1、一、相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題1.如圖，在 Rt ABC中， ACB=90°， AC=3， BC=4，過點(diǎn) B 作射線 BB1AC動(dòng)點(diǎn) D 從點(diǎn) A 出發(fā)沿射線 AC方向以每秒 5 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) E 從點(diǎn) C 沿射線 AC 方向以每秒 3 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng) 過點(diǎn) D 作 DH AB于 H，過點(diǎn) E 作 EF AC 交射線 BB1 于 F， G 是 EF 中點(diǎn)，連接DG設(shè)點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t 秒（ 1）當(dāng) t 為何值時(shí)， AD=AB，并求出此時(shí) DE的長度；（ 2）當(dāng) DEG與 ACB 相似時(shí)，求 t 的值2.如圖，在 ABC中，ABC 90°，AB=6m，BC=

2、8m，動(dòng)點(diǎn) P 以 2m/s 的速度從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿 AC 向點(diǎn) C 移動(dòng)同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q 以 1m/s 的速度從 C點(diǎn)出發(fā)，沿 CB 向點(diǎn) B 移動(dòng)當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng)設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為 t 秒（1） 當(dāng) t=2.5s 時(shí)，求 CPQ的面積； 求 CPQ的面積 S（平方米）關(guān)于時(shí)間 t（秒）的函數(shù)解析式；（ 2）在 P， Q 移動(dòng)的過程中，當(dāng) CPQ為等腰三角形時(shí)，求出 t 的值點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿著 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn) Q 從 C 點(diǎn)出發(fā)，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng) P 點(diǎn)到達(dá) B 點(diǎn)時(shí)， Q 點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)

3、的時(shí)間為 x（ 1）當(dāng) x 為何值時(shí)， PQ BC？（ 2） APQ 與 CQB能否相似？若能， 求出 AP 的長；若不能說明理由5.如圖，在矩形 ABCD 中， AB=12cm， BC=6cm，點(diǎn) P 沿 AB 邊從 A 開始向點(diǎn) B 以 2cm/s 的速度移動(dòng)；點(diǎn) Q沿 DA 邊從點(diǎn) D 開始向點(diǎn) A 以 1cm/s 的速度移動(dòng)如果 P、 Q 同時(shí)出發(fā)，用 t（ s）表示移動(dòng)的時(shí)間（ 0 t6）。（ 1）當(dāng) t 為何值時(shí)， QAP 為等腰直角三角形？（ 2）當(dāng) t 為何值時(shí)，以點(diǎn) Q、 A、 P 為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似？3.如圖 1，在 Rt ABC 中， ACB90°，

4、AC 6，BC 8，點(diǎn) D 在邊 AB 上運(yùn)動(dòng)， DE 平分 CDB 交邊 BC 于點(diǎn) E， EM BD，垂足為 M， EN CD，垂足為 N（ 1）當(dāng) ADCD 時(shí)，求證： DEAC；（ 2）探究： AD 為何值時(shí)， BME 與 CNE相似？二、構(gòu)造相似輔助線雙垂直模型6.在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為 (2， 1)，正比例函數(shù)y=kx 的圖象與線段OA 的夾角是45°，求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式7.在 ABC 中， AB=， AC=4， BC=2，以 AB 為邊在4.如圖所示，在 ABC中， BA BC 20cm， AC 30cm，C 點(diǎn)的異側(cè)作 ABD，使 ABD 為

5、等腰直角三角形，求線段 CD 的長11.如圖： ABC中， D 是 AB 上一點(diǎn)， AD=AC， BC 邊上的中線 AE交 CD 于 F。求證：8.在 ABC 中， AC=BC， ACB=90°，點(diǎn) M 是 AC 上的一點(diǎn)，點(diǎn) N 是 BC 上的一點(diǎn)，沿著直線 MN 折疊，使得點(diǎn) C 恰好落在邊 AB 上的 P 點(diǎn)求證： MC： NC=AP： PB9.如圖，在直角坐標(biāo)系中， 矩形 ABCO的邊 OA 在 x 軸上，邊 OC 在 y 軸上，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 1， 3），將矩形沿對(duì)角線 AC 翻折 B 點(diǎn)落在 D 點(diǎn)的位置， 且 AD 交 y 軸于點(diǎn) E那么 D 點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.B.

6、C.D.10.已知，如圖，直線y= 2x 2 與坐標(biāo)軸交于 A、 B 兩點(diǎn)以 AB 為短邊在第一象限做一個(gè)矩形 ABCD，使得矩形的兩邊之比為 1 2。求 C、 D 兩點(diǎn)的坐標(biāo)。12.四邊形 ABCD中，AC 為AB、 AD 的比例中項(xiàng)，且AC 平分 DAB。求證：13.在梯形 ABCD中， AB CD， AB b， CD a， E 為 AD 邊上的任意一點(diǎn)， EF AB，且 EF 交 BC于點(diǎn) F，某同學(xué)在研究這一問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：(1)當(dāng)時(shí)，EF=；(2) 當(dāng)時(shí)， EF=；(3)當(dāng)時(shí)， EF=當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用 a、 b 和 k 表示 EF的一般結(jié)論，并給出證明三、構(gòu)造

7、相似輔助線14.已知：如圖，在 ABC中， M 是 AC的中點(diǎn)， E、 F A、 X 字型是 BC 上的兩點(diǎn)，且BE EFFC。求 BN： NQ：QM 18.如圖，在 ABC 中，已知CD 為邊 AB 上的高，正15.證明：（ 1）重心定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于方形 EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在ABC上。該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線長的（注：重心是三角形三條中線的交點(diǎn)） （ 2）角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線求證：分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例四、 相似類定值問題16.如圖，在等邊 ABC中， M 、N 分別是邊 AB，AC 的中點(diǎn)， D 為 MN 上任意一點(diǎn)， BD、 CD的延長線

8、分別交 AC、 AB 于點(diǎn) E、 F求證：17.已知：如圖，梯形 ABCD中， AB/DC，對(duì)角線 AC、 BD 交于 O，過 O 作 EF/AB 分別交 AD、BC于 E、 F。求證：19.已知，在 ABC 中作內(nèi)接菱形 CDEF，設(shè)菱形的邊長為 a求證：五、 相似之共線線段的比例問題20.（1）如圖1，點(diǎn)在平行四邊形ABCD 的對(duì)角線BD 上，一直線過點(diǎn)P 分別交 BA，BC的延長線于點(diǎn)Q，S，交于點(diǎn)求證：（2）如圖2，圖3，當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線或的延長線上時(shí)，是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說明理由（要求僅以圖 2 為例進(jìn)行證明或說明） ；22.如圖，已知 &a

9、mp;Delta;ABC 中，AD， BF 分別為 BC， AC 邊上的高，過D 作 AB 的垂線交 AB 于 E，交 BF 于 G，交 AC 延長線于H。 求證：2DE=EG?EH23.已知如圖，P 為平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC 上一點(diǎn)，過P 的直線與AD、 BC、CD 的延長線、AB的延長線分別相交于點(diǎn)E、 F、G、H.求證：21.已知：如圖， ABC 中， AB AC， AD 是中線， P 是 AD上一點(diǎn)， 過 C 作 CF AB，延長 BP 交 AC 于 E，交 CF于 F求2證： BPPE·PF 24.已知，如圖，銳角ABC 中， AD BC 于 D， H 為垂心E是

10、AC的中點(diǎn)， ED 的延長線與 CB 的延長線交于點(diǎn) F.（三角形三條高線的交點(diǎn)） ；在 AD 上有一點(diǎn) P，且 BPC（1）求證：.2為直角 求證： PDAD·DH 。（2）若 G 是 BC 的中點(diǎn)，連接 GD，GD 與 EF垂直嗎？并說明理由 .六、相似之等積式類型綜合25.已知如圖， CD是 RtABC斜邊 AB 上的高， E 為 BC 的中點(diǎn)， ED 的延長線交 CA于 F。求證：28.如圖，四邊形 ABCD、 DEFG都是正方形，連接 AE、CG,AE與 CG 相交于點(diǎn) M， CG 與 AD 相交于點(diǎn) N求證：29.如圖， BD、 CE 分別是 ABC 的兩邊上的高，過 D

11、26 如圖，在 Rt ABC中， CD 是斜邊 AB 上的高，點(diǎn) M 在作 DG BC于 G，分別交 CE及 BA 的延長線于 F、 H。CD上， DH BM 且與 AC的延長線交于點(diǎn) E.2求證：（ 1）DGBG·CG；（ 2）BG·CGGF·GH求證：（ 1） AED CBM；（2）七、 相似基本模型應(yīng)用30.ABC 和DEF 是兩個(gè)等腰直角三角形，A= D=90°， DEF的頂點(diǎn) E 位于邊 BC的中點(diǎn)上27.如圖， ABC是直角三角形， ACB=90°，CD AB 于 D，（1）如圖 1，設(shè) DE 與 AB 交于點(diǎn) M ，EF 與 AC

12、 交于點(diǎn)N，求證： BEM CNE；（ 2）如圖 2，將 DEF繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)，使得 DE 與 BA 的延長線交于點(diǎn) M， EF與 AC交于點(diǎn) N，于是，除（ 1）中的一對(duì)相似三角形外，能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論31.如圖，四邊形 ABCD和四邊形 ACED都是平行四邊形，點(diǎn) R 為 DE 的中點(diǎn)， BR分別交 AC、 CD 于點(diǎn) P、 Q（1）請(qǐng)寫出圖中各對(duì)相似三角形（相似比為1 除外）；（ 2）求 BP：PQ： QR32.如圖，在 ABC 中，AD BC 于 D，DE AB 于 E，DF AC答案1.答案： 解：（ 1） ACB=90°， AC=3， BC=4 AB=

13、5又 AD=AB， AD=5t t=1 ，此時(shí) CE=3， DE=3+3-5=1于 F。求證： A= ACDDE 平分CDB交邊 BC 于點(diǎn) E CDE=BDE CDB為 CDB的一個(gè)外角（2） CDB=A+ ACD=2 ACD CDB=CDE+ BDE=2 CDE如 圖 當(dāng) 點(diǎn) D 在 點(diǎn) E 左 側(cè) ， 即 ： 0 t時(shí) ， ACD= CDEDE ACDE=3t+3-5t=3-2t （2） NCE= MBE若 DEG與 ACB相似，有兩種情況：EMBD， EN CD， BME CNE，如圖 DEG ACB，此時(shí)，即：，求得： t=； DEG BCA，此時(shí)，即：，求得： t=；如圖，當(dāng)點(diǎn) D

14、 在點(diǎn) E 右側(cè)，即：t>時(shí)，DE=5t-(3t+3)=2t-3 若 DEG與 ACB相似，有兩種情況： DEG ACB，此時(shí)， NCE= MBEBD=CD又 NCE+ ACD=MBE+ A=90° ACD= AAD=CD AD=BD= AB在 Rt ABC中，ACB 90°， AC 6， BC 8 AB=10 AD=5 NCE= MEBEMBD， EN CD， BME ENC，如圖即：，求得： t=； DEG BCA，此時(shí)，即：，求得： t=綜上， t 的值為或或或3.答案： 解：（1）證明： AD=CD NCE= MEBEMCDCD AB在 Rt ABC中，ACB

15、 90°， AC 6， BC 8 AB=10 A= A， ADC= ACB ACD ABC綜上： AD=5 或時(shí)， BME 與 CNE相似4.答案：解（ 1）由題意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，當(dāng) PQ BC 時(shí)，即：解得：（2）能， AP=cm 或 AP=20cm APQ CBQ，則，即解得：或（舍）此時(shí)： AP=cm APQ CQB，則，即解得：（符合題意）此時(shí)： AP=cm解得：（符合題意） 當(dāng)或時(shí)，以點(diǎn) Q、A、P 為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似6.答案： 解：分兩種情況第一種情況，圖象經(jīng)過第一、三象限過點(diǎn) A 作 ABOA，交待求直線于點(diǎn) B，過點(diǎn) A 作平行于

16、 y 軸的直線交 x 軸于點(diǎn) C，過點(diǎn) B 作 BD AC則由上可知： 90°由雙垂直模型知： OCA ADBA（ 2， 1）， 45°OC 2， AC 1，AOABAD OC2， BD AC 1D 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2，3）B 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1，3）此時(shí)正比例函數(shù)表達(dá)式為： y3x第二種情況，圖象經(jīng)過第二、四象限故 AP=cm 或 20cm 時(shí)， APQ與 CQB能相似5.答案： 解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ，則 DQ=t， AQ=6-t， AP=2t，BP=12-2t（ 1）若 QAP 為等腰直角三角形， 則 AQ=AP，即：6-t=2t ，t=2（符合題意） t=2 時(shí)， QAP

17、為等腰直角三角形（2） B= QAP=90° 當(dāng) QAP ABC 時(shí)，即：，解得：（符合題意）；過點(diǎn) A 作 ABOA，交待求直線于點(diǎn) B，過點(diǎn) A 作平行于 x 軸的直線交 y 軸于點(diǎn) C，過點(diǎn) B 作 BD AC則由上可知： 90°由雙垂直模型知： OCA ADB 當(dāng) PAQ ABC時(shí)，即：，A（ 2， 1）， 45°OC 1， AC 2，AOABAD OC1， BD AC2 D 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 3，1） B 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 3， 1）此時(shí)正比例函數(shù)表達(dá)式為：yx情形三：7.答案： 解：情形一：8.答案： 證明：方法一：連接 PC，過點(diǎn) P 作 PD AC 于 D，則

18、 PD/BC根據(jù)折疊可知MN CP 2+ PCN=90°， PCN+CNM=90° 2= CNM CDP= NCM=90°情形二： PDC MCNMC： CN=PD： DCPD=DAMC： CN=DA： DCPD/BCDA： DC=PA： PBMC： CN=PA： PB方法二：如圖，過 M 作 MDAB于 D，過 N作 NEAB于 E由雙垂直模型，可以推知PMDNPE，則，根據(jù)等比性質(zhì)可知，而MD=DA ，NE=EB， PM=CM， PN=CN， MC：CN=PA： PB9.答案： A解題思路： 如圖過點(diǎn) D 作 AB 的平行線交BC 的延長線于點(diǎn)M ，交 x 軸

19、于點(diǎn) N，則 M= DNA=90°，由于折疊，可以得到 ABC ADC，又由 B（1， 3）BC=DC=1， AB=AD=MN=3， CDA= B=90° 1+2=90° DNA=90° 3+2=90° 1=3 DMC AND，設(shè) CM=x，則 DN=3x， AN=1 x， DM 3x 3 x，則。答案為A10.答案： 解：過點(diǎn) C 作 x 軸的平行線交 y 軸于 G，過點(diǎn) D 作 y 軸的平行線交 x 軸于 F，交 GC 的延長線于 E。直線 y= 2x 2 與坐標(biāo)軸交于A、B 兩點(diǎn)A（ 1,0）， B（ 0,2） OA=1，OB=2， AB

20、=AB： BC=1:2 BC=AD= ABO+ CBG=90°， ABO+ BAO=90° CBG= BAO又 CGB=BOA=90° OAB GBC GB=2，GC=4GO=4C（4,4）同理可得 ADF BAO，得 DF=2 ， AF=4 OF=5D（ 5,2）11.答案： 證明：（方法一）如圖延長 AE 到 M 使得 EM=AE，連接 CM BE=CE， AEB= MEC BEA CEMCM=AB， 1= BAB CM M= MAD ， MCF= ADF MCF ADF CM=AB， AD=AC（方法二）過 D作 DGBC交 AE于 G則 ABE ADG，

21、CEF DGF，AD=AC， BE=CE12.答案： 證明：過點(diǎn) D 作 DF AB 交 AC 的延長線于點(diǎn)F，則 2= 3 AC 平分 DAB 1= 2 1= 3 AD=DF DEF=BEA， 2= 3 BEA DEF AD=DF AC 為 AB、 AD 的比例中項(xiàng)即又 1= 2 ACD ABC13.答案： 解：證明：過點(diǎn) E 作 PQ BC分別交 BA 延長線和DC 于點(diǎn) P 和點(diǎn) QAB CD， PQ BC四邊形PQCB和四邊形EQCF是平行四邊形PB EF CQ，又 AB b， CD aAPPB-ABEF-b， DQ DC-QC a-EF14.答案： 解：連接 MFM 是 AC 的中點(diǎn)

22、， EF FCMF AE且 MFAE BEN BFM BN：BM BE：BF NE：MF BEEF BN：BMNE：MF 1:2 BN： NM 1:1設(shè) NE x，則 MF 2x，AE4x AN3x MF AE NAQ MFQ NQ： QM AN：MF 3:2 BN：NM 1:1，NQ：QM 3:2 BN：NQ：QM 5:3:215.答案： 證明：（ 1）如圖 1， AD、BE 為 ABC的中線，且 AD、BE 交于點(diǎn) O 過點(diǎn) C 作 CF BE，交 AD 的延長線于點(diǎn) F CF BE且 E為 AC中點(diǎn) AEO ACF， OBD FCD， AC2AE EAO CAF AEO ACF D 為

23、BC的中點(diǎn)， ODB FDC BOD CFDBO CF同理，可證另外兩條中線三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線長的 E=CADAC CECEAB BAD CED16.答案： 證明：如圖，作DP AB， DQ AC則四邊形MDPB 和四邊形NDQC 均為平行四邊形且DPQ 是等邊三角形BP+CQ MN， DP DQ PQ M 、 N 分別是邊 AB， AC的中點(diǎn)MN BCPQDP AB，DQAC CDP CFB， BDQ BEC，DP DQ PQBCABAB（）（ 2）如圖 2， AD 為 ABC 的角平分線過點(diǎn) C 作 AB 的平行線 CE交 AD 的延長線于 E 則 BAD= EAD

24、 為 ABC 的角平分線 BAD= CAD17.答案： 證明： EF/AB，AB/DC EF/DC AOE ACD， DOE DBA，18.答案： 證明： EF CD， EH AB， AFE ADC， CEH CAB， EF EH19.答案： 證明： EF AC， DE BC， BFE BCA， AED ABC， EF DE a20.答案：（ 1）證明：在平行四邊形 ABCD中， AD BC， DRP= S， RDB= DBS DRP BSP同理由 AB CD 可證 PTD PQB（ 2）證明：成立，理由如下：在平行四邊形 ABCD中， AD BC， PRD= S， RDP= DBS DRP

25、BSP同理由 AB CD 可證 PTD PQB21.答案： 證明 :AB AC， AD 是中線，AD BC,BP=CP 1= 2又 ABC= ACB 3= 4 CF AB 3= F, 4= F又 EPC= CPF EPC CPF2即證所求 BPPE·PF22.答案： 證明： DE AB 90° 90° ADE DBE DE2= BF AC 90° 90°且 BEG HEADE2=EG•EH23.答案： 證明：四邊形ABCD為平行四邊形AB CD， ADBC 1= 2， G= H， 5=6 PAH PCG又 3= 4 APE C

26、PF24.答案： 證明：如圖，連接BH 交 AC 于點(diǎn) E，H 為垂心BE AC EBC+BCA=90°AD BC于 D DAC+ BCA=90° EBC=DAC又 BDH= ADC=90° BDH ADC，即BPC為直角，AD BC PD2BD·DC PD2AD·DH25.答案： 證明： CD 是 Rt ABC 斜邊 AB 上的高， E為 BC 的中點(diǎn) CE=EB=DE B=BDE= FDA B+CAB=90°， ACD+ CAB=90° B=ACD FDA= ACD F= F FDA FCD ADC= CDB=90°， B= ACD ACD CBD即26.答案： 證明：（ 1） ACB ADC 90° A ACD 90°BCM ACD 90° A BCM同理可得： MDH MBD CMB CDB MBD 90° MBD ADE ADC MDH 90° MDH ADE CMB AED CBM（2）由上問可知：，即故只需證明即可 A A， ACD ABC ACD ABC，即27.答案：（ 1）將結(jié)論寫成比例的形式，可以考慮證明 FDB FCD（已經(jīng)有一個(gè)公共角F）RtACD 中， E 是 AC 的中點(diǎn) DE