1、不定積分和微分-J一、公式 一 f (x)dx = f (x)和 f (x)dx = f (x)dx = f(x) c 的應用 dxdx注意：f(x)的不定積分為F(x)c= F(x)是f (x)的原函數(shù)二f (x)是F(x)的導數(shù),即f(x)dx 二 F(x) c或 F，(x)二 f(x)1已知不定積分的值，求被積函數(shù)或被積函數(shù)中的一部分，利用兩邊求導處理已知 f ( (x)dx 二 F (x) c，求 f (x)方法：求導得 f ( (x) F /(x)，令：(x) = t，則 x =，(t)，即 f (x) = F / (x)例 1 ( 1)f(x)dx=x2 c，求 xf(1-x2)d

2、x解：對 f(x)dx=x2 c 求導得 f(x) =2x， f (1-x2) =2-2x2222 2x2則 xf(1 -x )dx 二 x(2 -2x )dx 二 xcdx，即 f(x)二 1.xf(x)dx=arcsinx c,求.帀解：對.xf (x)dx 二 arcsinx c兩邊求導得 xf (x) 口fir x -壯“冷-xQ-x2)2、已知導數(shù)值，求原函數(shù)，利用兩邊積分的方法處理已知 F /(x) = f (x)，求 F (x)方法：令:(xt，則 x=，(t)，即 F，(t) = f ("(t)，/ 2 2例 2( 1) f (sin x)二 tan x，求 f (x

3、)cos2 x 1 -t解：令 sin2 x = t，則 cos21 = 1 -t， tan2 x = sin x t即f/(t)詁兩邊積分的f(tH .d-t_ ln |t _11 c(2)已知 f / (一x) = x f / (x) -1，求 f (x)f/(x) = -xf/(-x)-1解：令- X "，則上式為f/二_tf/(-t)-1，即2x由上面兩式得 f /(x) = 2x +12x2兩邊積分得 f (x)二 2dx = 1 n(x 1) c' x +1f(0) =0,f (inx：,x0 : x _1，求f(u)(3)設(shè) f (u)在-：:U ：: :內(nèi)可導

4、，且解：令 In x =t得 x = £，0 : et < 1et 1f/(t)1te2t< 0當 t 乞0 時，f/(t)=1，兩邊積分得f(t)當 t 0 時，f (t) = e，兩邊積分得tf (t) = e2dt =2e2c2又因為設(shè)f (t)在:U v內(nèi)可導，所以f (t)在-:：u ；： ?宀內(nèi)連續(xù)t而 lim f (t)lim(2e2c2) = 2 c2，limf (t) = lim (tc1c1tj 0t )0t )0-因為 f (t)在 t =0 處連續(xù)，則 2 c2 = q = 0，即 & = 0 , c2 = -2'tt 蘭 0故f

5、(t)二 丄2e2 -2 t >0(4)設(shè) y = f (x)在 x處的改變量為-y x oGx) ( -x 0 )，y(0) = 1，求 y/ (1)1 + x解：由.：yx 0(. ：x)知 y/1 x1 xJ即魚=竺y 1 +x兩邊積分得得 In y 二 ln(1 x) c而 y(0) =1=1x 故 y/(1)=1(5)設(shè) f(x)訂半dt，解：o f (x)dx =xf (x) |JI 0°xfjr0 f(x)dxn si nx ,(x)dx 二二dx -0兀-xjsi nxdx = 2二、已知F(x)是f (x)的原函數(shù)二F，(x)= f(x)，求被積函數(shù)中含有j

6、! f (x)dx = F (x) cf ( ：(x)的積分1、由f (xF/(x)求出f(x)，代入積分計算2、把積分轉(zhuǎn)化為.f ( (x)d( (x)的形式，利用.f (x)dx二F(x) c求值例3 (1)竺上是f (x)的原函數(shù)，a = 0，求x解：因為s是f (x)的原函數(shù)，所以f(x)dx =xta xf (ax) dx asin xcx(2) e"是 f (x)的原函數(shù)，求x2 f (In x)dx解：因為 f(x) (e)/ - -e1，所以 f (In x):x2x貝V x2 f (In x)dx - - xdxc2三、已知f(x)的表達式，求被積函數(shù)中含有f( ;

7、：(x)的積分1、由f (x)求f：(x)，再把f(x)的表達式代入積分計算2、由f (x)先求 f (x)dx，把含有f ( (x)的積分轉(zhuǎn)化為f ( (x)d (x)的形式處理例 4( 1)f (sin2 x) sin x，求j x f (x)dxL - xI解：在(f (x)dx中，令 x=sin . 2 2解：因為(e“)/ 二 f (x)，所以 f (x)二-2xe , f (x)dx 二 e心 cx(x)dx 二 xd f (x) = xf (x) - f (x)dx =-2x2e_x -e" c(4) f(x)二 xex，求 f/(x) ln xdx解：.(x) Inx

8、dx 二 In xd f (x) = f (x) Int得.sin21 1 - sin 211 -x2 2 2 2f (sin t)d (sin t) = 2 sin t f (sin t)dt=2 tsintdt 二 -2 td(cost)二-2t cost 2 costdt二-2tcost 2sint c因為 sin t = x , cost = 1 - x , t = arcs in . x所以f(x)dx = 2丁1x arcsi門依+2依+。1 -x2(2) f(x2-1)=ln 二 ，且 f (x) = lnx求 (x)dx x -22t +1解：令 x2 -1 =t,則 f (t

9、) = In ，而 f (x)H ln xt 13(x)+1x+1則 In 亠 - =lnx 即(x)(x)-1') x-1x +1(x)dxdx = x 2In | x -11 cx T2(3) (e")/=f(x)， f / (x)連續(xù)，求 xf/(x)dx=xex In x - exdx = xex In x -ex(5) In f(x) =cosx，求 xf (x) dx'f(x)xf (x)解：dx 二 xd|nf (x)=x|nf(x) In f (x)dxf(x)=xcosx - cosxdx 二 xcosx -sin x c(6)設(shè) f(x)二2x s

10、intdt t1求 0 xf (x) dx解：因為f (x)二，所以f/(x)sin2x2x2sin x21 10xf(x)dx 石1,of (x)dxx2 f (x) 1|01 2 /0x f (x)dx 二12-xsin x dx1 122sin x dx2 0cosl 1解:1令 2x±1212/oxf (2x)dx 二-0tf (t)d- 0tdf (t)二tf /(t).2h|01 2 /-4 0f(t)dt1 2 .1cosx Io 二2 2 2四、利用湊微分法求積分注意：f/g(x) g/(x)dx=f/g(x) dg(x)=df(g(x)f/(2) f (2) -f

11、(0)(2)設(shè)f (x)二階可導,解:b / /af (x)f (x)dxf /(b)二 a，f/(a) =b，求bf/(x)f/(x)dxab二 f (x)df (x)二a/ 2f (x).b a2-b2(3)設(shè) q f (x) f (x)sin xdx = 5， f (二)=2，求 f (0)/解:0 f" (x)sin xdx = ° sin xd f (x) = - o f； (x) cosxdx=-|JTcosxdf (x) = f (0) - f 伍)-打 f (x) sin xdx因為 0【f(x) f(x)sinxdx =5，所以f(0) - f(二)=5

12、而 f(J =2，故 f(0) = 7五、已知 F / (x)二 f (x)，且 f (x) F (x)二 g (x)，求 f(x)方法：兩邊積分F，(x)F(x)dx二g(x)dx，得號刃二 g(x)dx，求 f(x)例6( 1) F(x)是f (x)的原函數(shù)，且x_0時，有f (x) F(x) =sin2 2x，又 F(0) =1，F(xiàn)(x) - 0,求 f (x)解：因為F(x)是f (x)的原函數(shù)，所以F，(x)二f (x)，由于 f(x) F(x)二si n22x故 F，(x) F(x)二si n22x，/ 2 1兩邊積分得F (x)F(x)dx 二 sin 2xdx dx-1 co4

13、xdx丄- s i r4x c12 2 8而 F，(x)F(x)dx 二 F(x)dF(x)-故 F 2 (x) = x sin 4x c，又 F (0) =1 得 c=14而 F(x) 一0，所以 F(x)=x-sin4x 1 f(x)41 -cos4x,4 x si n 4x 4(2)f (x)連續(xù)，且當x * -1時,xf(x) 0f(t)dt 1二xxe + 2，求 2(1 x)2f(x)解:x/令 g(x)二 0 f(t)dt，g (x)x= f(x)，由于 f(x) .0f(t)dt Xxxe2(1 x)2g/(x)g(x) 1=xxe2(1 x)2兩邊積分得g/(x)g(x) 1

14、dx =x xe2(1 x)2dxx xe葩盹2(1 Fdx Jdx - dx2 1 x 2 (1 x)g(x) 12 二因為g(x)二 0 f (t)dt 令 x = 0得 g(0)=0，代入上式c = 0故 g(x二-1，f/(x) =x ex2(1 x)2(3)已知f (x)為非負連續(xù)函數(shù)，且x 0時,X3°f(x)f(x-t)dt =x3，求 f (x)令 x-t=ux提示：因為 0 f (x) f (x-t)dt =六、變上限積分的導數(shù)運算f (x) J0 f (u)du，令 g(x) = Jo f (u)du 處理b注意：如 F(x)二 xf(t)dt,x a,b，則 F

15、(x) - - f (t)dt，則 F，(x)二-f (x)J(x)如F(x)f (t)dt，則由復合函數(shù)的求導法則有"aF/(x) dF(u) dU = f(ur ：/(x f :(x) dxdx"(x)j(x)如 F(x) = gx)f(t)dt，可得成 F(x)=(企)f (t)dt+ 購 f (t)dt，則F，(x)二 f(x) "(x)- f (x)/(x)x 2例 7( 1)已知 f (x)滿足 xf (x) = 1 亠！ t f (t)dt，求 f (x)解：兩邊求導得 f (x) xf/(x) = x2 f (x)即ff(x)1(x )dxx(2)

16、求一個不恒等于零的連續(xù)函數(shù)f (x)，使它滿足f2(x)x sin t0f(t)dt2 cost/sin x解：兩邊求導得2f (x) f (x)二f(x)-2 + cosx/sin x 、小f(x) (2f (x)=0sin x2 + cosx因為f (x)是不恒等于零的連續(xù)函數(shù)，故f/(x)二1兩邊積分得f (x)=4 + 2cosxsin x 1 ,、dx ln(2 cosx) c ' '2 2 +cosx 2得f (0) = 0代入上式有c二丄In 322x sin t在 f 1因為 f(1)=1，上式中令 x =1 得 2 f(u)du-f(1) =1223所以 f

17、(x)dx 二M41(2) 求可導數(shù) f(x)，使它滿足.°f(tx)dt 二 f(x) xsinx(X)二 f (t)dt 中令 x =0,、02 + cost11故 f (x) In(2 cosx) In 32 2注意:(1)上題要充分利用已知條件確定初始條件f(0) = 0(2)定積分或變上限積分的被積函數(shù)有參變量時，必須通過換元，使被積函數(shù)不含參變 量，然后再求導例8( 1)已知f (x)連續(xù),解：令 2x -t 二 u，貝Ux0tf (2x-t)dt 二-arcta nx222f (1) = 1 求 J f (x)dx兩邊求導得：2xx2 x f(u)duXf(x)=1x4

18、即1解：令 tx =u，則 p f (tx)dtx0f W)dux2x2x(2x-u)f(u)du =2x f(u)du- uf (u)du'2x' x' x2x2x122x f(u)du - uf (u)du arctanx2 xx1x2因為 o f (tx)dt = f (x) xsinx ，所以 f (u)du = xf (x) + x sinx兩邊求導得 f/(x)=-2sinx-xcosx由方程.0et dty *2x2 si ntt2解：對x求導得eyy/ 2sinx0，故虬dx2ey兩邊積分得 f (x) - -2 sin xdx - xcosxdx =

19、cosx - xsinx cdt = 1 ( x 0)確定y是x的函數(shù)，求3dx(4) y =y(x)是由 xy x .2/e1 dt = 0確定的函數(shù)，求y /xd3解：對 x求導得 1 -e'y Uy， 1) =0故 y/ =e(y" -1y “X2e dt = 0中令x =0時，有1注意：此題確定y的方法(5)設(shè)f (x)為已知可導奇函數(shù),g (x)為f (x)的反函數(shù)，則 dxx(x)xg(t -x)dtx -f (x) 解：令t -x = u，貝UJx-f (x)xg(t _x)dt = x 0 g(u)dudx_f(x)所以喬-f (x)/xg(tx)dt 二 0

20、 g(u)du-xf (x) g-f(x)x-f (x)/令 h(x)二 0 g(u)du，則 h (x)二-f (x) g-f (x)=xf/(x)兩邊積分得 h(x) = xf/(x)dx = xf (x) - f(x)dxdx-f(x)2 /故xg(t-x)dt = xf(x) x f (x)-f(x)dxdx vx d(6)設(shè)函數(shù) f(x)可導，且 f(0)=0, g(x)°tn'f(xn-tn)dt，求lim弩x )0 x解：令 xn -tn =ux 11，則 g(x)=J0tn f (xn tn)dt =匚 f (u)duxn由于 g / (x xn4 f (xn

21、)故 g(x) g/(x) 故!叫丁巳叫齊嚴1f(xn)=2 丁二丄 limf(xn) f(0)2n x Qnx -0f/(0)2n七、求分段函數(shù)的不定積分先分別求分段函數(shù) f(x)的各分段在相應區(qū)間的原函數(shù)F(x)，然后考慮函數(shù) F(x)在分段點處的連續(xù)性。如果f (x)在分段點x0處連續(xù)，則F (x)在x = X。處連續(xù)，X +1X 蘭 1例 9( 1) f(x) =，求f(x)dx2x x >1x2 解：當 x _1 時， f(x)dx = (x 1)dxx - C122當 x 1 時，f(x)dx 二 2xdx = xC23 11因為 f (x)dx在x =1處連續(xù)，故1 c2c

22、1，即c2Cic2222x一 + X +c X 蘭1所以 f(x)dx 二 22 1XC X 11 2(2) max(1,x2)dx"1一 1蘭x蘭12 2解：maX 1, x ) = <x x a 12 . X X £ T當 一1 _x 一1 時，max(1,x2)dx = dx = x y2 2x3當 x 1 時，ma"1,x)dx= x dxC23x3 當 x -1 時，ma"1,x )dx = x dxc33求滿足F(1) =1的原函數(shù)1 2由于 1 = F =lim F (x)，即 1-1 C1C2 得 0=0，q =i3312又由于 F

23、 (-1) = lim F (x)，即 TC3 得 C3 :xt332 X3 max(1,x2)dx = < 33x解：分別求出在區(qū)間(3)xdx ( x_0)n,n 1 ( n二0,1,2,3)上滿足F (0) = 0的原函數(shù)在n, n 1上，xdx = nx cn , F (n 1) - F (n) = n在n 1, x上，xdx = (n 1)x Cn 1， F (x) - F (n 1) = (n 1)(x - n - 1)故xdx = 0T2 3 n (n 1)(x - n -1) c = (n 1)(x-1) c2八、分段函數(shù)的變上限積分cosx例 10( 1)f (x)=!

24、cJI0 二 x 二一2Ttx - 2x求(x o f (t)dt，并討論(x)在0,二的連續(xù)性解：當Xx近時,xxit當 x乞二時,2(x) = ° f(t)dt 二 °costdt =sinxX二兀(x) f (t)dt ：costdt 亠 I . cdt =12(x)在0, ),(，二上連續(xù)，在x 處，2 2 2lim (x) = lim 1 c(x ) =1， lim (x)二 lim sin x = 15x2xj xj故(x)在x 處連續(xù)2(2)f(x)二COSXXtf (x -t)dt解:令 X -t =u，則 °tf (x-t)dt = x 0 f

25、(u)du - ouf (u)du此時此時ji-x 時,2XX0 f (u)du 二 o cosudu 二 sin xXouf (u)du 二 o u cosudu 二 xsin x cosx -1XJf (x t)dt =1 - cosxJI時，2X0f(u)duX0uf(u)duX3-X：-;二 72cosudu 亠 I , (u - /duJI2X x二 02ucosudu 亠 I ,(u - -)udu2Xn+448ji12ji+ (+1)x -4848Tt12九、積分估值b估計積分.f (x)dx的值a方法：(1)令 y = f (x), x a,b(2) 求y/ = f / (x)

26、，確定f / (x) = 0和f/ (x)不存在的點(3) 在a,b上確定y = f (x)的最值b(4) 利用 m(b - a)" f (x)dx _ M (b - a)估計積分值a2 2例11估計積分值ex心dxs2解：設(shè)函數(shù) y = f (x) =ex “，其中 x 0,2y/ -(2x-1)e'1令 y/ =0，得 x =21 丄2因為 f (0) = 1 , f( )=e 4 , f =e2，故 e 4 遼 y 乞 e22丄 222所以2e 4 乞 ex dx < 2e20bb十、形如 f (x) = g(x) h(x) f (x)dx 的等式，求 f (x)

27、和f(x)dx aL ab方法：(1)令 f (x)dx 二 AL abbb(2) 兩端積分 & f(x)dx = A g(x)dx 亠 I Ah(x) dxbb得 A g(x)dx A h(x)dx,求 A的值 aa(3)把A的值代入原式求 f(x)1 2例 12 設(shè) f (x)二 x x2 ° f (x)dx x3 ° f (x)dx，求 f (x)解：令1 2of(x)dx=a,°f(x)dx=b則f (x) = x ax2 bx3兩邊積分f (x)dx(x ax2 bx3)dx =丄 -00234即8a -3b =6兩邊積分22238ao f (x

28、)dx(x ax2 bx3)dx = 24b3即8a 3b =62 3x23故 a ，b = 1，即 f (x)二 x - x88十一、已知函數(shù) f (x)在a,b上的形式，求f (x)(2)對(X)兩邊積分得f (xF(x) c(3)取d a, b，由已知條件求f(d)的值確定c例13( 1 )設(shè)0沁 ，求f(x)二2sin2 xarcs in tdt+ o2cos xarccos tdt解：兩邊求導得f/(x) =XS in 2x XS in 2x =0，所以f (x) =c( c為常數(shù))又因為當x = 0時,1廠f (x) = J0 arccos Jtdt1 t0.1tdt4所以 f(x

29、)=43(2)設(shè) x 0，dt+ xJ n1 t2dt ，求 f(x)解：兩邊求導得f/(x)二 11 x2 -0，所以f(x) =c( c為常數(shù))12x又因為當x =1時,1 1f(x) =2.,01 t2dt所以f(x)v231 y十二、例 14 已知(dx 亠 I ydx 亠 I y dx 亠 i y dx)ydx = -1，求 x = f (y).1 y解：因為(dx 亠 I ydx 亠 I y2dx 亠 i y3dx) -_ dx 二-1 1 y所以 dx 亠 iydx 亠 iy2dx 亠 i y3dx1 -y1/兩邊對x求導得1 y y y1 -y41 -y4dx)2故(嚴dx)2

30、)2 即1 - y1 - y1 -y1 -y1-y4當1 - V ,人1 - y/4時，令u(x)4,則f(x)二u(x)，此時兩邊積分得1 - y1 - yu(x)二Cex 而 u(x),即 x - -In(1y y y ) c同理（略）十三、計算 b1、如杲 If(x)dx， 令x a b2I f1(x)f2(x)dx 二 A- a4 所以 Cexl-V41 - y1 - y23C(1 y y y )b=2(x)dx23例15 I解:(1 xp)(1 x2)dxX = 1,即卩 dx =! dttt2(1 xp)(1X2)dx =1 -V(V)dt 丄) t2)t2(1 tp)(1 t2)

31、dt所以2I2、形如J。2-be(1 xp)(1X2)dx-boxp(1 xp)(1 x2)dx 一 :0dx1 tan 一 x的積分，令n-x，然后相加處理:dx :1x222005cos x dx2005 丄.2005 cos x s in x解：令JIt2- x，貝“ dx 二-dtcos20052005門cos X 102005dx = Jx sin x2005COSdt2005 /兀 4、丄2005 兀cos ( t) sin ( t)2 2.2005 丄sin tcos2005 tsin 2005 1 dtcos2005 xdx 2sin 2005 x2005 丄2005cos x

32、 s in xjidx =2故1兀_ 43、形如Asin x Bcosx , dxC sin x D cosx所以-02005 亠2005cos xs inx22I工令 Asin x Bcosx 二 a(Csin x D cosx) b(C sin x D cosx)確定 a, b例 17 (1)3sin x -4cosx , dx sin x 2cosx解：令 3sin x -4cosx 二 a(sin x 2cosx) b(sin x 2cosx)/比較上式兩端得丿a 2b=3即 a = 1，b = 22a + b = -43sin x -4cosxsin x 2cosx(sin x 2c

33、osx)/ ,dxdx - 2dxsin x 2cosxsinx 2cosxsinx 2cosx=-x -2 ln | sin x 2cosx | c(2)sin x3sin x 4cosxdx解：令 sin x 二 a(3sin x 4cosx) b(3sin x 4cosx)/比較上式兩端得3a 4b = 1 % +3b =0sin x3sin x 4cosx,3 .3sinx+4cosxdx 二4 (3sin x 4cosx)/dx -25 3sin x 4cosx 25 3sin x 4cosx 34x In 13sin x 4cosx | c2525dx4、利用公式a sin 2 x

34、 bcosdxxsec2 xdta nx處理atan2 x b例182 ndx3sin 2 x 4 cos2 xdx解: 02 3sin2x 4cos2x7122sec x4 3ta n=2320d V3ta nx/J3tanx1 ()2dta nx彳丄/3tanx、?1 ( )= arctan(“穿乂)臨2、323:1215、利用 Td"；e的分母次數(shù)降低一次例19x/八 xe ,(1)2 dx(1 x)2解:因為x xe(1 x)2dx1 -k2 dx (1 x)2x xe2 dx (1 x)2-sin x esin 2x , dx4： xsin ()kdx計算，每用一次分部積分

35、法，被積函數(shù)xdx2dx(1 x)2exd（亠二xe1 xJI1 -COS( _x)“ 2解: sin4(x)=22 Jsinx)3 224_sin xes雪d(s inx) Sin xesi n2x則dx =： 8sin 4(二-x)(1si nx)4 2t t令-sinx = t，則原式=8edt(1+t)2ttsin x由上式知8丄Ldt =衛(wèi)乞，原式=空c，(1+t)21+t1 -si nx6、當f (x)在-a,a上可積，則a=0 f(x) f (-x)dxa1 af (x)dx f (x) f (-x)dxaa例 20 (1)4dx胃 1 +si nx解：J-41+s in xdx

36、=1.+21 sinx 1 -sinxdx71-4 - sin2 dxx1-(ex 1)(1x2)dx解:7、積分4 二一1tan x|4二4 cos x=241x廠dxJ(ex 1)(1 x2)(ex 1)(11 x2)1 12dx T x2o f (x)dx，作變量替換t=b-x得I1 bb= 1.0f(x)dx .0f(b-x)dx+(e1)(1 x2)1 arctanx |2b=0 f (b -x)dxdx例 21 (1)n xsin2n xsin2n2nx cos-dxx解:xsin2n x2nsin x cos.2n sin x2n*2n2n sin x cos x所以兀xsin2

37、n xdx2n2nsin x cos x(2)ln(1 tan x)dx解:2n7. xsin x0+ 伍-x)sin2n (兀 _x)2n2n2n2nsin x cos x sin (二-x) cos (二.2n sin x2n2nsin x cos xdx 二.2n sin x2n2 sin丄2nx cosdx/xdx7T22ncos x2n2nsin x cos xsin 2n x2n2nsin x cos xdxJTcos2n xdx 二sJx Zxdxo4l n(1 tan x)dx4 In(1 tan x) ln(1 tan(；-x)1 21In 24 In(1 tan x) In

38、()dx 41n 2dx =2 01 ta nx 2 048利用被積函數(shù)的奇偶性求積分aa如果f (x)是-a,a上的偶函數(shù)V .(x)dx = 2 ° f (x)dxa如果f (x)是-a,a上的奇函數(shù)，貝y f(x)dx=0-a遲例 22 2-：(x3 sin2 x) cos2 xdx2解：因為函數(shù)x3s in2x是奇函數(shù)，故.2二x3 cos2 xdx = 0_2JI1 所以 2 (x3 sin2x)cosdxxdx= 2sin'xcofxdx 2_ (1 -cos4x)dx一228 289、湊微分法利用第一換元法和分部積分法 常見的湊微分公式dx =d(1x2)&qu

39、ot;1=2 )13 dx = -d(一(1x2)°2)3dx(1 -X2)21八3dx =d(2)- x(1 -x2)2= dln(x .1 x2)x dx = d (J1 + x2)1 x2二-d(、1 - x2)xdx1 -x2例23(1)xx(1 lnx)dx解:xln xxln xxed(xl n x) = e c = x c(2)e2x解:sin 2x 2 e sin xe2xdxr sin 2x-2x 2.=esin xdxsin 2x 2x id (sin 2x 2x)sin 2x 2e sin x ,sin 2x -2x+ c(3)2x dxx6 32解:xd(x3

40、)3 (x3)233、2d(3)衛(wèi) arctan(x ) c9310、分段函數(shù)的定積分2 -TT ,(1),1 sin xdx$0例24解:1 sin xdx =sin2 +2s in cos +cos2dx2 2 2 2xxL 2兀 X 兀0 |sin 2 cos22 0 |sin(2 7)|dx3 :02 sin(f 4)dx爲吩 2)dx= 2.22-2=4(2)解:iii。()dx 0xx1 令t,xdx 二x 二 1,t 二 1 ；則(1 -1)dx0 x x-：1t=1 ( ¥dtoOn注意：J 1 =1心koQ=Z L (f 壬)水=瓦ln(n +1)-n :1 1=

41、nimln(n o-q 3) n 1 ；n，其中c =0.577216lnn沽稱為歐拉常數(shù),n n嘉xi|dxn n解： ' | x - i 0X0 i :n=11i =1n0|x - i |dx .。紅 _ x)dx 亠 i (x _ i)dx-in2n3 n6a /(4) 0xf (x)dxa.a k 1/a/解:0xf (x)dxk kf (x)dx aaf (x)dxk=0f(a)(5)x cos2 x - cos4 xdx0 解:0 x cofx-cos4xdx1 x | si空 xsin2xdx 2 s02 J02-xs in 2xdx2<af(a 1) af(a)

42、一 a f ( a) - f (1) - f (2)jijiji+ 884解:30sg n(x-x3 )dxosgn(x _x3)dx 二1dx3-dx = -12(7)0exdx解：令ex =t ,1dx dtt2二 e；當 x=0時，t 二1e2t所以jedx J和上6=11k *ke2 7dt 亠 i 7dt = 14 - ln 7!，t解:當 sin (In x) 0,得2n 二e 一 ：x ： e '匚，其中 n = 1,2,3,當 sin(ln x) ： 0，得e小"：:x：e*乞，其中 n =1,2,3,1故 osgnsin(ln x)dx 氣3二2 二：dx-

43、 .e»；dx=(2e：-e2：-1)' e n J-2n 二2e二-e2二-1e2 二-1100 兀；(8)0“ - coxdx100兀解: .0 100 二0 100 _ 99 .1-cos2xdx = .2 |sinx|dx= .2、Jsinxdx令 x_k 注 99 二.=2 v | (-1) sin 11 dtk z00= 198.2n -(9) 0 x|sinx |dxn :n .1,r J江怖解： x | sin x |dx =x | sin x dxk -k =9' (k：tgntdtkAn -1例25(1)迴*dx2-:、(2k1) = n :k=0

44、11、利用第二換元法求積分e2(1ex)解:令 arcta n e2 =t，貝y x=2l n tan t, dxdtsin t cost2arcta ne , dxe2(1ex)一 tant (1 tan2t)- dt =2 t cot2 tdt sin t cost=2 t csc2tdt -2 tdt = 21n | sin11 -21 cott - 2t cxxx=x-l n(ex1)- 2e 2 arcta ne2-2 arcta ne2 c11/(2)紳 |cos(l n - Wpx(n為自然數(shù))ex解：因為 |cos(ln 1)/ | =| sin(ln x) |xx則| cos

45、(ln -)/ 0x 二：2n | sin(ln x) | dxexex令 ln x = u，貝U x = eu， dx 二 eudu文案大全所以1e|cos(l nxpx Ss inupu1e.ncos(ln -)/,nsin u g 二 0 |sint |dt再令U - -t2n 二2nd八 |si ntptk衛(wèi)二 4n令t _k2n-sin vdv -ok衛(wèi)(3)dxln(x 1)x1 (x 2)x2 (x 2)(x 1)解:dxln(x1)xd (x 2)x2 (x 2)(x1)inmndxx 2 x 1二 ln(x 1)dln(x 2)皿習dxx + 1-3)dxx 1c=ln (x

46、 1)l n(x 2)=ln (x 1)l n(x 2)12、被積函數(shù)中含有x2 2(x a）的形式，一般作代換1x 二一 t1例26 xdx(1 x )解：令x81(1 x2-dx )1dttt8dt1 t2t7 t5二+ 5丄5x5dx =-,(tt4 t2 -113、雜題1)解：令7_ 17x7-t arcta nt c13x311arcta n cxx= tant，則7dx0 1+x2遲=04l n(1 tan t)dt丑1王n°4ln(1tant)dt 4ln(1 tant) ln(1 tan(： -t)dt04|n2dt二 In 2x(2)一2 cosx sin x ,e

47、 2 :dxJsin x解:x.玄 cosx -sin x ,e dx 二Jsin xx刁 cosx e2-sin xxe 2 . sin xdxxx=2 e 2d( . sin x) - :e 2、sin xdxxxx=2e 氣 sin x 亠 ie sin xdx -e 2 sin xdxx=2e 2sin x c(4)Q4ex(ta nx 1) ta nxdxjiji解:q4ex(tanx 1)tanxdx 二,eX(sec2x-1 tanx)dxJI31Tt二 o4 exdtan x - °4 exdx 亠 i4 ex tan xdx2F k-e tan x - °4 ex tan xdx ex I4 亠