1、第九章 模型參考自適應(yīng)控制 （Model Reference Adaptive Control ）簡(jiǎn)稱 MRAC介紹另一類比較成功的自適應(yīng)控制系統(tǒng)，已有較完整的設(shè)計(jì)理 論和豐富的應(yīng)用成果（駕駛儀、航天、電傳動(dòng)、核反應(yīng)堆等等） 。§ 9 - 1 MRAC的基本概念系統(tǒng)包含一個(gè)參考模型，模型動(dòng)態(tài)表征了對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的理 想要求， MRAC 力求使被控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與模型的響應(yīng)相一致。 與 STR 不同之處是 MRAC 沒有明顯的辨識(shí)部分 , 而是通過與參考模 型的比較 ,察覺被控對(duì)象特性的變化，具有跟蹤迅速的突出優(yōu)點(diǎn)。設(shè)參考模型的方程為?Xm AmXm Br式（911）ym CXm式（

2、91-2）被控系統(tǒng)的方程為?XS AS BSr式（9-1 3）yS CXS式（ 9-1 4）e = ym -ys兩者動(dòng)態(tài)響應(yīng)的比較結(jié)果稱為廣義誤差，定義輸出廣義誤差為 式（915）；狀態(tài)廣義誤差為=X m -X s式(9-1 6)。自適應(yīng)控制的目標(biāo)是使得某個(gè)與廣義誤差有關(guān)的自適應(yīng)控制性能指 標(biāo) J 達(dá)到最小。 J 可有不同的定義，例如單輸出系統(tǒng)的 t2Je2( )d0式 (91 7)或多輸出系統(tǒng)的tTJ 0 eT ( )e( )d式( 9-1 8)MRAC 的設(shè)計(jì)方法目的是得出自適應(yīng)控制率 ,即溝通廣義誤差與 被控系統(tǒng)可調(diào)參數(shù)間關(guān)系的算式。有兩類設(shè)計(jì)方法:一類是“局部參數(shù)最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法”，目標(biāo)

3、是使得性能指標(biāo) J 達(dá)到最優(yōu)化；另一類是 使得自適應(yīng)控制系統(tǒng)能夠確保穩(wěn)定工作 ,稱之為“穩(wěn)定性理論的設(shè)計(jì) 方法。§9 2 局部參數(shù)最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法一、利用梯度法的局部參數(shù)最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法-梯這里要用到非線性規(guī)劃最優(yōu)化算法中的一種最簡(jiǎn)單的方法度法(Gradient Method )。1. 梯度法考慮一元函數(shù)f(x),當(dāng)：f (x) / x = 0 ,且f2 (x) / x20時(shí)f(x)存在極小值。問題是怎樣調(diào)整x使得f (x)能達(dá)到極小值？x有兩個(gè)調(diào)整方向：當(dāng)f (x)/ x > 0時(shí)應(yīng)減小x ；當(dāng)f(x)/ x < 0時(shí)應(yīng)增加x 。兩者合并表示為：xf(x)X式(9-2-

4、1 )為步長(zhǎng)系數(shù)(> 0 )。把函數(shù)f (x)在x方向的偏導(dǎo)數(shù)稱為梯度。上式含義為:按照梯度的負(fù) 方向調(diào)整自變量x。該結(jié)論可推廣到多元函數(shù)求極值的情況.2 .具有一個(gè)時(shí)變參數(shù)一一可調(diào)增益的 MRAC設(shè)計(jì)f MIT方案)1958年由麻省理工學(xué)院提出。參考模型傳函為y m ( S )Kmq ( STr(s)p(s)式中：q (s)= bisn-1 + bn ;p(s) = s n +a1Sn-1 + an廣義誤差為e = ym -ysKc,目標(biāo)是設(shè)計(jì)出隨著e而調(diào)整Kc的規(guī)律，以使J達(dá)到最小。J對(duì)Kc的梯度為由梯度法有:Kct2eto將上式兩邊對(duì)KcKct0t求導(dǎo)數(shù),得到性能指標(biāo)為：式(9 1

5、-7).系統(tǒng)的可調(diào)增益為Kc 2式(92-2)e eKc廣義誤差對(duì)輸入信號(hào)的傳函為:W(S)e(s)r(s)ym(s) ys(s)r(s)(KmKcKs)q(s)P(s)自適應(yīng)回路開環(huán)情況下系統(tǒng)傳函為引入微分算子：D = d/dt、D2 = d2 / dt2，由上式得到微分方程P(D) e(t) =( Km - KcKs )q(D) r ( t)兩端對(duì)Kc求偏導(dǎo)數(shù)eP(D)Ksq(D)rK c式(9-2 3)得到由模型的微分方程:KcP(D)p ( D) ym (t)= Kmq(D)r (t)得到q(D)ymP(D)rKm代入式(923)，得出:eKcKsKmym代入式(9-2 2)，得出K

6、C Bey m式（9-2 4）其中：B = 2 Ks / Km ,當(dāng)Ks與Km同號(hào)時(shí)B為正值常系數(shù)，即自 適應(yīng)回路的積分時(shí)間常數(shù)。實(shí)現(xiàn)的方案如下圖，自適應(yīng)回路由乘法器 與積分器組成。該方案能夠使得 J為最小，但是不能確保自適應(yīng)回路 是穩(wěn)定的。需要通過調(diào)整 B的大小，使得系統(tǒng)穩(wěn)定且自適應(yīng)跟蹤速 度也比較快。q(s)P(s)環(huán)境p（®）MIT方案應(yīng)用舉例：二階電傳動(dòng)調(diào)速系統(tǒng)的模型參考自適應(yīng)控制馬潤(rùn)津等 可控硅電傳動(dòng)模型參考自適應(yīng)控制“自動(dòng)化學(xué)報(bào)1979。第實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)圖r j f I I1 L未加自適 加入自適應(yīng)§ 9-3基于李雅普諾夫第二方法穩(wěn)定性理論的MRAC設(shè)計(jì)方法1.關(guān)于李

7、雅普諾夫(Liaupunov)穩(wěn)定性的第二方法 是關(guān)于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（無論線性或者非線性）穩(wěn)定性分析的理論，特點(diǎn)是不需要求微分方程的解，而是直接根據(jù)某個(gè)特定的函數(shù)（李雅 普諾夫函數(shù)）對(duì)時(shí)間的變化率來判斷其穩(wěn)定性，因此又稱直接法 它 特別適用于非線性、線性時(shí)變或多變量系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 .a） 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性對(duì)于以狀態(tài)方程X f （X,t） 且 f（ 0，t）=0 t 式（9-3 1）描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，如果存在一個(gè)對(duì)時(shí)間連續(xù)可微的純量函數(shù)V（X, t ）滿足以下條件：（1） V（ X，t）正定；（2）V沿方程式（93 1 ）解的軌跡 對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)V存在，且為負(fù)半定（或負(fù)定），則稱V（X,

8、t ） 為李雅普諾夫函數(shù)，且系統(tǒng)式（8 3 1）對(duì)于狀態(tài)空間的坐標(biāo)原點(diǎn) X=0為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定（或漸進(jìn)穩(wěn)定）的.李雅普諾夫函數(shù)的幾何意義可以理解為： V（X）表示狀態(tài)空間 原點(diǎn)到狀態(tài)X的距離的量度，如果其原點(diǎn)到瞬時(shí)狀態(tài) X（t）間的距 離隨著t的增長(zhǎng)而不斷減小則系統(tǒng)穩(wěn)定，V（t）對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù) 相當(dāng)于X（t）接近原點(diǎn)的速度。李雅普諾夫函數(shù)的物理意義可以理解為：一個(gè)振動(dòng)著的力學(xué)系統(tǒng)，如果振動(dòng)的蓄能不斷衰減，則隨著時(shí)間增長(zhǎng)系統(tǒng)將穩(wěn)定于平衡狀 態(tài),而李雅普諾夫函數(shù)實(shí)質(zhì)上可視為一個(gè)虛擬的能量函數(shù)。b）用李雅普諾夫第二方法分析線性定長(zhǎng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定長(zhǎng)系統(tǒng)X AX式（9 32）可取一個(gè)正定

9、的純量函數(shù)V(X) XTP X式(9-3-3)其中P為正定的實(shí)對(duì)稱矩陣。V沿式（93-2）的軌線的一階導(dǎo)數(shù)為：? ? ?V(X) X PX XTP X (AX)Tpx XtPAX xt(atp pa)x xtq X其中Q與P滿足線性代數(shù)方程（稱李雅普諾夫方程）APPa Q式(9-3-4)如果Q是正定矩陣，則V（X）的一階導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的，V （X）是李雅 普諾夫函數(shù)，系統(tǒng)式（93-2）對(duì)于平衡狀態(tài)X=0是漸進(jìn)穩(wěn)定的.Xm A Xm Bm式（9 -35）y m C X m其中:010Aa2；Bm aiKmC1 0系統(tǒng)狀態(tài)方程X s A X s B s r式（936）BsVs C XsKs定義廣義誤差

10、ee y m y s ；X m Xs?e令E = Km - Ks ,由式（9-35）和式（9-3 6）得出廣義狀態(tài)誤差方程式（93 7）其中 B =: 0, E T為了保證MRAC系統(tǒng)穩(wěn)定，要找到一個(gè)李雅普諾夫函數(shù) V )。 試取純量函數(shù)V ( ) = TP + E 2式(9-3-8)其中P為正定實(shí)對(duì)稱陣，顯然V()也是正定的。求V()沿式(9 3-7 )的軌線對(duì)t求導(dǎo)數(shù)?T?dV/dt P TP 2 EE將式(93 7)代入上式，有dV/dt = tA+ B Tr P + TP : A +Br+2 EE=tA tP + tPA +B TrP + TPBr + 2 E E=T (A tP +

11、PA) +2 TPBr+2 E E 式(939) 為保證dV/dt負(fù)定，須使一次型 T （A T P + P A）負(fù)定，且后兩項(xiàng)之和為零.由于A為穩(wěn)定矩陣，方陣(A tP + PA )肯定是負(fù)定的.由式(93 9)的后兩項(xiàng)之和為零的條件，得出：2 EE 2 TPBr式(93-10)由于tpbPiP21P12P22(1 P122P2) E所以?1E(P21 P2 2) r(t)由E = Km Ks ( t),得到自適應(yīng)控制律:Ks(R2 1 P2 2) r (C0 e C1 e) r其中：Co = P12 /， C1 = P2 /,或?qū)懗桑??ks(C0 e C1 e) r(t) d KS0式(

12、9t。3-11)按照上式實(shí)施控制，能夠保證V()是正定而dV/dt是負(fù)定的，即V()是李雅普諾夫函數(shù)，自適應(yīng)系統(tǒng)對(duì)于 二0的平衡狀態(tài)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的，也就是當(dāng)t 時(shí) 0。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖：3. 應(yīng)用舉例：直流電傳動(dòng)自適應(yīng)控制開環(huán)總增益 Ks = Ki K2 / C e i為時(shí)變且可調(diào)參考模型狀態(tài)方程為?0式（ 93-12）Xml0 2 2 X“0 r?彳rXm2 1 Xm21被控系統(tǒng)狀態(tài)方程為KsXsi?XS2Xs1XS2式（93-13）可見As和Bs中僅a12 = K s /一個(gè)元素是時(shí)變的為了設(shè)計(jì)出比較簡(jiǎn)單的自適應(yīng)線路，選擇正半定的Q陣由李雅普諾夫方程ATPPA Q式（934）由于 0 ,

13、所以P陣是正定的將P代入As的第aj元素的自適應(yīng)調(diào)整律4 iaij (P xS)qd Sj(P xS)q fij to得到比例一-積分型的自適應(yīng)律a 12ri2 toXs2)dS12 (1 X S 2 )而 a12 = K s （ t）/，則有tS12 ( 1 X S2 )Ks( 1 XS2)dr12 tosf其中的XS2雖然不能從系統(tǒng)中直接測(cè)量，但是可由以下關(guān)系式XS2很容易重構(gòu)，得出Xs2的估計(jì)量。下圖示出了可控硅電傳動(dòng) MRAC實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的簡(jiǎn)化原理圖：實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖，被控系統(tǒng)開環(huán)增益Ko=3.4K m加入自適應(yīng)控制后，能夠自動(dòng)調(diào)整 Ks使得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與參考模型的一致§ 9-4

14、基于超穩(wěn)定理論的 MRAC設(shè)計(jì)方法超穩(wěn)定理論最初由波波夫在研究非線性系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定性時(shí)提出的，該理論對(duì)研究非線性時(shí)變反饋的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性很有用途,特別是等將超穩(wěn)定理論用于 MRAC系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，取得良好效果。本節(jié)僅就其基本概念和主要結(jié)果作一些簡(jiǎn)要介紹。、關(guān)于超穩(wěn)定性理論的基本概念1。 直觀概念先從簡(jiǎn)單的直觀概念出發(fā)，體會(huì)穩(wěn)定性的含義。討論一個(gè)由線性定常的正向通道和非線性時(shí)變的反饋通道組成的單輸入一-單輸出 閉環(huán)系統(tǒng)（見下圖）。如果該閉環(huán)系統(tǒng)能夠滿足以下兩個(gè)條件：a）線性定常的正向通道動(dòng)態(tài)性能等價(jià)于一個(gè)無源網(wǎng)絡(luò)；b）非線性反饋通道為正向通道提供的總能量 （系統(tǒng)儲(chǔ)能）是有限的, 則該系統(tǒng)一定是穩(wěn)定

15、的.由網(wǎng)絡(luò)理論，以上的條件a）等價(jià)于傳遞函數(shù)Z（s） =y（s）/u（s）是正實(shí)函數(shù)；條件b）可以用以下積分不等式 來表示：T式(94-1)u(t) y(t) dt0其中:T >0 ,為某一有限值的常數(shù)。2. 關(guān)于正實(shí)和嚴(yán)格正實(shí)函數(shù)函數(shù)的正實(shí)性概念是從網(wǎng)絡(luò)分析中引申來的，數(shù)學(xué)的正實(shí)函數(shù)概 念上與物理的無源網(wǎng)絡(luò)相關(guān)。無源網(wǎng)絡(luò)能量的非負(fù)性，其傳遞函數(shù)是 正實(shí)的。Z (s)是正實(shí)函數(shù)的定義是：(1) s為實(shí)數(shù)時(shí)Z (s)也為實(shí) 數(shù)；(2) Z (s)無右半開平面的極點(diǎn)；(3)對(duì)于任意實(shí)的，(-<< )有 Re : Z ( j ) 0。如果上述條件(2)改為Z(s)無右半閉平面的極點(diǎn)

16、；(3)改為Re Z (j ) >0 ,則函數(shù)Z (s)是嚴(yán)格正實(shí)函數(shù)。正實(shí)和嚴(yán)格正實(shí)傳遞函數(shù)有以下特點(diǎn)：(1) 嚴(yán)格正實(shí)傳遞函數(shù)對(duì)于0的乃奎斯特圖的矢端曲線完全在第四象限內(nèi)(正實(shí)傳遞函數(shù)的乃氏圖可能與虛軸相切)，即輸出對(duì)輸入的相位滯后不超過90 0 ;(2) 如果 Z (s)正實(shí)，則 1/Z(s)、Z (1/s)和 c Z (s) 也 正實(shí)(c為大于零的常數(shù))；(3) 如果Z1(s)和Z1(s)正實(shí),則它們的串聯(lián)Z1 (s) Z1 (s)、并聯(lián)Z1 (s) +Z1 (s)和反饋聯(lián)接如Z1 (s)/ (1+ Z1 (s) Z1 (s)均也正實(shí)3. 關(guān)于超穩(wěn)定(Hyperstable )和

17、漸進(jìn)超穩(wěn)定(AsymptoticallyHyperstable ) 的定義：考慮一個(gè)多輸入-多輸出系統(tǒng)X = AX + B U式(84-2)Y 二 C X式(843)其中U和Y分別為m維的輸入和輸出量，U為有界函數(shù),且它的拉 氏變換存在;X為n維狀態(tài)向量，假定該系統(tǒng)是某一傳遞函數(shù)矩陣 Z( s) 的最小實(shí)現(xiàn)Z(s) = C (si - A) 1B超穩(wěn)定的定義是：如果對(duì)于任何T > 0 ,輸入和輸出向量滿足TT2UT(t) Y(t) dt 2式(8-44)0(> 0的常數(shù)) 必有以X(0)為初始狀態(tài)的解X(t)滿足IIX(t) II K ( IIX (t) II+ )式(8-4-5)

18、(K >0的常數(shù))，則稱平衡點(diǎn)X = 0是超穩(wěn)定的，簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)是超穩(wěn)定 的.式中的IIX II表示向量X的模(長(zhǎng)度)。如果超穩(wěn)定的系統(tǒng)對(duì)于U(t)的任意解X(t)(在任意初始狀態(tài)下)都有式（8-4-6）lim x（t） 0則平衡點(diǎn)X = 0稱為漸進(jìn)超穩(wěn)定的，或簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是漸進(jìn)超穩(wěn)定的不等式Tu(t) y(t) dt式(84 1)被稱為波波夫不等式，其意義可理解為：系統(tǒng)從0到T時(shí)刻的儲(chǔ)能是有界的。這種情況下超穩(wěn)定意味著狀態(tài)的變化被局限在X = 0附近。式（8-44 ）的積分與李雅普諾夫穩(wěn)定性理論中的李雅普諾夫函 數(shù)V的作用相類似。4. 關(guān)于超穩(wěn)定性的定理定理系統(tǒng)式（8-4 2）和式（8-4-3 ）是（漸進(jìn)）超穩(wěn)定的充要 條件是傳遞函數(shù)矩陣 Z （s）是（嚴(yán)格）正實(shí)矩陣。、用超穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)MRAC系統(tǒng)思路是先將自適