1、1：相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型（一） A 字型、反 A 字型（斜 A 字型）AADDEEBCBC（平行）（不平行）（二） 8 字型、反 8 字型AABBOJCDCD（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型AADDBCC（四）一線三等角型：三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形 為背景，一個與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：（五）一線三直角型：三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個頂點(diǎn)在該直線上移動或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種

2、常見的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。（六）雙垂型：ADC二：相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由A 字型旋轉(zhuǎn)得到8 字型拓展ADEBCAEFGBC共享性一線三等角的變形一線三直角的變形2：相似三角形典型例題（ 1）母子型相似三角形例 1：如圖，梯形ABCD 中， AD BC，對角線 AC、 BD 交于點(diǎn) O， BE CD 交 CA 延長線于E求證： OC2OA OE 例 2：已知：如圖，ABC 中，點(diǎn) E 在中線 AD 上 ,DEBABC 求證：（ 1） DB 2DEDA

3、； （ 2）DCEDAC BDEAC例 3：已知：如圖，等腰ABC 中， AB AC，AD BC 于 D， CG AB， BG 分別交 AD 、 AC 于 E、 F求證： BE2EFEG 1、如圖，已知AD 為ABC 的角平分線， EF 為 AD 的垂直平分線求證：FD 2FBFC 2、已知：AD是 RtABC中 A的平分線，C=90°，EF 是AD的垂直平分線交AD于 M ，EF、BC的延長線交于一點(diǎn)N。求證：(1) AME NMD;(2)ND2=NC·NB3、已知：如圖，在 ABC 中， ACB=90°， CD AB 于 D， E 是 AC 上一點(diǎn)， CF B

4、E 于 F。求證： EB·DF=AE· DB4.在ABC 中， AB=AC ，高 AD 與 BE交于 H， EFBC ，垂足為 F，延長 AD 到 G，使 DG=EF ，M 是 AH 的中點(diǎn)。求證：GBM90AMEHBDCFG5 已知：如圖，在RtABC 中， C=90 °， BC=2 ，AC=4， P 是斜邊 AB 上的一個動點(diǎn)， PD AB，交邊 AC于點(diǎn) D（點(diǎn) D 與點(diǎn) A、C 都不重合），E 是射線 DC 上一點(diǎn)， 且 EPD = A設(shè) A、P 兩點(diǎn)的距離為x，BEP的面積為 y（ 1）求證： AE=2 PE；（ 2）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫

5、出它的定義域；（ 3）當(dāng) BEP 與 ABC 相似時，求 BEP 的面積BPADEC（ 2）雙垂型1、如圖，在 ABC 中， A=60°， BD 、 CE 分別是 AC 、 AB 上的高求證：（ 1）ABD ACE ；（ 2）ADE ABC ； (3)BC=2EDAEDBC2、如圖，已知銳角ABC ， AD 、 CE 分別是 BC、 AB 邊上的高， ABC 和 BDE 的面積分別是27和 3，DE=62 ，求：點(diǎn) B 到直線 AC 的距離。AEBDC（ 3）共享型相似三角形1、 ABC 是等邊三角形，DBCE 在一條直線上, DAE=120 ° ,已知 BD=1 ， CE

6、=3 ，求等邊三角形的邊長.ADBCE2、已知：如圖，在RtABC 中， AB=AC， DAE=45 °求證：（ 1） ABE ACD ；（2） BC 22BE CD ACBDE(4) 一線三等角型相似三角形A例 1：如圖，等邊 ABC 中，邊長為 6， D 是 BC 上動點(diǎn)， EDF =60° （ 1）求證： BDE CFD（ 2）當(dāng) BD =1， FC=3 時，求 BEEF例 2：（ 1）在ABC 中， ABAC 5， BC8，點(diǎn) P、Q分別在射線 CB、 AC上（點(diǎn) P不與點(diǎn) C、點(diǎn) B 重合），且保持 APQABC .BDC若點(diǎn) P 在線段 CB 上（如圖），且 B

7、P6 ，求線段 CQ 的長；若 BPx ， CQy ，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；AAQBCBC P（ 2）正方形ABCD 的邊長為 5 （如下圖），點(diǎn) P 、 Q 分別在直線 CB 、 DC 上（點(diǎn) P 不與點(diǎn) C 、點(diǎn) B 重合），且保持APQ90 .當(dāng) CQ1 時，求出線段BP 的長 .ADADBCBC例 3：已知在梯形 ABCD 中， AD BC， ADBC ，且 AD 5，ABDC 2（ 1）如圖 8， P 為 AD 上的一點(diǎn)，滿足 BPC A求證； ABP DPC求 AP 的長（ 2）如果點(diǎn) P 在 AD 邊上移動（點(diǎn) P 與點(diǎn) A、D 不重合），且滿足

8、BPE A， PE 交直線 BC 于點(diǎn) E，同時交直線 DC 于點(diǎn) Q，那么當(dāng)點(diǎn) Q 在 DC 的延長線上時，設(shè) AP x，CQ y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng) CE 1 時，寫出AP 的長APDADBCBC例 4：如圖，在梯形ABCD 中， AD BC ， ABCD BC 6， AD3 點(diǎn) M 為邊 BC 的中點(diǎn)，以M 為頂點(diǎn)作EMFB，射線 ME交腰 AB于點(diǎn) E，射線 MF 交腰 CD 于點(diǎn) F ，聯(lián)結(jié) EF （ 1）求證： MEF BEM ；（ 2）若 BEM 是以 BM 為腰的等腰三角形，求EF 的長；（ 3）若 EFCD ，求 BE 的長1、如圖，在AB

9、CAC 8， BC10 ，D是BC邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上，且中，ABADEC (1) 求證： ABD DCE ；(2) 如果 BDx ， AEy ，求 y 與 x 的函數(shù)解析式，并寫出自變量x 的定義域；(3) 當(dāng)點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn)時，試說明 ADE 是什么三角形，并說明理由AEBDC2、如圖，已知在 ABC 中， AB=AC=6， BC=5，D 是 AB 上一點(diǎn)， BD =2， E 是 BC 上一動點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，并作 DEFB ，射線 EF 交線段 AC 于 F（ 1）求證： DBE ECF；（ 2）當(dāng) F 是線段 AC 中點(diǎn)時，求線段 BE 的長；（ 3）聯(lián)結(jié) DF ，如果

10、DEF 與DBE 相似，求 FC 的長AFDBEC3、已知在梯形ABCD中， AD BC， AD BC，且BC =6， AB=DC =4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)（ 1）如圖，（ 2）如果點(diǎn)P 為 P 在BC 上的一點(diǎn)，且BC 邊上移動（點(diǎn)BP=2 求證： BEP CPD ； P 與點(diǎn) B、 C 不重合），且滿足EPF= C，PF交直線CD于點(diǎn)F ，同時交直線 AD 于點(diǎn) M，那么當(dāng)點(diǎn) F 在線段 CD 的延長線上時，設(shè)BP= x ， DF = y ，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng) SDMF9 S BEP 時，求 BP 的長4ADEBPC4、如圖，已知邊長為 3 的等邊ABC

11、，點(diǎn) F 在邊 BC 上， CF1 ，點(diǎn) E 是射線 BA 上一動點(diǎn)， 以線段 EF為邊向右側(cè)作等邊EFG ，直線 EG, FG 交直線 AC 于點(diǎn) M , N ，（ 1）寫出圖中與 BEF 相似的三角形；（ 2）證明其中一對三角形相似；（ 3）設(shè) BEx, MNy ，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x 的取值范圍；（ 4）若 AE1 ，試求GMN 的面積(5) 一線三直角型相似三角形例 1、已知矩形 ABCD 中，CD=2 ，AD=3 ，點(diǎn) P 是 AD 上的一個動點(diǎn)， 且和點(diǎn) A,D 不重合，過點(diǎn) P 作 PECP ，交邊 AB 于點(diǎn) E,設(shè) PDx, AEy ，求 y 關(guān)于

12、 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x 的取值范圍。APDEBC例 2、在 ABC 中， C90o , AC 4, BC3, O 是 AB 上的一點(diǎn)，且CAO2 ，點(diǎn) P 是 AC 上的一個動點(diǎn)， PQOP 交線段 BC 于點(diǎn) Q，（不AB5QP與點(diǎn) B,C 重合），設(shè) APx, CQ y ，試求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系，并寫出BAO定義域。在直角ABC 中，oC 90 , AB 5, tan B1.交射線 AC 于點(diǎn) F（ 1）、求 AC 和 BC 的長（ 2）、當(dāng) EF / BC 時，求 BE 的長。（ 3）、連結(jié) EF,當(dāng)DEF 和ABC 相似時，求AE3 ，點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 是

13、 AB 邊上的動點(diǎn)， DFDE4BE 的長。AEFBCDFCDB2.在直角三角形ABC中， C 90o , ABBC, D 是 AB 邊上的一點(diǎn)， E 是在 AC 邊上的一個動點(diǎn)， （與A,C 不重合）， DFDE, DF 與射線 BC 相交于點(diǎn) F.(1)、當(dāng)點(diǎn) D 是邊 AB的中點(diǎn)時，求證： DEDF(2)、當(dāng) ADm ，求DE 的值DBDF（ 3）、當(dāng) ACBC6, AD1，設(shè) AEx, BF y ,求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域DB2CCFFEEABABDD3.如圖， 在ABC 中， C 90 ， AC 6 ， tan B3， D 是 BC 邊的中點(diǎn)， E 為 AB 邊上的一個動點(diǎn)，4作 DEF90 ，EF交射線 BC于點(diǎn) F 設(shè) BEx ， BED 的面積為 y （ 1）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x 的取值范圍；（ 2）如果以 B 、 E 、 F 為頂點(diǎn)的三角形與B