如：數(shù)列4中，4=3,支土 =q,求an ann 1(3)等差型遞推公式由 an -am = f (n), a1 =a0,求 an,用迭加法1 On練習(xí)數(shù)列an中，ai=1, an =3n'+an（n 至 2）,求 an 廣一萬(wàn)（3 一1）(4)等比型遞推公式an=can+d ( c、d 為常數(shù)，c#0, c#1, d#0)可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè) an , x = c an1, x = an = canl，i.c -1 x令（c_1）x=d

5、 ,x=±,1+旦1是首項(xiàng)為日+旦，c為公比的等比數(shù)列c -1, c-1c-1c -15如:（5）倒數(shù)法a1 =1，an 1 n ，求 anan 2附：S1（n= 1）公式法、利用anSn-Sn,（n2）、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比 an由= pan+q或an + = pan+f（n）、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法）4.求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法（1）裂項(xiàng)法把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng). n如：an是公差為d的等差數(shù)列，求1k m akak 1（2）錯(cuò)位相減法若an為等差數(shù)列，名/為等比數(shù)列，求數(shù)列anbn（差比數(shù)列）前n項(xiàng)和，可由

6、Sn - qSn ,求Sn ,其中q為bn的公比.2,3n 1如：Sn =1 +2x +3x +4x + +nx 一23,4/ n nx Sn=x+2x +3x +4x +(n-1)x +nx一(1 -x )Sn =1 +x + x2 +xn-nxn1 - x nxnrn n - 1x#1 時(shí)，Sn =2, x = 1 時(shí)，Sn=1+2 + 3 +n=1-x 1 -x2(3)倒序相加法把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加Sn=a+a2+an+an，LL, tt ,o 上 上 工 工卜相力口 2Sn =(a1+an )+(a2+an)+(&+an)Sn =K +an J+a2 +

7、aJ2練習(xí)已知f(x),則1 xrrr1rr1r rf(1)- f(2)f-f(3)f-f(4)- f23(附：a用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和如果一個(gè)數(shù)列an,與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè) 和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們?cè)趯W(xué)知識(shí)時(shí)，不但要知其果， 更要索具因，知識(shí)的得出過(guò)程是知識(shí)的源頭，也是研究同一類知識(shí)的工具，例如：等差數(shù)列前 n項(xiàng)和 公式的推導(dǎo)，用的就是倒序相加法”。b.用公式法求數(shù)列的前n項(xiàng)和對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前 n項(xiàng)和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。運(yùn)用 公式求解的注意事項(xiàng)：首先要注意公

8、式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個(gè)數(shù)列之后，再計(jì)算。c.用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的前 n項(xiàng)和。d.用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。 即若在數(shù)列an bn中，an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯(cuò)位相減整理后即可以求 出前n項(xiàng)和。e用迭加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列an滿足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個(gè) 式子變成an+1-an=f(n),代入各項(xiàng)，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過(guò)整理，可求出an ,從而求出Sn。f.用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和所謂分組求和法就是對(duì)一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適