1、公公 理理 與與 定定 理理本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.3 在本章在本章2.2節(jié)的例題、練習(xí)和習(xí)題節(jié)的例題、練習(xí)和習(xí)題2.2的的A組題中，組題中，判斷下列命題為真命題是根據(jù)什么呢？判斷下列命題為真命題是根據(jù)什么呢？ 說一說說一說 是分別根據(jù)實(shí)數(shù)、整是分別根據(jù)實(shí)數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、正方形的定數(shù)、有理數(shù)、正方形的定義作出的判斷義作出的判斷 （1）如果）如果a是有理數(shù)，那么是有理數(shù)，那么a是實(shí)數(shù)；是實(shí)數(shù)；（2）如果）如果m是自然數(shù)，那么是自然數(shù)，那么m是整數(shù)；是整數(shù)；（3）如果）如果a是整數(shù)，那么是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；是有理數(shù)；（4）如果四邊形）如果四邊形ABCD是正方形，那么它是矩形是正方形，那么它是矩形

2、結(jié)論結(jié)論 從上面的例子看到，在判斷一個(gè)命題是否為真命題從上面的例子看到，在判斷一個(gè)命題是否為真命題時(shí)常常要利用一些概念的定義，但是光用定義只能判斷時(shí)常常要利用一些概念的定義，但是光用定義只能判斷一些很簡(jiǎn)單的命題是否為真一些很簡(jiǎn)單的命題是否為真. 對(duì)于絕大多數(shù)命題的真假的判斷，光用定義是遠(yuǎn)遠(yuǎn)對(duì)于絕大多數(shù)命題的真假的判斷，光用定義是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，那么除了根據(jù)定義外，還能根據(jù)什么來推理，不夠的，那么除了根據(jù)定義外，還能根據(jù)什么來推理，去判斷命題的真假呢？去判斷命題的真假呢？（1）如果）如果a是有理數(shù)，那么是有理數(shù)，那么a是實(shí)數(shù)；是實(shí)數(shù)；（2）如果）如果m是自然數(shù)，那么是自然數(shù)，那么m是整數(shù)；是整數(shù)；（

3、3）如果）如果a是整數(shù)，那么是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；是有理數(shù)；（4）如果四邊形）如果四邊形ABCD是正方形，那么它是矩形是正方形，那么它是矩形 古希臘數(shù)學(xué)家古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得歐幾里得( (Euclid，約公元前約公元前330前前275) )對(duì)他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)知識(shí)作了系統(tǒng)化的總結(jié)，他挑對(duì)他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)知識(shí)作了系統(tǒng)化的總結(jié)，他挑選出一些人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來的公認(rèn)的真命題，選出一些人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來的公認(rèn)的真命題，作為證明的原始依據(jù)，稱這些真命題為作為證明的原始依據(jù)，稱這些真命題為公理公理. 小知識(shí)歐幾里得歐幾里得小知識(shí) 歐幾里得歐幾里得以以基本定義和公理作為推理的出發(fā)點(diǎn)，基本定義和公

4、理作為推理的出發(fā)點(diǎn)，去判斷其他命題的真假，已經(jīng)判斷為真的命題稱為定去判斷其他命題的真假，已經(jīng)判斷為真的命題稱為定理，它也可以作為判斷其他命題的真假的依據(jù)理，它也可以作為判斷其他命題的真假的依據(jù).小知識(shí) 歐幾里得按照這種方法歐幾里得按照這種方法( (現(xiàn)在稱為公理化方法現(xiàn)在稱為公理化方法) )編寫編寫了一本書，書名叫了一本書，書名叫原本原本.全書共分全書共分13卷，包括有卷，包括有5條條公理，公理，5條公設(shè)，條公設(shè)，119個(gè)定義和個(gè)定義和465條命題，構(gòu)成了歷史條命題，構(gòu)成了歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系（注：歐幾里得把公設(shè)和公理加以區(qū)分，即公理是適用于（注：歐幾里得把公設(shè)和公理加以

5、區(qū)分，即公理是適用于一切科學(xué)的真理，而公設(shè)只適用于幾何一切科學(xué)的真理，而公設(shè)只適用于幾何. .近代數(shù)學(xué)對(duì)此不近代數(shù)學(xué)對(duì)此不再區(qū)分，都稱為公理再區(qū)分，都稱為公理. .) )原本原本. . 把哪些真命題作為公理應(yīng)當(dāng)遵循下列原則：直觀，把哪些真命題作為公理應(yīng)當(dāng)遵循下列原則：直觀，易于被大家所公認(rèn)；夠用；盡可能少；相互之間不鬧矛易于被大家所公認(rèn)；夠用；盡可能少；相互之間不鬧矛盾等盾等 根據(jù)上述原則并且考慮到同學(xué)們的實(shí)際情況，我們根據(jù)上述原則并且考慮到同學(xué)們的實(shí)際情況，我們編寫的這套教材到目前為止選擇了下列真命題作為公理：編寫的這套教材到目前為止選擇了下列真命題作為公理： 1. 等量加等量，和相等等量加

6、等量，和相等 2. 等量減等量，差相等等量減等量，差相等a=b，a+c=b+ca=b，a- -c=b- -c 3. 等量代換等量代換( (即，如果即，如果a=b且且c=b，那么，那么a=c).). 4.整體大于部分整體大于部分 5.通過兩點(diǎn)有且只有一條直線通過兩點(diǎn)有且只有一條直線 6. 連接兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短連接兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短 7. 經(jīng)過一條直線外一點(diǎn)有且只有一條直線經(jīng)過一條直線外一點(diǎn)有且只有一條直線 與已知直線平行與已知直線平行 8. 平移不改變圖形的形狀和大小，平移不平移不改變圖形的形狀和大小，平移不 改變直線的方向改變直線的方向 9. 軸反射不改變圖形的形狀和大小軸反

7、射不改變圖形的形狀和大小. 10.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小 結(jié)論結(jié)論 在本套教材的七年級(jí)下冊(cè)，我們運(yùn)用公理和公在本套教材的七年級(jí)下冊(cè)，我們運(yùn)用公理和公理證明了平行線的性質(zhì)定理理證明了平行線的性質(zhì)定理： 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等. 12結(jié)論結(jié)論 利用這個(gè)定理和公理證明了平行線的判定定理利用這個(gè)定理和公理證明了平行線的判定定理： 兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，兩條直線平行兩條直線平行12結(jié)論結(jié)論 在八年級(jí)上冊(cè)，我們運(yùn)用公理在八年級(jí)上冊(cè)，我們運(yùn)用公理8 8、公理、公理9

8、9和公理和公理1010證明了三角形全等的三個(gè)判定定理：證明了三角形全等的三個(gè)判定定理：邊角邊定理邊角邊定理 有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等 的兩個(gè)三角形全等的兩個(gè)三角形全等 角邊角定理角邊角定理 有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等 的兩個(gè)三角形全等的兩個(gè)三角形全等 邊邊邊邊定理邊邊定理 有三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角有三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角 形全等形全等結(jié)論結(jié)論 在八年級(jí)上冊(cè)，我們利用圖形全等的定義得到全在八年級(jí)上冊(cè)，我們利用圖形全等的定義得到全等三角形的性質(zhì)：等三角形的性質(zhì)： 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等結(jié)論結(jié)論

9、在七年級(jí)下冊(cè)、八年級(jí)上冊(cè)、八年級(jí)下冊(cè)，我們利用在七年級(jí)下冊(cè)、八年級(jí)上冊(cè)、八年級(jí)下冊(cè)，我們利用上述定理和公理上述定理和公理9證明了：平行線的性質(zhì)定理證明了：平行線的性質(zhì)定理、，判，判定定理定定理、； 三角形的內(nèi)角和定理及外角定理；垂直平分線的性質(zhì)三角形的內(nèi)角和定理及外角定理；垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆命題；定理及其逆命題； 等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定定理；定理； 直角三角形全等的判定定理；直角三角形全等的判定定理；結(jié)論結(jié)論 角平分線的性質(zhì)定理及其逆命題，三角形的三條角平角平分線的性質(zhì)定理及其逆命題，三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)；分

10、線交于一點(diǎn)； 平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質(zhì)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質(zhì)和判定定理和判定定理 我們把這些定理我們把這些定理的證明線索用框圖列的證明線索用框圖列舉出來，作為附錄，舉出來，作為附錄，放在本冊(cè)書的最后，放在本冊(cè)書的最后，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)查供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)查閱閱平行線的性質(zhì)定理平行線的性質(zhì)定理 兩條直線被第三條直線所截，如果這兩條直線兩條直線被第三條直線所截，如果這兩條直線 平行，那么同位角相等平行，那么同位角相等動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋平行線的判定定理平行線的判定定理 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線

11、平行那么這兩條直線平行上述這兩個(gè)定理是不是上述這兩個(gè)定理是不是互逆互逆的的命題？命題？1212結(jié)論結(jié)論 如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么稱它是原來如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么稱它是原來定理的逆定理，這兩個(gè)定理稱為互逆的定理定理的逆定理，這兩個(gè)定理稱為互逆的定理. 例如，例如，平行線的判定定理平行線的判定定理是是平行線的性質(zhì)定理平行線的性質(zhì)定理的的逆定理逆定理做一做做一做（1）線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到這條線段兩端線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到這條線段兩端 點(diǎn)的距離相等；點(diǎn)的距離相等；下列定理有逆定理嗎？如果有，把它說出來下列定理有逆定理嗎？如果有，把它說出來答：如果一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相

12、等，答：如果一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等， 那么這點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；那么這點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；（2）等腰三角形的兩底角相等；）等腰三角形的兩底角相等；（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分）平行四邊形的對(duì)角線互相平分答：在三角形中，如果有兩個(gè)角相等，答：在三角形中，如果有兩個(gè)角相等， 那么這個(gè)三角形是等腰三角形；那么這個(gè)三角形是等腰三角形；答：如果四邊形的對(duì)角線互相平分，那么這答：如果四邊形的對(duì)角線互相平分，那么這 個(gè)四邊形是平行四邊行個(gè)四邊形是平行四邊行.練習(xí)練習(xí)1. 三角形全等的判定定理有哪些？三角形全等的判定定理有哪些？ 答：答：SAS，ASA，SSS.2.下列定理有逆定理嗎？如果有，把它寫出來下列定理有逆定理嗎？如果有，把它寫出來（1）兩條直線被第三條直線所截，如果這兩直線）兩條直線被第三條直線所截，如果這兩直線 平行，那么內(nèi)錯(cuò)角相等；平行，那么內(nèi)錯(cuò)角相等；答：兩直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，答：兩直線被第三條