1、第三講絕對(duì)值內(nèi)容概述絕對(duì)值是有理數(shù)中非常重要的組成部分， 它其中相關(guān)的基本思想及數(shù)學(xué)方法是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，希望同學(xué)們通過(guò)學(xué)習(xí)、鞏固對(duì)絕對(duì)值的相關(guān)知識(shí)能夠掌握要領(lǐng)。絕對(duì)值的定義及性質(zhì)絕對(duì)值簡(jiǎn)單的絕對(duì)值方程化簡(jiǎn)絕對(duì)值式，分類討論（零點(diǎn)分段法）絕對(duì)值幾何意義的使用絕對(duì)值的定義及性質(zhì)絕對(duì)值的定義：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離稱為該數(shù)的絕對(duì)值，記作|a|。絕對(duì)值的性質(zhì)：a（ a 0）（ 1）|a|=0（ a=0）（代數(shù)意義）-a(a 0)（ 2） 若 |a|=a，則 a 0；若 |a|=-a，則 a 0；（ 3）任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都不小于這個(gè)數(shù)，也不小于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即|a| a，且|a

2、| -a；（ 4）若|a|=|b|，則a=b或a=-b；（幾何意義）（ 5） |ab|=|a|· |b|； | a |= | a | （ b0）；b| b |（ 6）|a| 2 =|a 2 |=a2 ；（ 7）|a+b| |a|+|b|a-b| |a|-|b|a|+|b| |a+b|a|+|b| |a-b|例 1（ 1）絕對(duì)值大于 2.1而小于 4.2 的整數(shù)有多少個(gè)？（ 2）若 ab<|ab|，則下列結(jié)論正確的是（）A.a 0，b 0B.a 0， b 0C.a 0， b 0D.ab 0（ 3）下列各組判斷中，正確的是（）A 若 |a|=b，則一定有 a=bB. 若 |a| |

3、b|,則一定有 abC. 若 |a|b，則一定有 |a| |b|D. 若|a|=b，則一定有 a 2 =(-b) 2（ 4） 設(shè) a， b 是有理數(shù)，則 |a+b|+9 有最小值還是最大值？其值是多少？分析：（ 1）結(jié)合數(shù)軸畫(huà)圖分析。絕對(duì)值大于2.1 而小于 4.2的整數(shù)有± 3，± 4，有 4 個(gè)（ 2）答案 C 不完善，選擇 D.在此注意復(fù)習(xí)鞏固知識(shí)點(diǎn)3。（ 3）選擇 D。（ 4）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性可以知道|a+b| 0，則 |a+b| 9，有最小值 9 鞏固 設(shè) a， b 是有理數(shù)，則 -8-|a-b|是有最大值還是最小值？其值是多少？分析： |a-b| 0，-8-|

4、a-b| -8，所以有最大值-8鞏固 絕對(duì)值小于3.1 的整數(shù)有哪些？它們的和為多少？<分析 >：絕對(duì)值小于3.1 的整數(shù)有0，± 1，± 2，± 3，和為 0。 鞏固 有理數(shù) a 與 b 滿足 |a|>|b|，則下面哪個(gè)答案正確（）A.a bB.a=bC.a<bD. 無(wú)法確定分析：選擇D 。 鞏固 若|x-3|=3-x ，則 x 的取值范圍是 _分析：若 |x-3|=3-x ，則 x-3 0，即 x 3。對(duì)知識(shí)點(diǎn)3 的復(fù)習(xí)鞏固 鞏固 若 a b，且 |a|<|b|，則下面判斷正確的是（）A.a 0B.a 0C.b 0D.b 0分析：

5、選擇C例 2（ 1）（競(jìng)賽題）若3|x-2|+|y+3|=0 ，則 y 的值是多少？x（ 2）若 |x+3|+(y-1) 2=0，求 (4 ) n 的值y x分析：（ 1） |x-2|=0， |y+3|=0 ， x=2， y=-3 ， y =3x2244（ 2）由 |x+3|+ （ y-1 ） =0，可得 x=-3 ， y=1。=-1yx 13n 為偶數(shù)時(shí)，原式 =1； n 為奇數(shù)時(shí)，原式 =-1小知識(shí)點(diǎn)匯總： （本源 |a| 0 b 20）22則 x-a=0且 x-b=0 ；若 (x-a) +(x-b) =0,若 |x-a|+(x-b)2=0, 則 x-a=0 且 x-b=0 ；若 |x-a

6、|+|x-b|=0 ，則 x-a=0 且 x-b=0 ；當(dāng)然各項(xiàng)前面存在正系數(shù)時(shí)仍然成立，非負(fù)項(xiàng)增加到多項(xiàng)時(shí)，每一項(xiàng)均為0，兩個(gè)非負(fù)數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，兩者均為0簡(jiǎn)單的絕對(duì)值方程【例 3】（ 1） 已知 x 是有理數(shù)，且 |x|=|-4|，那么 x= （ 2） 已知 x 是有理數(shù)，且 -|x|=-|2|，那么 x= （ 3） 已知 x 是有理數(shù)，且 -|-x|=-|2| ，那么 x= （ 4）如果 x， y 表示有理數(shù)，且x，y 滿足條件 |x|=5， |y|=2 ， |x-y|=y-x ，那么 x+y的值是多少？分析：（ 1）4， -4（2） 2， -2， （ 3） 2，-2（ 4）x=

7、77; 5， y=± 2，且 |x-y|=y-x ， x-y 0；當(dāng) x=5 ， y=2 時(shí)不滿足題意；當(dāng) x=5 ， y=-2 時(shí)不滿足題意；當(dāng) x=-5 ， y=2 時(shí)滿足題意； x+y=-3 ；當(dāng) x=-5 ， y=-2 時(shí)滿足題意， x+y=-7 ?！眷柟獭快柟?|x|=4， |y|=6，求代數(shù)式 |x+y|的值分析：因?yàn)?|x|=4，所以 x=± 4，因?yàn)?|y|=6 ，所以 y= ± 6當(dāng) x=4， y=6 時(shí)， |x+y|=|10|=10 ； 當(dāng) x=4， y=-6 時(shí)， |x+y|=|-2|=2;當(dāng) x=-4， y=6 時(shí)， |x+y|=|2|=2

8、 ； 當(dāng) x=-4 ， y=-6 時(shí)， |x+y|=|10|=10【例 4】解方程：（ 1） 3 | x 5 | 502（ 2） |4x+8|=12（ 3） |3x+2|=-1（ 4）已知 |x-1|=2，|y|=3，且 x 與 y 互為相反數(shù)，求1 x2xy 4y 的值3分析：（ 1）原方程可變形為：|x+5|=10 ，所以有 x+5= ± 10 ，進(jìn)而可得： x=-5 ， -25 ；3333（ 2）4x+8= ± 12， x=1 ，x=-5（ 3）此方程無(wú)解（ 4） |x-1|=2， x-1= ± 2，x=3 ， x=-1 ， |y|=3， y= ±

9、 3，且 x 與 y 互為相反數(shù)，所以x=3 ，y=-3 ， 1 x2xy4 y 243【例 5】 若已知 a 與 b 互為相反數(shù)，且 |a-b|=4，求 aabb 的值a 2ab1分析： a 與 b 互為相反數(shù)，那么a+b=0。aabbab ab0abab,| ab |4,a b 4,a 2ab1a(ab)1a0 1=當(dāng) a-b=4 時(shí)，且 a+b=0，那么 a=2， b=-2 ， -ab=4；當(dāng) a-b=-4 時(shí)，且 a+b=0，那么 a=-2， b=2， -ab=4；aabb綜上可得a 2 ab 1 =4化簡(jiǎn)絕對(duì)式【例 6】（ 1） 已知 a=- 1 ，b=- 1 ，求 | 2a 4b

10、|42的值23(a 2b) 2| a 2b | 4b 3 | 2a3 |（ 2） 若 |a|=b，求 |a+b|的值（ 3） 化簡(jiǎn)： |a-b| 14 |4218分析：（ 1）原式 =32122|143 |7()2| |3 | 12333（ 2）|a|=b，我們可以知道 b 0，當(dāng) a<0 時(shí)， a=-b，|a+b|=0；當(dāng) a0 時(shí)， a=b，|a+b|=2b（ 3）分類討論。當(dāng) a-b 0 時(shí)，即 ab， |a-b|=a-b；當(dāng) a-b=0 時(shí)，即 a=b， |a-b|=0；當(dāng) a-b 0 時(shí)，即 ab， |a-b|=b-a?！眷柟獭炕?jiǎn)：（ 1） |3.14- |（2） |8-x|

11、（ x 8）分析：（ 1） 3.14<， 3.14- 0， |3.14- |= -3.14（ 2） x 8， 8-x 0， |8-x|=x-8 。【例 7】有理數(shù)a， b， c 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)|b+a|+|a+c|+|c-b|CB 0A分析： |b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（ a+c） -（c-b） =2b-2c【鞏固】已知a， b，c 在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|a0cb分析： |a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a【鞏固】數(shù)a， b 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，是化簡(jiǎn)|a

12、+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|a0b分析： |a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|=-（ a+b） +（ b-a） +b- （ -2a） =b【例 8】（ 1）若 a<-b 且 a0 ，化簡(jiǎn) |a|-|b|+|a+b|+|ab|b（ 2）若 -2 a 0，化簡(jiǎn) |a+2|+|a-2|（ 3）已知 x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|, 求 |x+z|+|y+z|-|x-y| 的值分析：（ 1）若 a<-b 且 a0 ，a<0,b<0,a+b<0,ab>0b|a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a

13、-b+ab=ab-2a(2)因?yàn)?-2 a 0，所以 a+2 0， a-2 0， |a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4(3)由 x<0<z,xy>0 可得： y<0<z, 又|y|>|z|>|x|,可得： y<x<z; 原式 =x+z-y-z-x+y=0【鞏固】如果0<m<10 并且 m x 10，化簡(jiǎn) |x-m|+|x-10|+|x-m-10|分析： |x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x【例 9】（ 1）已知 x<-3,化簡(jiǎn) |3+|2-|1+x|2a|3a

14、|（ 2）若 a<0，試化簡(jiǎn)| 3a |a |分析：（ 1）當(dāng) x<-3 時(shí)， |3+|2-|1+x|=|3+|2+1+x|=|3+|3+x|=|3-3-x|=|-x|=-x2a | 3a |2a3a=5a5（ 2）=4a=-| 3a | a | 3a a |4【例 10】若 abc 0，則 abc的所有可能值| a | b | c |分析：從整體考慮：（ 1） a， b， c 全正，則abc；| a | b |=3| c |（ 2） a， b， c 兩正一負(fù)，則（ 3） a， b， c 一正兩負(fù)，則abc| a | b |=1；| c |abc| a | b |=-1 ；| c

15、|abc（ 4） a， b， c 全負(fù)，則| b |=-3| a | c |【鞏固】有理數(shù) a， b， c， d，滿足 | abcd |1，求 | a | b |c | d | 的值abcdabcd分析：有 | abcd |1知 abcd<0，所以 a， b， c， d 里含有 1 個(gè)負(fù)數(shù)或3 個(gè)負(fù)數(shù)：abcd（ 1） 若含有 1 個(gè)負(fù)數(shù)，則（ 2） 若含有 3 個(gè)負(fù)數(shù)，則【例 11】化簡(jiǎn) |x+5|+|2x-3| a | b | c | d |abc=2；d| a | b | c | d |abc=-2d分析：先找零點(diǎn)。x+5=0 ， x=-5 ； 2x-3=0 ， x= 3 ，零點(diǎn)可

16、以將數(shù)軸分成幾段。2當(dāng) x 3 ， x+5 0,2x-3 0， |x+5|+|2x-3|=3x+2 ；2當(dāng) -5 x 3 ， x+5 0,2x-3 0， |x+5|+|2x-3|=8-x ；2當(dāng) x<-5 ， x+5<0,2x-3 ， |x+5|+|2x-3|=-3x-2【鞏固】化簡(jiǎn)：|2x-1|分析：先找零點(diǎn)。2x-1=0 ， x= 1 ，依次零點(diǎn)可以將數(shù)軸分成幾段2（ 1）x< 1 ,2x-1<0 ， |2x-1|=（ 2x-1） =1 2x；21（ 2） x= ，2x-1=0 ， |2x-1|=02（ 3） x> 1 ，2x-1>0 ， |2x-1|=

17、2x-1 。也可將（ 2）與（ 1）合并寫(xiě)出結(jié)果2【例 12】求 |m|+|m-1+|m-2| 的值分析：先找零點(diǎn)，m=0， m-1=0 ， m-2=0 ，解得 m=0,1,2依這三個(gè)零點(diǎn)將數(shù)軸分為四段：m 0,0 m 1,1 m 2， m 2。當(dāng) m<0 時(shí)，原式 = m（ m-1） -（ m-2） =-3m+3 當(dāng) 0 m 1 時(shí)，原式 =m- （ m-1） -（ m-2） =-m+3 當(dāng) 1 m 2 時(shí)，原式 =m+ （ m-1） -（ m-2） =m+1 當(dāng) m2 時(shí)，原式 m+(m-1)+ （ m-2） =3m-3絕對(duì)值幾何意義的應(yīng)用|a|的幾何意義：在數(shù)軸上，表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離

18、開(kāi)原點(diǎn)的距離|a-b|的幾何意義：在數(shù)軸上，表示數(shù)a，b 對(duì)應(yīng)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離【例13】求 |x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值分析：由上題可知，本題中的式子值應(yīng)為x 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別到3,5,2， -1， -7 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離和。通過(guò)數(shù)軸可以看到，當(dāng)x=2時(shí)，五段距離的和有最小值16。這里我們可以把小學(xué)奧數(shù)中的相關(guān)知識(shí)聯(lián)系到一起講解：【小學(xué)奧數(shù)相關(guān)題目】如圖， 在接到上有A 、B、C、D 、E 五棟居民樓，現(xiàn)在設(shè)立一個(gè)郵筒，為使五棟樓的居民到郵筒的就努力之和最短，郵局應(yīng)立于何處？AB CDE分析：我們來(lái)分析以下A 、E 兩個(gè)點(diǎn)，不論這個(gè)郵筒放在AE之間的哪一點(diǎn)，

19、A 到郵筒的距離加上 E 到郵筒的距離就是AE 的長(zhǎng)度。也就是說(shuō)郵筒放在哪不會(huì)影響這兩個(gè)點(diǎn)到郵筒的距離之和。那么我們就使其他的3 個(gè)點(diǎn)到郵筒的距離之和最短，再看為了使B、D 兩個(gè)到郵筒的距離之和也是不變的，等于BD 。最后，只需要考慮 C 點(diǎn)到郵筒的距離最近就行了。那么當(dāng)然也就是把郵筒放在C 點(diǎn)了。這里就體現(xiàn)了一個(gè)“向中心靠攏的思想”題后小結(jié)論：求 |x-a 1 |+|x-a 2 |+ +|x-a n |的最小值：當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，把 a、a2、 an從小到大排列， x 等于最中間的數(shù)值時(shí)，該式子的值1最小。當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，把a(bǔ) 、a2、 an從小到大排列， x 取最中間兩個(gè)數(shù)值之間的數(shù)（包

20、括1最中間的數(shù)）時(shí)，該式子的值最小?！眷柟獭刻骄?|a|與 |a-b|的幾何意義分析：|a|即為表示a 的點(diǎn)A 與原點(diǎn)之間的距離，也即為線段AO的長(zhǎng)度。關(guān)于 |a-b|，我們可以引入具體數(shù)值加以分析：當(dāng) a=3， b=2 時(shí)， |a-b|=1； 當(dāng)a=3， b=-2時(shí)， |a-b|=5；當(dāng) a=3， b=0 時(shí)， |a-b|=3； 當(dāng)a=-3， b=-2時(shí)， |a-b|=1；從上述四種情況分別在數(shù)軸上標(biāo)注出來(lái)，我們不能難發(fā)現(xiàn)：|a-b|對(duì)應(yīng)的是點(diǎn)A 與點(diǎn)B 之間的距離，即線段AB的長(zhǎng)度。【鞏固】設(shè)a1 、a 2 、a 3 、a 4 、a 5 為五個(gè)有理數(shù)， 滿足a1 < a 2<

21、a 3 < a 4< a 5 ,求|x- a 1 |+|x- a 2|+|x-a 3 |+|x- a 4 |+|x- a 5 |的最小值分析：當(dāng)x= a 3 時(shí)有最小值，a 4 + a 5 - a 1 - a 2【例14】設(shè)a<b<c<d, 求 y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并求出此時(shí)x 的取值分析：根據(jù)幾何意義可以得到，當(dāng)b x c 時(shí)， y 有最小值為c+d-a-b附加習(xí)題【例 1】若 |a|=1， |b|=2，|c|=3，且 a>b>c,那么 a+b-c=分析：根據(jù)題意可得：a=± 1， b=-2 ，c=-

22、3，那么 a+b-c=0 或 2【例 2】已知 (a+b) 2 +|b+5|=b+5, 且 |2a-b-1|=0，那么 ab=分析：因?yàn)?a+b) 2 +|b+5|=b+5, 我們可以知道b+5>0 ，所以原式可以表示為：(a+b) 2 +b+5=b+5 ， (a+b) 2=0 ， a=-b ， 又 因 為 |2a-b-1|=0 ， 進(jìn) 而 2a-b-1=0 ， 進(jìn) 而2a-b-1=0,3a=1 ，a=1 ， b=-1 ，ab=-1339【例 3】對(duì)于 |m-1|，下列結(jié)論正確的是（）A.|m-1| |m|B.|m-1| |m|C. |m-1| |m|-1 D. |m-1| |m|-1分

23、析：我們可以分類討論，但那樣對(duì)于做選擇題都過(guò)于麻煩了。我們可以用特殊值法代入檢驗(yàn)，對(duì)于絕對(duì)值的題目我們一般需要帶入正數(shù)、負(fù)數(shù)、 0,3 種數(shù)幫助找到準(zhǔn)確答案。易得答案為 C?！纠?4】設(shè) a，b， c 為實(shí)數(shù)，且 |a|+a=0，|ab|=ab， |c|-c=0，化簡(jiǎn) |b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|分析： |a|+a=0， |a|=-a， a 0； |ab|=ab， ab 0； |c|-c=0， |c|=c，c 0。所以可以得到a 0， b 0， c 0；|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+ （a+b） -（ c-b）- （a-c）=b【例 5】化簡(jiǎn)： |x-1|-2

24、|+|x+1|分析：先找零點(diǎn)。x-1=0 ，x=1 ， |x-1|-2=0 ， |x-1|=2 ， x-1=2 或 x-1=-2 ，可得x=3 或者 x=-1 ；x+1=0 ，x=-1 ；綜上所得零點(diǎn)有 1.，-1,3，依次零點(diǎn)可以將數(shù)軸分成幾段。（ 1） x 3，x-1>0 ， |x-1|-2 0， x+1>0, |x-1|-2|+|x+1|=2x-2 ；（ 2） 1 x<3， x-1 0， |x-1|-2<0 ，x+1>0 ， |x-1|-2|+|x+1|=4 ；（ 3） -1 x 1， x-1<0 ， |x-1|-2<0 ， x+1 0， |x-

25、1|-2|+|x+1|=2x+2 ；（ 4） x<-1,x-1<0,|x-1|-2<0,x+1<0, |x-1|-2|+|x+1|=-2x-2【例 6】已知有理數(shù) a， b， c 滿足 | a | b | c |1，求 | abc | 的值abcabc分析：對(duì)于任意的整數(shù)a，有 | a |1，若 | a |b | c |1，則 a， b， c 中必aabc是兩正一負(fù)，則 abc<0， | abc | =-1abc【例 7】若 a，b， c， d 為互不相等的有理數(shù)，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1 ，求 |a-d|分析：從 |a-c|=|b-c|我們可以知

26、道， c 到 a，b 的距離都是1，且三者不相等，那么在數(shù)軸上就有：acb(b) (a)因?yàn)?|d-b|=1，且 a， b， c， d 為互不相等的有理數(shù)，則有：ac b d顯然易得(b)(a)|a-d|=3練習(xí)三7的值1、 |m+3 |+|n- |+|2p-1|=0,求 p+2m+3n2|m+3 |+|n- 77分析：絕對(duì)值為非負(fù)數(shù)，|+|2p-1|=0,所以 m+3=0 ，n-=0， 2p-1=0 ，即得 m=-3，22n=7 ，p=1 ，所以 p+2m+3n=1-6+3 ×7=522222、（ 1）已知 |x|=2， |y|=3 且 x-y>0 ，則 x+y 的值為多少？

27、（ 2）解方程： |4x-5|=8分析：（ 1）x= ± 2， y=± 3，當(dāng) x=2 ，y=3 時(shí)，不滿足 x-y 0；x=2， y=-3時(shí)，滿足x-y 0，那么x+y=-1 ；x=-2 ， y=3時(shí)，不滿足x-y 0；x=-2 ， y=-3時(shí)，滿足x-y 0，那么x+y=-5 。綜上可得x+y 的值為 -1， -5（ 2） 4x-5=± 8， x= 13 ， x=- 3443、（ 1）有理數(shù)a， b，c 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|ac0b（ 2）若 a b，求 |b-a+1|-|a-b-5|的值（ 3）若 a 0，化

28、簡(jiǎn) |a-|-a|分析：（ 1）a-b 0， b-c 0，a+b 0|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-（ a-b） +（a+b） +（ b-c） +c=3b（ 2） |b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4（ 3） |a-|-a|=|a+a|=|2a|=-2a4、已知 a 是非零有理數(shù)，求aa2a 3的值| a | a2| | a3|分析：若a0，那么aa2a 3=1+1+1=3 ；| a |2| a3| a|若 a0，那么aa2a 3=-1+1-1=-1| a |2| a3| a|5、化簡(jiǎn) |x-1|-|x-3|分析：先找零點(diǎn)。x-1=0,， x=1； x-3

29、=0 ， x=3 ，依照零點(diǎn)可以將數(shù)軸分成幾段。（ 1） x 3，x-1 0， x-3 0， |x-1|-|x-3|=x-1- （ x-3 ） =2；（ 2） 1 x3， x-1 0，x-3 0 ， |x-1|-|x-3|=x-1+ （ x-3 ） =2x-4；（ 3） x 1，x-1 0， x-3 0， |x-1|-|x-3|=- （ x-1） +（x-3 ） =-26、設(shè) a bc，求當(dāng) x 取何值時(shí) |x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值分析： |x-a|+|x-b|+|x-c|實(shí)際表示x 到 a， b， c 三點(diǎn)距離和，畫(huà)圖可知當(dāng)x=b 時(shí)，原式有最小值 c-a用絕對(duì)值的幾何意義解

30、題大家知道， |a| 的幾何意義是：數(shù)軸上表示 a 的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離； |a b| 的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù) a、b 的兩點(diǎn)的距離對(duì)于某些問(wèn)題用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)解，直觀簡(jiǎn)捷，事半功倍一、求代數(shù)式的最值例 1 已知 a 是有理數(shù)， | a 2007|+| a 2008| 的最小值是 _.解：由絕對(duì)值的幾何意義知，| a 2007|+| a 2008| 表示數(shù)軸上的一點(diǎn)到表示數(shù) 2007 和 2008 兩點(diǎn)的距離的和，要使和最小，則這點(diǎn)必在20072008 之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）取值（如圖1 所示），故 | a 2007|+| a 2008| 的最小值為 1.例 2 |x 2| | x 5|

31、的最大值是 _，最小值是 _解：把數(shù)軸上表示 x 的點(diǎn)記為 P由絕對(duì)值的幾何意義知， |x 2| | x5|表示數(shù)軸上的一點(diǎn)到表示數(shù) 2 和 5 兩點(diǎn)的距離的差， 當(dāng) P 點(diǎn)在 2 的左邊時(shí)，其差恒為 3；當(dāng) P 點(diǎn)在 5 的右邊時(shí)，其差恒為 3；當(dāng) P 點(diǎn)在 25 之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）時(shí)，其差在 33 之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）（如圖 2 所示），因此， |x 2| | x 5| 的最大值和最小值分別為 3 和 3二、解絕對(duì)值方程例 3 方程 |x 1|+|x 2| 4 的解為 _解：把數(shù)軸上表示 x 的點(diǎn)記為 P，由絕對(duì)值的幾何意義知，當(dāng) 2x1 時(shí)， |x 1|+|x 2| 恒有最小值 3

32、，所以要使 |x 1|+|x 2| 4 成立，則點(diǎn) P 必在 2 的左邊或 1 的右邊，且到表示數(shù)2 或 1 的點(diǎn)的距離均為個(gè)單位（如圖3 所示），故方程 |x 1|+|x 2| 4 的解為：x 2，x 1+三、求字母的取值范例 4 若 |x+1|+|2 x| 3，則 x 的取值范圍是 _解：由絕對(duì)值的幾何意義知， |x+1|+|x 2| 的最小值為 3，此時(shí) x 在 12之間（包括兩端點(diǎn)）取值（如圖 4 所示），故 x 的取值范圍是 1x2例 5 對(duì)于任意數(shù) x，若不等式 |x 2|+|x 4| a 恒成立，則 a 的取值范圍是_解：由絕對(duì)值的幾何意義知， |x 2|+|x 4| 的最小值為

33、 6，而對(duì)于任意數(shù) x， |x 2|+|x 4| a 恒成立，所以 a 的最值范圍是 a6四、解不等式例 6 不等式 |x 2|+|x 3| 5 的解集是 _解：由絕對(duì)值的幾何意義知， |x 2|+|x 3| 的最小值為 5，此時(shí) x 在 23之間（包括兩端點(diǎn)）取值，若 |x 2|+|x 3| 5 成立，則 x 必在 2 的左邊或 3 的右邊取值（如圖 5 所示），故原不等式的解集為 x 2 或 x3五、判斷方程根的個(gè)數(shù)例 7 方程 |x+1|+|x+99|+|x2| 1996 共有（）個(gè)解A.4； B 3 ；C 2 ；D1解：當(dāng) x 在 99 1 之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）取值時(shí)，由絕對(duì)值的幾何意義知， |x+1|+|x+99|98，|x 2| 98此時(shí)， |x+1|+|x+99|+|x2| 1996，故 |x+1|+|x+99|+|x 2| 1996 時(shí)， x 必在 99 1 之外取值，故方程有2 個(gè)解，選（ C）六、綜合應(yīng)用例 （8 第 15 屆江蘇省競(jìng)賽題，初一）已知 |x 2|+|1 x| 9 |y 5| |1+y| ，求 x+ y 最大值與最小值解：原方程變形得 |x 2|+|x 1|