1、求解二面角的5種常用方法 立體幾何題中求二面角大小仍然是高考的重點，因此，我們每位考生必須注意，學(xué)會其解題方法，掌握其解題技巧，是十分重要的。一、 定義法： 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個半平面叫做二面角的面，在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角SAMB中半平面ABM上的一已知點（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）；在另一半平面ASM內(nèi)過該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF），這兩條垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個平面角，再在該平面角

2、內(nèi)建立一個可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1（2009全國卷理）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點M在側(cè)棱上，=60°（I）證明：M在側(cè)棱的中點（II）求二面角的大小。證（I）略 FG解（II）：利用二面角的定義。在等邊三角形中過點作交于點，則點為AM的中點，過F點在平面ASM內(nèi)作，GF交AS于G，連結(jié)AC，ADCADS，AS-AC，且M是SC的中點，AMSC， GFAM，GFAS，又為AM的中點，GF是AMS的中位線，點G是AS的中點。則即為所求二面角. ，則，又，是等邊三角形，在中，二面角的大小為練習(xí)1（2008山東）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底

3、面ABCD為菱形，PA平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點.（）證明：AEPD; （）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角EAFC的余弦值.分析：第1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過證AEAD后推出AE平面APD，使命題獲證，而第2題，則首先必須在找到最大角正切值有關(guān)的線段計算出各線段的長度之后，考慮到運(yùn)用在二面角的棱AF上找到可計算二面角的平面角的頂點S，和兩邊SE與SC，進(jìn)而計算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值為）二、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當(dāng)點P在一個半平面上則通常用三垂線定理法

4、求二面角的大小。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2）過二面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知點B作另一半平面FC1C的垂線，得垂足O；再過該垂足O作棱FC1的垂線，得垂足P，連結(jié)起點與終點得斜線段PB，便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖（斜線PB、垂線BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度數(shù)。例2(2009山東卷理) 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。（1） 證明：直線EE/平面FCC；（2） 求二面

5、角B-FC-C的余弦值。 證（1）略解E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P （2）因為AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,BCF為正三角形,取CF的中點O,則OBCF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以O(shè)B平面CC1F,過O在平面CC1F內(nèi)作OPC1F,垂足為P,連接BP,則OPB為二面角B-FC-C的一個平面角, 在BCF為正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值為.練習(xí)2（2008天津）如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知（）證明平

6、面；（）求異面直線與所成的角的大小；（）求二面角的大小分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB平面ABCD，點P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一個點，于是可過點P作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。（答案：二面角的大小為）ABCEDP三補(bǔ)棱法本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒有明確的交線時，一般用補(bǔ)棱法解決 例3（2008湖南）如圖所示，四棱錐

7、P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60°，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;ABCEDPFGH（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.分析：本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯然要補(bǔ)充完整（延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.）再在完整圖形中的PF.上找一個適合的點形成二面角的平面角解之。（）證略解: （）延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.過點A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因為BAF60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtP

8、AF中，取PF的中點G，連接AG.則AGPF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰RtPAF中， 在RtPAB中， 所以，在RtAHG中， ACBB1C1A1L故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是練習(xí)3已知斜三棱柱ABCA1B1C1的棱長都是a，側(cè)棱與底面成600的角，側(cè)面BCC1B1底面ABC。（1）求證：AC1BC；（2）求平面AB1C1與平面 ABC所成的二面角（銳角）的大小。提示：本題需要補(bǔ)棱，可過A點作CB的平行線L（答案：所成的二面角為45O）四、射影面積法（）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面

9、積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。ACBP例4（2008北京理）如圖，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大小；分析：本題要求二面角BAPC的大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面ABP與平面ACP中建立一對原圖形與射影圖形并分別求出S原與S射于是得到下面解法。解：（）證略（），ACBEP又，又，即，且，平面取中點連結(jié)，是在平面內(nèi)的射影，ACE是ABE在平面ACP內(nèi)的射影，于是可求得：，則，A1D1B1C1EDBCA圖5設(shè)二面角的大小為，則二面角的大小為練習(xí)4： 如圖5，E為正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中點，求平面A

10、B1E和底面A1B1C1D1所成銳角的余弦值.分析 平面AB1E與底面A1B1C1D1交線即二面角的棱沒有給出，要找到二面角的平面角，則必須先作兩個平面的交線，這給解題帶來一定的難度?？紤]到三角形AB1E在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，從而求得兩個三角形的面積即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值為cos=）.五、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計算解題。例4：（2009天津卷理

11、）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線BF與DE所成的角的大小；(II) 證明平面AMD平面CDE；求二面角A-CD-E的余弦值。 現(xiàn)在我們用向量法解答：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，以點為坐標(biāo)原點。設(shè)依題意得 （I） 所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明： ， （III） 又由題設(shè)，平面的一個法向量為練習(xí)5、（2008湖北）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?（）求證：；（）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明.分析：由已知條件可知：平面ABB1 A

12、1平面BCC1 B1平面ABC于是很容易想到以B 點為空間坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，并將相關(guān)線段寫成用坐標(biāo)表示的向量，先求出二面角的兩個半平面的法向量，再利用兩向量夾角公式求解。（答案：，且）線線角與線面角習(xí)題一、復(fù)習(xí)目標(biāo)1.理解異面直線所成角的概念,并掌握求異面直線所成角的常用方法 2.理解直線與平面所成角的概念，并掌握求線面角常用方法3.掌握求角的計算題步驟是“一作、二證、三計算”,思想方法是將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形即“降維”的思想方法.二、課前預(yù)習(xí)1.在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2, E、F分別為AB、CD的中點且EF=，AD、BC所成的角為 .2.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1

13、D1中 ，B1C和C1D與底面所成的角分別為60和45，則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為 ( ) (A). (B). (C). (D). 3.平面與直線所成的角為,則直線與平面內(nèi)所有直線所成的角的取值范圍是 4.如圖,ABCD是正方形,PD平面ABCD,PD=AD,則PA與BD所成的角的度數(shù)為(A).30 (B).45 (C).60 (D).905.有一個三角尺ABC,A=30, C=90,BC是貼于桌面上,當(dāng)三角尺與桌面成45角時,AB邊與桌面所成角的正弦值是 三、典型例題例1.(96·全國) 如圖,正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60角,求異面直線AD與B

14、F所成角的余弦值.備課說明:1.求異面直線所成的角常作出所成角的平面圖形.作法有:平移法:在異面直線的一條上選擇“特殊點”,作另一條直線平行線或利用中位線.補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系.2.解立幾計算題要先作出所求的角,并要有嚴(yán)格的推理論證過程,還要有合理的步驟.例2.如圖在正方體AC1中, (1) 求BC1與平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1與平面A1C1B所成的角.備課說明:求直線與平面所成角的關(guān)鍵是找直線在此平面上的射影,為此必須在這條直線上找一點作平面的垂線. 作垂線的方法常采用:利用平面垂直的性質(zhì)找平面的垂線.點的射影在面內(nèi)的特

15、殊位置.例3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F為棱BB1上一點,BFFB1=21, BF=BC=. (1)若D為BC的中點,E為線段AD上不同于A、D的任意一點,證明：EFFC1; (2)試問:若AB=,在線段AD上的E點能否使EF與平面BB1C1C成60角,為什么?證明你的結(jié)論.備課說明:這是一道探索性命題,也是近年高考熱點問題,解決這類問題,常假設(shè)命題成立,再研究是否與已知條件矛盾,從而判斷命題是否成立.四、反饋練習(xí)1設(shè)集合A、B、C分別表示異面直線所成的角、平面的斜線與平面所成的角、直線與平面所成的角的取值范圍,則 (A)A=B=C (B)A=BC (C)ABC (D

16、) BAC.2兩條直線,與平面所成的角相等,則直線,的位置關(guān)系是 (A)平行 (B)相交 (C)異面 (D) 以上均有可能.3設(shè)棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為AA1和BB1的中點，則直線CM和D1N所成角的正弦值為 .4已知、是一對異面直線，且、成60o角，則在過空間任意點P的所有直線中，與、均成60o角的直線有 條.5異面直線、互相垂直，與成30o角，則與所成角的范圍是 .6ACB=90在平面內(nèi),PC與CA、CB所成的角PCA=PCB=60o,則PC與平面所成的角為 .7設(shè)線段AB=,AB在平面內(nèi),CA,BD與成30角,BDAB,C、D在同側(cè),CA=BD=.求:

17、(1)CD的長;(2)CD與平面所成角正弦值.課前預(yù)習(xí)答案1. 60 2.A 3. , 4.C 5.典型例題答案例1解:CBADCBF為異面直線AD與BF所成的角.連接CF、CE設(shè)正方形ABCD的邊長為,則BF=CBAB, EBABCEB為平面ABCD與平面ABEF所成的角CBE=60 CE= FC= cosCBF=例2解:(1)設(shè)所求的角為,先證BD平面ACC1A1,則sin=sinOC1B=.故=30o.(2)A1BC1是正三角形,且A1B1=B1C1=BB1. 棱錐B1-A1BC1是正三棱錐.過B1作B1H平面A1BC1,連A1H, B1A1H是直線A1B1與平面A1C1B所成的角.設(shè)A

18、1B1=則A1B=得A1H=.故cosB1A1H=.所求角為例3解:(1)連接OF,容易證明AD面BB1C1C, DF是EF在面B1C1CB的射影,且DFFC1,FC1EF.(2) AD面BB1C1C, EFD是EF與平面BB1C1C所成的角.在EDF中,若EFD=60,則ED=DF·tan60=·=,AB=BC=AC=2,AD=.>.E在DA的延長線上,而不在線段AD上;故線段AD上的E點不可能使EF與平面BB1C1C成60角.反饋練習(xí)答案1. D 2. D 3. 4. 3 5. 60,90 6. 45 7.解:(1)作DD于D,連接AD,BD.CA,CADD.四邊

19、形CADD是直角梯形,CAD=D DA=90,AB,ABDD.又ABBD,AB平面BDD,BD平面BDD.ABBD.DBD是BD與所成的角,DBD=30,BD=,DD=,BD=.在ABD中,AB=,BD=,ABD=90,AD=.在CADD中，CD=.(2)作DCDC交CA于C,CDA是CD與所成的角,sinCDA=.線面角與面面角練習(xí)一、知識與方法要點：1斜線與平面所成的角就是斜線與它在平面內(nèi)的射影的夾角。求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，即確定過斜線上一點向平面所作垂線的垂足，這時經(jīng)常要用面面垂直來確定垂足的位置。若垂足的位置難以確定，可考慮用其它方法求出斜線上一點到平面的距

20、離。2二面角的大小用它的平面角來度量，求二面角大小的關(guān)鍵是找到或作出它的平面角(要證明)。作二面角的平面角經(jīng)常要用三垂線定理，關(guān)鍵是過二面角的一個面內(nèi)的一點向另一個面作垂線，并確定垂足的位置。若二面角的平面角難以作出，可考慮用射影面積公式求二面角的大小。3判定兩個平面垂直，關(guān)鍵是在一個平面內(nèi)找到一條垂直于另一個平面的直線。兩個平面垂直的性質(zhì)定理是：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面二、例題例1正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為C1D1中點(1)求證：AC1平面A1BD(2)求BM與平面A1BD成的角的正切值解： (1)連AC，C1C平面ABCD， C1

21、CBD又ACBD， AC1BD同理AC1A1BA1BBD=BAC1平面A1BD(2)設(shè)正方體的棱長為，連AD1，AD1交A1D于E，連結(jié)ME，在D1AC1中，MEAC1，AC1平面A1BDME平面A1BD連結(jié)BE，則MBE為BM與平面A1BD成的角在中，例2如圖，把等腰直角三角形ABC以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)，使C點移動的距離等于AC時停止，并記為點P（1） 求證：面ABP面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值證明（1）  由題設(shè)知APCPBP點P在面ABC的射影D應(yīng)是ABC的外心，即DABPDAB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP面ABC（2）解法1  取P

22、B中點E，連結(jié)CE、DE、CDBCP為正三角形，CEBDBOD為等腰直角三角形，DEPBCED為二面角C-BP-A的平面角又由（1）知，面ABP面ABC，DCAB，AB面ABP面ABC，由面面垂直性質(zhì)定理，得DC面ABPDCDE因此CDE為直角三角形設(shè)，則，例3如圖所示，在正三棱柱中，截面?zhèn)让?1)求證：；(2)若，求平面與平面所成二面角(銳角)的度數(shù)證明：在截面A1EC內(nèi)，過E作EGAC，G是垂足，如圖，面AEC面AC，EG側(cè)面AC取AC的中點F，分別連結(jié)BF和FC，由ABBC得BFAC面ABC側(cè)面AC，BF側(cè)面AC，得BFEGBF和EG確定一個平面，交側(cè)面AC于FGBE側(cè)面AC，BEFG，

23、四邊形BEGF是 ，BEFGBEAA，F(xiàn)GAA，AACFGC解：(2)分別延長CE和C1B1交于點D，連結(jié)ADBACBCA60°，DACDABBAC90°，即 DAACCC面ACB，由三垂線定理得DAAC，所以CAC是所求二面角的平面角且ACC90°CCAAABAC，CAC45°，即所求二面角為45°三、課堂練習(xí)： 1已知平面a的一條斜線a與平面a成q角，直線bÌa，且a,b異面，則a與b所成的角為（ ）答案：AA有最小值q，有最大值B無最小值，有最大值。C有最小值q，無最大值D有最小值q，有最大值p-q。2下列命題中正確的是（ ）答案：DA過平面外一點作該平面的垂面有且只有一個B過直線外一點作該直線的平行平面有且只有一個C過直線外一點作該直線的垂線有且只有一條D過平面外的一條斜線作該平面的垂面有且只有一個3一條長為60的線段夾在互相垂直的兩個平面之間，它和這兩個平面所成的角分別為 45°和30°，這條線段的兩