1、整理課件整理課件q一、一、q二、三角有理函數(shù)的積分二、三角有理函數(shù)的積分q三、三、q四、內(nèi)容小結(jié)四、內(nèi)容小結(jié)有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分整理課件：兩個多項式的商兩個多項式的商, ,即即mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中其中m、n均為均為非負整數(shù)非負整數(shù)；naaa,10及及mbbb,10 均為均為實數(shù)，且實數(shù)，且 00 a，00 b. 若若P(x)與與Q(x)之間沒有公因式，則之間沒有公因式，則,) i (mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是真分式真分式；,)ii(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是假分式假分式；一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分整理課件利用

2、利用多項式除法多項式除法, , 任何有理假分式總可以化成一個任何有理假分式總可以化成一個多項式和一個有理真分式之和多項式和一個有理真分式之和. .已已解解決決 dxqpxxBAxdxqpxxBAxn22 4 3（重點解決重點解決）（利用遞推公式利用遞推公式） ) 1(12ln 11nC axnAdxaxA CaxAdxaxAnn整理課件，即即分分母母無無法法分分解解因因式式若若 04 (1)2qpdxxx2691 1 2求求例例Cauauaduarctan1 22利利用用公公式式解：解：dxx1) 13(12原式原式1) 13() 13(312xxdCx ) 13arctan(31整理課件dx

3、xxx26953 2 2求求例例解：解：dxxxxd)618()269( 2dxxxx269 4)618(61 2原原式式dxxxdxxxx26914 2696186122Cxxx) 13arctan(34)269ln(612同例同例1 1整理課件，分分母母可可分分解解因因式式若若 04 (2)2qpdxxx35691 3 2求求例例Cauauaduau ln21 1 22利用公式利用公式解：解：dxx36) 13(12原式原式) 13(36) 13(1312xdxCxx7353ln361？怎怎么么求求 356932 2dxxxx整理課件因因式式分分解解定定理理： rskrrklsllnqxp

4、xqxpx cxcxcxa Q(x)211221121 1 標標準準分分解解式式為為：積積。與與二二次次不不可可約約因因式式的的乘乘唯唯一一地地分分解解為為一一次次因因式式數(shù)數(shù)域域上上都都可可的的實實系系數(shù)數(shù)多多項項式式，在在實實每每個個次次數(shù)數(shù)整理課件 (1) 若若分母含有因式分母含有因式 ，則分解后為，則分解后為kax)( ,)()(221kkaxAaxAaxA有理真分式化為部分分式之和的一般規(guī)律：有理真分式化為部分分式之和的一般規(guī)律：其其中中kAAA,21都都是是常常數(shù)數(shù). 則則分分解解后后為為，其其中中若若分分母母中中含含有有 04 )( )2(22qpqpxxkkkkqpxxNxMq

5、pxxNxMqpxxNxM)()(22222211其其中中iiNM ,都都是是常常數(shù)數(shù)), 2 , 1(ki . 整理課件. 12 1 32為為部部分分分分式式和和化化例例xxx11111212232xCxB xAxxxxxxx解：解：)()()(11112 22 xCxxBxxAx通分通分AxCBxCBAx)()(12 22 1 0 2 ACBCBA231 CBA1123112311232xx xxxx整理課件11112212222232xxCBxxAxxxxxxxx. 122 2 32為為部部分分分分式式和和化化例例xxx解：解：) 1)() 1(22 22xCBxxxAxx通分通分CAx

6、CBAxBAxx)()(22 221 2 1CBA2 21 CACBABA11211122232xxxxxxx整理課件2221111122xCxBxAxxxx. 1122 3 22為部分分式和為部分分式和化化例例xxxx解：解：) 1() 1)(1() 1(22 22xCxxBxAxx通分通分CBAxCAxBAxx)2()(22 22222 1 CBACABA21 , 47 , 43CBA2221121114711431122xxxxxxx整理課件注：注： ，若有理真分式為若有理真分式為 22)(cbxxaxxP 22)(cbxxaxxP 則可令則可令axA cbxxCBx 2 22cbxxD

7、Ex .待定系數(shù)待定系數(shù)整理課件; 12 4 32dxxx x 求求例例解：解：11231123112 32xx xxxxdxxx xdxxxx112311231 12 32dxxdxxdxx112311231Cxxx1ln231ln23ln整理課件. 122 5 32dxx x x求求例例解：解：11211122 232xxxxxxxdxxxxdxx11211 2原原式式) 1(111ln22xxdxxxCxxx) 1ln(1ln2整理課件. 1122 6 22dxxxxx求求例例解：解：2221121114711431122 xxxxxxxdxxxxdxxxxx22211211147114

8、31122 dxxdxxdxx2) 1(12111471143Cxxx11211ln471ln43整理課件二、三角有理函數(shù)的積分由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)，由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)，稱為三角有理函數(shù)記為稱為三角有理函數(shù)記為)cos,(sinxxRdxxxR)cos,(sin 計計算算積積分分思路：思路：有理化有理化 2tan xu 令令212 arctan2 ududxux，則則2sec2tan22cos2sin2sin2xxxxx2sec2tan12sin2coscos2222xxxxx方法：方法：212uu2211uu整理課件.cossin1sin 1

9、 dxxxx求求例例解：解：,12sin2uux2211cosuux,122duudxdxxxxcossin1sinduuuu)1)(1 (22duuuuuu)1)(1 (1122222tan xu 由萬能置換由萬能置換整理課件duuuuu)1)(1 ()1 ()1 (222duuduuu11112Cuuu1ln)1ln(21arctan22tanxu .2tan1ln2secln2Cxxx整理課件 萬能置換不一定是最佳方法萬能置換不一定是最佳方法, , 在計算三角有在計算三角有理式積分時應(yīng)先考慮其它手段理式積分時應(yīng)先考慮其它手段, , 不得已再用萬能置不得已再用萬能置換求解換求解. .型型中

10、中，若若 cossindxxx，R xx，Rxx，Rcossincossin ；則則令令 cos x u xx，R xx，Rcossincossin ；則則令令 sin x u xx，Rxx，Rcossincossin . tan xu則則令令整理課件.sin1 2 4dxx求求例例解：解：xutan 令令,1sin2uux,112duudxdxx4sin1duuuu2421111duuu421Cuu1313.cotcot313Cxxxx，Rxx，Rcossincossin整理課件三、簡單無理函數(shù)積分三、簡單無理函數(shù)積分dxx x231 1 求求例例、形形如如 ),( dxbaxxRn、 ),

11、(dxecxbaxxRn作作置置換換去去根根號號，有有理理化化方方法法： 解：解：ux23 令令ududxux32, )2(31 2則則duuuu2322原式原式duuuuu)2)(1()2() 1(22duuu11222Cuu1ln2ln22Cxx123ln2223ln4整理課件.111 2 3dxxx求求例例解解:1 6 xt令令,65dxdttdxxx3111dtttt52361dttttdttt)111(61623Ctttt| 1|ln663223.) 11ln(6131312663Cxxxx整理課件dxxxx11 3 求求例例解：解：txx1 令令,112tx,1222ttdtdxd

12、xxxx11dttttt2221211222tdttdtt11122Cttt11ln2.11ln122Cxxxxx整理課件四、內(nèi)容小結(jié)四、內(nèi)容小結(jié)1. 可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出, 但不一定 要注意綜合使用基本積分法 , 簡便計算 .簡便 , 整理課件如何求下列積分更簡便 ?)0(d) 1 (662 axxax xxxcossind)2(3解解: （1）23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln61（2）原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxx