1、拋物線的常見性質(zhì)及證明概念焦半徑：拋物線上一點與其焦點的連線段；焦點弦：兩端點在拋物線上且經(jīng)過拋物線的焦點線段稱為焦點弦性質(zhì)及證明過拋物線y2= 2px (p> 0)焦點F的弦兩端點為A(xi, yi), B(x2, y2),傾斜角為，中點為C(xo,y o),1.求證:垂足為 A'、B'、C .焦半徑ibfz號廠詈;分別過A、B、C作拋物線準(zhǔn)線的垂線，焦半徑|AF hx1- P -；21COSG；i+aAi= 2；弦長 I AB| = Xi + X2+ p= 2p ;特別地，當(dāng) Xi=X2( : =90 ) I AF I I bf I psin -2P2sin :如圖2

2、,過A、B引x軸的垂線AA1、BB1，垂足為A1、B1，那么 | RF |= | AD | FA1 |= | AF | AF |cosr,| RF | ：1 cos V同理,| BF |=| RF |1 + cosp1 + cos V | AB |= | AF |+ | BF |=p丄p2P_1 cos 1 + cost sin v111 p “Saoab Soaf + &obf ?| OF | y1 |+ OF | y1 | ? '2 '(|1時，弦長|AB|最短，稱為通徑，長為鳥卩：厶AOB的面積Saoab=證明：根據(jù)拋物線的定義，| AF |=| AD |= Xi

3、+ p, | BF |=| BC |= x?+ 2,| AB |= | AF 汁 | BF |= xi + X2+ p|+1 y1 |)t y1y2 p2,貝V y1、y2 異號，因此，| y1 |+ | y1 | | y1 y2 | 2 2 Saoab 4| y1 y2 | p(y1 + y2)2 4y1y2 4 ；4m2p2+ 4p2 ； . 1 + m2 p 22.求證:必斗；yiy2 r. |7T|+ bF=p.當(dāng)AB丄x軸時，有AF = BF =p,成立；當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)焦點弦AB的方程為：y = k i x - P代入拋物線方程:2=2 px.化簡得:k2X2p k2 2

4、x 號 k2=0 1方程（1 ）之二根為X1 , X2,- X1L JBFAFL 1BB1AA,1x.X22 2XiX2PXiX2 舟宀)#4yA'7AC' if/KB'O1店FxK圖3x. + x2 + px( + x2 + p222"丄衛(wèi) X.x2丄7 XiX2p p4212423.求證：AC'B 二 A'FB'二RtZ .先證明：Z AMB = Rt Z【證法一】延長 AM交BC的延長線于E,如圖3, 則 ADM ECM , I AM |= | EM |, | EC |= | AD | I BE |= | BC 汁 | CE |=

5、 | BC 汁 | AD |=| BF |+ | AF |= | AB | ABE為等腰三角形，又 M是AE的中點, BM 丄 AE,即/ AMB = Rt /【證法二】取 AB的中點N，連結(jié)MN，貝U| MN |= 2(| AD 汁 I BC |)= 2(| AF |+ | BF |) = 2| AB | MN |= | AN |= | BN | ABM為直角三角形，AB為斜邊,故/AMB = Rt / .【證法三】由已知得 C( 2, y2)、D( 2,%),由此得m (2,y + y2 丁).y1 + y2y12y1 y2p(y1 y2)2 2y+ p-kAM kBM= Pyi'

6、= 2 =2-2P+p2 2衛(wèi)1= = 2= 1 y2 y1y2 p2ppy帀)2 y+ p衛(wèi)yi,同理kBM = Py2 BM 丄 AE,即/AMB = Rt / .【證法四】由已知得 c( 2, y2)、D( 2, y1),由此得M (p y1 + y22， 2 ).ima = (X1+2,y12 y2), iMb =(X3+2 ,y2 y1)2 )DMRC圖4 Tma 1Mb =(xi + 2)(x2+ 2)+(yi y2)(y2yi)4丄p.丄.p2 (y1 y2)2=X1X2 + 2(X1 + X2)+ 4 嚴(yán)2 y2p2 y1+ y2 2y1y22p) + 4 42 p2+ = 0

7、2 2 2=7+=p2+ yiy2 p2 , - P2十 "ma 丄 Pb，故/ AMB = Rt/ .【證法五】由下面證得/ DFC = 90，連結(jié)FM，貝U FM = DM .又 AD = AF ,故厶 ADM AFM ,如圖 4 / 1 = Z 2,同理/ 3=Z 4y2 = pp yi/ 2+Z 3 = 2x 180 = 90/ AMB = Rt 厶接著證明：/ DFC = Rt /【證法一】如圖 5,由于| AD |= | AF |, AD / RF, 故可設(shè)/ AFD =Z ADF =Z DFR =:-, 同理，設(shè)/ BFC =Z BCF = Z CFR =：, 而/ A

8、FD + Z DFR + Z BFC +Z CFR = 180 2(:+ '-) = 180，即:+ '= 90，故/ DFC = 90【證法二】取CD的中點M，即M( P, y1#2)由前知 kAM = P , kcF =yi, p , p丁 2 丁 2二 kAM = kcF, AM / CF，同理，BM / DF/ DFC =Z AMB = 90 .【證法二】 DF = (p， yi), CF = (p, y2), "DfCF = p4 * 2 + y1y2 = 0 IDF 丄"Cf，故/ DFC = 90 .【證法四】由于 | RF 2= p2= yi

9、y2= | DR I I RC |,即|DR-| =1 RF |，且/ DRF = Z FRC = 901 RC 1 DRF FRC/DFR = Z RCF，而/ RCF+Z RFC = 90 / DFR + Z RFC= 90圖8 / DFC = 90與拋物線方程y2= 2px聯(lián)立消去x得2 2 y- yi=*(2p2p)，整理得 y2 2yiy+ y1= 0 可見= (2y”2- 4y2 = 0,故直線AM與拋物線y2= 2px相切，同理BM也是拋物線的切線，如圖 8.【證法二】由拋物線方程y2= 2px,兩邊對x求導(dǎo)，(f)x= (2px)x,得2y yx= 2p, yx = p故拋物線

10、y2= 2px在點Ag, yj處的切線的斜率為 k切=yx| yp=y1 .yi又kAM = p, k切=kAM，即AM是拋物線在點 A處的切線，同理 BM也是拋物線的yi切線.【證法三】過點 A(xi, yi)的切線方程為yiy= p(x+ xi)，把M(-號,羋嚴(yán))代入22左邊=yi =pxi yi + y2 yi + yiy2 2pxi p2 = 2 = 22A的切線經(jīng)過點M ,右邊=p( 2 + xi)= p + pxi,左邊=右邊，可見，過點即AM是拋物線的切線，同理 BM也是拋物線的切線5. C 'A、C 'B分別是/ A'AB和/ B'BA的平分線

11、.【證法一】延長AM交BC的延長線于E,如圖9,則厶 ADM ECM，有 AD / BC, AB= BE,/ DAM = Z AEB = Z BAM ,即AM平分/ DAB,同理 BM平分/ CBA.【證法二】由圖 9可知只須證明直線 AB的傾斜 角是直線AM的傾斜角 泊勺2倍即可，即: =2 ；且 M(-，寧)y2 yiy2 yi2p-tan ： = kAB =2 才=.X2 Xiy2y1yi 十 y22p 2pyi+ y2tan - kAM = y 理工xi + PP2P(yi帀)p=2=T =2=yi力十pyi十pyi2命十p2pyi_ = py、=2ta n :-tan 2 2 -1

12、tan P 1 (P)2 y2 P(yi)：= 2 '-,!卩 AM 平分/ DAB,同理 BM 平分/ CBA.2pI = tan、； yi + y26. AC ' A '、y軸三線共點，BC ' B '、y軸三線共點【證法一】如圖10,設(shè)AM與DF相交于點Gi,由以上證明知| AD |= | AF |, AM平分/ DAF，故AGi也是DF邊上的中線,/ G1是DF的中點.設(shè)AD與y軸交于點Di，DF與y軸相交于點易知，| DDi |= | OF |, DDi / OF ,故厶 DDiG2= FOG2I DG2 |= | FG2 則 G2也是 DF

13、的中點/ G1與G2重合（設(shè)為點 G）,貝U AM、DF、線共點,同理BM、CF、y軸也三線共點.2【證法二】AM的直線方程為y yi = *（x 魯）,令x= 0得AM與y軸交于點Gi（0, y1又DF的直線方程為y= f（x 2）,令x = 0得DF與y軸交于點G2（0， AM、DF與y軸的相交同一點 G（0,號），貝AM、DF、y軸三線共點,同理BM、CF、y軸也三線共點 H .由以上證明還可以得四邊形MHFG是矩形7. A、0、B'三點共線，B、0、A'三點共線.【證法一】如圖ii, k0A=沽昔=尋,2pY2_ koc=-P22y2_- 2py2_ 2py2 _ 2p

14、p p _ - yi y2 yi二 koA = koc，貝y A、0、C 三點共線,同理D、0、B三點也共線.【證法二】設(shè) AC與x軸交于點 0；t AD / RF / BC.J_R0J_ | C0H | BF | 0F | CB | | AD | = | CA | = | AB |， | AF 廠 | AB |，又| AD |= | AF |, | BC |= | BF |,. IRI= Q1|AF |AF |0、A三點共線，同理共線.RO' | = | OF |,則 0 與 0 重合，即 C、D、0、B三點也【證法三】設(shè) AC與x軸交于點0； RF/ BC,10FJ= 1AFJ|

15、CB | AB |， | 0F |= I CB 丨 AF | BF | 丨 AF |I AB | AF |+ | BF | i + i _ 2【見證】I AF | BF |.0與0重合，則即C、0、A三點共線，同理 D、0、B三點也共線.【證法四】 5c = (-p,y2), 0A = (xi, yi),-22+材=02p8.若| AF |： | BF |= m： n,點A在第一象限m n動直線AB的傾斜角.則cos 土 ；【證明】如圖14,過A、B分別作準(zhǔn)線I的垂線，垂足分別為D,C,過B作BE丄AD于 E,設(shè) | AF |= mt,| AF |= nt,則| AD |= | AF |,|

16、BC |= | BF |, | AE |= | AD |- | BC | = (m n)t亠 人亠,| AE | (m n)t m n.在 Rt abe 中,cos/ bae=祐=r=mn/ cos 0= cos/ BAE= m_n. m+ n【例6】設(shè)經(jīng)過拋物線 y2= 2px的焦點F的直線與拋物線相交于兩點A、B,且| AF I： | BF |= 3: 1,則直線AB的傾斜角的大小為【答案】60或120 .9.以AF為直徑的圓與y軸相切, 相切；A' B'為直徑的圓與焦點弦以BF為直徑的圓與y軸相切；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線AB相切.yA'C'kyA/ /C/

17、 K B'O干x、【說明】如圖15,設(shè)E是AF的中點,則E的坐標(biāo)為（+ X1y12),則點E到y(tǒng)軸的距離為d =+ Xi12l AF I故以AF為直徑的圓與y軸相切， 同理以BF為直徑的圓與y軸相切.【說明】如圖15,設(shè)M是AB的中點，作 MN丄準(zhǔn)線I于N,則I MN |= *1 AD 汁 I BC |)= 2(| AF |+ | BF |)=弓 AB |1則圓心 M到I的距離| MN |= 2| AB |,故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切10. MN交拋物線于點 Q,則Q是MN的中點.2【證明】設(shè)A（2p, yi）,2,yi)，則 c( p, y2), d(yi),2 . 2 p yi + y2yi + y2M( 2, )，N(4p設(shè)MN的中點為Q ,則Q'(yi + y2)2 ),2 i2p yi + y2 -2+ 4p22 2 p . yi 十 y2 2十 4p22 2 2 2p + yi+ y28pyi + y2 丁)2 22yiy2+ yi + y2yi+ 丫2 28p22p點Q在拋物線y2= 2px上，即卩Q是MN的中點.4. C '