1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上全方位教學(xué)輔導(dǎo)教案 學(xué)科： 數(shù)學(xué) 任課教師： 授課時間： 2012 年11 月 3 日 星期 姓 名性 別女年 級高二總課時： 第 次課教 學(xué)內(nèi) 容均值不等式應(yīng)用（技巧）教 學(xué)目 標(biāo)1、熟悉均值不等式的應(yīng)用題型2、掌握各種求最值的方法 重 點難 點重點是掌握最值應(yīng)用的方法難點是不等式條件的應(yīng)用教學(xué)過程課前檢查與交流作業(yè)完成情況：交流與溝通針對性授課一均值不等式1.（1）若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）2. (1)若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）(3)若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）3.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）;若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，

2、則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）3.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）4.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y3x 2 （2）yx解題技巧：技巧一：湊項例1：(2)。變式：已知，求函數(shù)的最大值。技巧二：湊系數(shù)例1. 當(dāng)時，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和

3、為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數(shù)即可。評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：1、設(shè)，求函數(shù)的最大值。并求此時的值2已知，求函數(shù)的最大值.；3，求函數(shù)的最大值.技巧三： 分離例3. 求的值域。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當(dāng),即t=時,（當(dāng)t=2即x1時取“”號）。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不等式來求

4、最值。變式(1) 技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域為。條件求最值1.若實數(shù)滿足，則的最小值是 .變式：若，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整體代換： 2：已知，且，求的最小值。變式： （1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七、已知x，y為正實數(shù)，且x 21，求x的最大值.技巧八：已知a，b為正實數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通

5、過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。點評：本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進而解得的范圍.變式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x，y為正實數(shù)，3x2y10，求函數(shù)W的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平

6、方平均之間的不等關(guān)系，本題很簡單 2 解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W0，W23x2y210210()2()2 10(3x2y)20 W2 變式: 求函數(shù)的最大值。評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊覀兝镁挡坏仁角笞钪禃r，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng) 應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式例6：已知a、b、c，且。求證：變式：1已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：2、正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1

7、c)8abc應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題例：已知且，求使不等式恒成立的實數(shù)的取值范圍。解：令， 。 ， 課 堂檢 測1：添加項【例1】已知，求的最小值.2:配系數(shù)【例2】已知，求的最大值.3:分拆項【例3】已知，求的最小值.4:巧用”1”代換【例4】已知正數(shù)滿足,求的最小值.【例5】已知正數(shù)滿足，求的最小值.5:換元【例6】已知,求的最小值.【例7】已知,求的最大值.7:直接運用化為其它【例9】已知正數(shù)滿足,求的取值范圍.課 后作 業(yè)1、（1）、已知，滿足，求的最值；（2）、若，且，求的最值；（3）、若-4x1,求的最大值. 2、函數(shù)f(x)=(x0)的最大值是 ；此時的x值為 _3、（20

8、10 山東理）若對任意，恒成立，則的取值范圍是 4、若點在直線上，其中,則的最小值為 .5、（1）、已知x+3y-2=0，則3x+27y+1的最小值為 . （2）、若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值 . 6、已知兩個正數(shù)滿足，求使恒成立的的范圍.7函數(shù)y=loga(x+3)1(a0,a1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn0，求的最小值為。8(2010年合肥模擬)已知x1x2x2009x20101，且x1，x2，x2009，x2010都是正數(shù)，則的最小值是_9已知直線l過點P(2,1)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，則三角形OAB面積的最小值為_10(2008年江蘇卷改編)若x、y、zR，x2y3z0，求的最小值11已知A(0,9) B(0,16)是y軸正半軸上的兩點，