1、.【一】知識梳理【 1】比例 定義：四個(gè)量 a,b,c,d中，其中兩個(gè)量的比等于另兩個(gè)量的比，那么這四個(gè)量成比例ac 形式： a:b=c:d ，bd 性質(zhì)：基本性質(zhì)： acac=bdbd1、可以把比例式與等積式互化。2、可以驗(yàn)證四個(gè)量是否成比例4，比例中項(xiàng)： acc2abc b注：比例式有順序性的，比例線段沒有負(fù)的，比例數(shù)有正有負(fù)【 2】黃金分割定義：如圖點(diǎn) C 是 AB 上一點(diǎn)，若 AC2 AB BC ，則點(diǎn) C 是 AB 的黃金分割點(diǎn)，一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)AC51 AB0.618AB2BC35 AB0.382 AB2BC510.618AC2AC注意：如圖 ABC， A=36°

2、;， AB=AC，這是一個(gè)黃金三角形，51BCAB0.618AB2【 3】平行線推比例上比全 =上比全，下比全 =下比全，上比下 =上比下，左比右 =左比右全比上 =全比上，全比下 =全比下 下比上 =下比上;.【 4】相似三角形1、相似三角形的判定 AA相似： A=D, B= E ABC DEFSASABBC, BEDEEF ABC DEFS S SABAC BCDEDF EF ABC DEF平行相似： DEBC ADE ABC2、相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例 相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)周長的比都等于相似比相似三角形的面積比等于相似

3、比的平方3、相似三角形的常見圖形A型圖 X 型圖K型圖2母子圖 一般母子圖 AC=AD?AB 母子圖中的射影定理;.AC2=AD?ABBC2=BD?ABCD2=AD?BD【二】題型1、求線段的比求 a 比 b 的方法： 求 a,b 的長度， 設(shè) k 法， 利用三角形相似的性質(zhì)，平行推比例線段 比例分配【例題 1】如圖，直線 l 1 l 2 l 3， 直線 AC分別交 l 1 ， l 2， l 3 于點(diǎn) A，B，C；直線 DF分別交 l 1， l 2， l 3 于點(diǎn) D，E，F(xiàn)AC與 DF相較于點(diǎn) H，且AH=2，HB=1，BC=5則 DE的值為EF【例題 2】如圖，已知在 ABC中，點(diǎn) D、

4、E、 F 分別是邊 AB、AC、 BC上的點(diǎn)，DEBC， EFAB，且 ADDB = 3 5，那么 CFCB等于（ 1）（2）【例題 3】如圖，點(diǎn) D 是 ABC的邊 AB 上一點(diǎn)，且 AB=3AD，點(diǎn) P 是 ABC的外接圓上的一點(diǎn)，且 ADP= ACB則 PB:PD=【例題 4】如圖，已知 AD為 ABC的角平分線， DE AB交 AC于 E，如果 AE 2，那么 AB （）EC3ACA 1B 2C 2D 33355（3）（4）【例題 5】 已知 ac2 ，則 2a3b =bd33a4b;.ab2 ，則 a =a3b【例題 6】如圖，將矩形紙片ABCD(AD>DC)的一角沿著過點(diǎn)D

5、的直線折疊，使點(diǎn) A 與 BC邊上的點(diǎn) E 重合，折痕交 AB于點(diǎn) F. 若 BE:EC=m:n，則AF:FB=.【例題 7】如圖所示 , 將矩形 ABCD折疊 , 使點(diǎn) B 落在邊 AD上 , 點(diǎn) B 與點(diǎn) F 重合 ,折痕為 AE,此時(shí) , 矩形 EDCF與矩形 ABCD相似 , 則 AD =.AB【例題 8】如圖， RtABC內(nèi)接于 O ，,A=90 °，AB=4 ，AC=3 ， D 為弧 AB 的中點(diǎn)，則 CE =DE（ 6）（7）（8）【例題 9】在 Rt ABC中， ACB=90°， CD為 AB的中線， AN CD，交 BC于 N,若 CD=3， AN=4，則

6、 tan CAN=2、相似三角形的性質(zhì)與判定【例題 1】如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與 ABC相似的是（）【例題 2】如圖，已知 ABC， P 是邊 AB上的一點(diǎn)，連結(jié)CP，以下條件中不能確定 ACP與 ABC相似的是（）;.A ACP=B， B APC= ACBC AC2=AP.ABDACABCPBC/【例題3】已知四邊形ABCD與四邊形A B C D，且 AB:BC:CD:DA=20：15： 9：【例題 4】 如圖，矩形 ABCD中，由 8 個(gè)面積均為 1 的小正方形組成的 L 型模板如圖放置，則矩形 ABCD的周長為【例題 5】如圖， P為 ABCD 的邊

7、AD 上一點(diǎn)， E,F 分別為 PB,PC 的中點(diǎn)，PEF 的面積為 3 ，則平行四邊形的面積是已知兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)高的比為 3:10 ，面積差為 100，則大三角形的面積為【例題 6】如圖，將邊長為 6 的正方形 ABCD折疊，使點(diǎn) D 落在 AB 的中點(diǎn) E 處，折痕為 FH，點(diǎn) C 落在點(diǎn) Q出， EQ與 BC相較于點(diǎn) G，則 EBG的周長為（4）（5）（6）【例題 7】如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔AB，B 是 CD的中點(diǎn)， CD是水平的，在陽光的照射下，塔影DE 留在坡面上已知鐵塔底座寬CD=12 m，塔影長DE=18 m，小明和小華的身高都是1.6m，同一時(shí)刻，小明站在點(diǎn)E 處，影

8、子在坡面上小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為2m 和 1m，那么塔高 AB為多少 ?點(diǎn)撥：同一時(shí)刻、同一地點(diǎn)，物高與影長的比是定值【例題 8】如圖， AB=4，射線 BM和 AB互相垂直，點(diǎn) D 是 AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) E 在射線 BM上， BE= DB，作 EFDE 并截取 EF=DE，連結(jié) AF 并延長交射線 BM 于點(diǎn) C設(shè) BE=x，BC=y，則 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式是;.3、相似三角形討論方法 1、固定一個(gè)角，按AA 討論， 2、按夾相等角得兩邊的比值相等討論【例題 1】直線 y=-x+1 分別交 x 軸、 y 軸于 A、 B 兩點(diǎn)， AOB繞點(diǎn) O按逆時(shí)針方向

9、旋轉(zhuǎn) 90°后得到 COD，拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過 A、C、D三點(diǎn)（ 1）寫出點(diǎn) A、B、C、 D的坐標(biāo)；（ 2）求經(jīng)過 A、C、D三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點(diǎn) G 的坐標(biāo)；（ 3）在直線 BG 上是否存在點(diǎn) Q，使得以點(diǎn) A、 B、 Q 為頂點(diǎn)的三角形與 COD 相似？若存在，請求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【例題 2】已知二次函數(shù) y=ax2+bx 的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（-5 ，0）和點(diǎn) B, 其中點(diǎn) B 在第一象限，且 OA=OB，tan BAO=12（ 1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)。（ 2）求二次函數(shù)的解析式。（ 3）過點(diǎn) B 作直線 BC 平行于 x 軸，直線

10、 BC 與二次函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為C，連結(jié) AC，如果點(diǎn) P 在 x 軸上，且 ABC和 PAB相似，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)。;.【例題3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長是，點(diǎn) A，C 分4別在 y 軸、 x 軸的正半軸上，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開始，以每秒 2 個(gè)單位長度的速度在線段 AB上來回運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 開始沿 BCO 的方向，以每秒 1 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) O運(yùn)動(dòng) P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q到達(dá)點(diǎn) O時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒（ I ）當(dāng) t 1 時(shí)，求 PQ所在直線的解析式 .（ 2）當(dāng)點(diǎn) Q在 BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以 P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與 O

11、AP相似，求 t 的值 .（ 3）在 P， Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，若 OPQ的面積為6，請直接寫出所有符合條件的 P 點(diǎn)坐標(biāo)yPABQOCx【例題 4】如圖，拋物線 y=ax2+bx+c 的開口向上，頂點(diǎn) M在第三象限，拋物線與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸負(fù)半軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) A 坐標(biāo)為（ 3，0），點(diǎn) B 坐標(biāo)為（ 1， 0）（1）試用含 a 的式子表示 b，c；（2）連接 AM、 CM、CB，試說明 OCB與四邊形 AMCO的面積之比是一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值；（3）連接 AC，若 ACM=90°，解決下列問題：求拋物線解析式并證明MAO=ACB；線段 AM上是否存在點(diǎn)D

12、，使以點(diǎn) A、 O、 D 為頂點(diǎn)的三角形與 ACB相似？若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，說明理由y2y=ax +bx+c;.OBxA.【例題 5】已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以 P（1， 1）為圓心的 P 與 x 軸， y 軸分別相切于點(diǎn) M和點(diǎn) N，點(diǎn) F 從點(diǎn) M出發(fā)，沿 x 軸正方向以每秒 1 個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，連接 PF，過點(diǎn) PEPF 交 y 軸于點(diǎn) E，設(shè)點(diǎn) F 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是 t 秒（ t 0）（ 1）若點(diǎn) E 在 y 軸的負(fù)半軸上（如圖所示），求證：PE=PF；（ 2）在點(diǎn) F 運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè) OE=a， OF=b，試用含 a 的代數(shù)式表示 b；（ 3）

13、作點(diǎn) F 關(guān)于點(diǎn) M的對稱點(diǎn) F，經(jīng)過 M、 E 和 F三點(diǎn)的拋物線的對稱軸交 x 軸于點(diǎn) Q，連接 QE在點(diǎn) F 運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以點(diǎn)Q、O、E 為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn) P、 M、 F 為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請直接寫出 t 的值；若不存在，請說明理由【例題6】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax 2bx 3 與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別ABC作CHxH為 （-3， 0）、 （1， 0），過頂點(diǎn)軸于點(diǎn) .（ ）直接填寫： a，b，頂點(diǎn) C的坐標(biāo)為；1（ 2）在 y 軸上是否存在點(diǎn) D，使得 ACD是以 AC 為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn) D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（ 3

14、）若點(diǎn) P 為 x 軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P 與頂點(diǎn) C 不重合）， PQAC于點(diǎn) Q，當(dāng) PCQ與 ACH相似時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo) .yyCCAH;.OB xAHOB x（備用圖）.】如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx3與 x 軸、 y 軸分別交【例題 7于 A， B 兩點(diǎn)，直線 ykx 8 與直線 AB 相交于點(diǎn) D，與 x 軸相交于點(diǎn) C，過 DDEx軸于點(diǎn)EP t， 0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)若點(diǎn)T為直線作 （1，0），點(diǎn) （DE 上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以 O,B, T 為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè),B, P 為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，則相應(yīng)的點(diǎn)P（t）的坐標(biāo)為.<0【例題 8】如圖，二次函數(shù) yx 2

15、5 x4 與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交3于點(diǎn) C，點(diǎn) P 從點(diǎn) O出發(fā)沿 OA以每秒 1 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A 后立刻在以原來的速度沿 AO返回；點(diǎn) Q從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC以每秒 1 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) Q作 QDx 軸，垂足為 D。點(diǎn) P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q到達(dá)點(diǎn) C 時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P 也隨之停止 . 設(shè)點(diǎn) P， Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t(t0) .(1)當(dāng)點(diǎn) P 從點(diǎn) O向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)的過程中，求 QPA 面積 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式 ;(2)當(dāng)線段 PQ與拋物線的對稱軸沒有公共點(diǎn)時(shí)，請直接寫出t的取值范圍 ;(3 ）當(dāng) t 為何值時(shí)

16、，以 P、 D、 Q為頂點(diǎn)的三角形與 OBC 相似 ;(4) 如圖 2： FE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ于點(diǎn) F，交折線 QC COOP于點(diǎn)E，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，請你直接寫出點(diǎn) E 所經(jīng)過的路徑長;.4、求線段長的方法1、勾股定理 2、相似 3、直角三角形邊角關(guān)系 4、方程注意：方程可以根據(jù)勾股定理、相似、邊角關(guān)系得到【例題 1】如圖，在 ABC中， AB=AC， BC=8， tanC= 3 如果將 ABC沿直線 l 翻2折后，點(diǎn) B 落在邊 AC的中點(diǎn)處，直線l 與邊 BC交于點(diǎn) D，那么 BD的長為【例題 2】已知 AB 是半圓 O 的直徑， D 為 AC 的中點(diǎn)， sin BAC=

17、3 ，AB=10，5EA與 O 相切于 A ， E、 D 、B 在一條直線上，求AE 的長【例題 3】已知矩形 ABCD， AD=3， AB=2， E 為 AB 的中點(diǎn)， F 在 BC 邊上，且BF=2CF,AF分別與 DE,DB相較于 G,H，求 GH;.【例題 4】如圖所示，在 ABC中， BC=6，E、F 分別是 AB、 AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 在射線 EF 上， BP 交 CE 于 D， CBP的平分線交 CE 于 Q，當(dāng) CQ=1 CE時(shí)，則3EP+BP=【例題5】如圖示我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解周脾算經(jīng)時(shí)給出的“趙爽弦圖 ”，圖中的四個(gè)直角三角形是全等的，如果大正方形 ABCD的面積是

18、小正方形EFGH面積的 13 倍，那么 tanADE的值為【例題 5】如圖以 ABC的邊 BC上一點(diǎn) O 為圓心的圓經(jīng)過A,C 兩點(diǎn)且與 BC邊交于點(diǎn)E，點(diǎn) D 為 CE 的下半圓的中點(diǎn)，連接AD，交線段EO 與點(diǎn)F，AC=CF=4，DF= 10（ 1）求證： AC是 O 的切線：（ 2）求 O 的半徑 r和 sinC【例題 6】如圖：正方形 ABCD中，過點(diǎn) D 作 DP交 AC于點(diǎn) M、交 AB于點(diǎn) N，交CB的延長線于點(diǎn) P，若 MN=1， PN=3，則 DM的長為 _ ;.【例題 7】如圖 D 是 ABC的邊 AC上一點(diǎn)， BD=8，sin CBD=3 ，過點(diǎn) A 作 AE4 BC于

19、E,CD=2AD,求 AE的長求坐標(biāo)的方法1、求點(diǎn)到 x 軸或 y 軸的距離 2、兩個(gè)函數(shù)組成方程組 3、設(shè)出橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)然后代入解析式 4 方程【例題 1】已知拋物線 y1 x25 x 1 與直線 y1 x 1交于 A,B，在 x 軸上222試找一點(diǎn) P，使 APB=45°，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為2【例題 2】已知拋物線 y= mx+4x+2m與 x 軸交于點(diǎn) A( ,0),B( ,0),且 .拋物線的對稱軸為l，與 y 軸的交點(diǎn)為 C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn) C 關(guān)于 l 的對稱點(diǎn)為 E. 若點(diǎn) P 在拋物線上，點(diǎn) Q在 x 軸上，當(dāng)以點(diǎn) D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo) .方法：方程【例題3】如圖