1、b2-2 . a證明：設(shè)M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(Xi,y1)、(X2,y2),則有4a2X22y去=1b2號(hào)=i.(2)b(1) -(2),得22Xi-X222.yi y2b2=0.y2 - yiX2 -Xiy2yiX2Xib222 . aV2 -yiyiy2NX2-xixiX22y2xb22 . a2同理可證，在橢圓與b22L2a=i ( a > b >0)中，若直線l與橢圓相交于 M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(x0, y0)是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線l的斜率為kMN ,則kMN2V。 aXob2,典題妙解例1 (04遼寧)2設(shè)橢圓方程為 X2十)一=i ,過點(diǎn)M (0,i)的直線l交

2、橢圓于點(diǎn) A、B, O為坐 4ii i標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OP = (OA+OB)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為.一，一.當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求:22 2(1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;(2) |NP|的最大值和最小值.解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).由平行四邊形法則可知：點(diǎn) P是弦AB的中點(diǎn).點(diǎn)差法公式在橢圓中點(diǎn)弦問題中的妙用22定理 在橢圓與+ =i (a>b>0)中，若直線l與橢圓相交于 M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(X0,y0) a2 b2是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線l的斜率為kMN ,則kMN 工X0焦點(diǎn)在y上，a2 =4,b2 =1.假設(shè)直線l的斜率存在.b2由kAB 整理，得：4x2 y2 - y

3、= 0.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，弦 AB的中點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)0(0,0),也滿足方程。22_二所求的軌跡萬程為 4x +y -y=0./1 22(y )(2)配方，得： +2 =1. 11 16|NP|2=(x)2 (y-2)2= (x2.x2241 27-3(x)6121二當(dāng) x =一時(shí)，| NP |4min時(shí)，| NP |max21例2 (07年海南、寧夏)在直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0,J2)且斜率為k的直線l與橢圓+ y2 =1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值范圍;(2)設(shè)橢圓與X軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B,是否存在常數(shù)k,使得向量OP + OQ與AB共線？如果存在

4、，求 k的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)直線l的方程為y=kx + 42.ly = kx : 2,由x221萬/ I得：(2k2 1)x2 4. 2kx 2 =0.2 x 一直線l與橢圓一2+ y2 =1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),2_ _ 2二 A=32k -8(2k +1) >0.解之得：k< -2-或k>2.k k的取值范圍是2(2)在橢圓 +y2 =1中，焦點(diǎn)在x軸上，a = &,b=1 , 2.A(.2,0),B(0,1),AB =(-.2,1).設(shè)弦 PQ 的中點(diǎn)為 M(x0,yO),則 OM =(x0,y10).由平行四邊形法則可知：OP OQ = 2

5、0M1 : OP +0Q與AB共線,OM與AB共線.X0y。.2-<2X0由kpQ 巴b2得:X0由(1)可知直線l與橢圓沒有兩個(gè)公共點(diǎn),.不存在符合題意的常數(shù)例3 (09年四川)已知橢圓2,2a b=1 (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2 ,離心率e=4,右準(zhǔn)線方程為x=2.2(I )求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.26(II )過點(diǎn)F1的直線l與該橢圓相交于 M、N兩點(diǎn)，且|F2M +F2N尸，求直線l的方程.3解：(I)根據(jù)題意,2 a- =2.c.a *2,b =1,c =1.二所求的橢圓方程為y2 =1.(H)橢圓的焦點(diǎn)為Fi(1,0)、F2(1,0).設(shè)直線l被橢

6、圓所截的弦MN的中點(diǎn)為P(x,y).由平行四邊形法則知：F2M F2N =2F2P.由 | F2MF2N | 二2 26得：|FzP| =.(x -1)2 y226若直線l的斜率不存在，則l _Lx軸，這時(shí)點(diǎn)p與F1(1,0)重合，|F2M +F2N |=|2F2F1 |=4,與題設(shè)相矛盾，故直線l的斜率存在.b2得:匕豈二二212y 二-(x x).2代入,得(x -1)226整理，得:9x2 -45x -17 =0解之得:17 一由可知,x = 一不合題息.3-1從而y =.3二所求的直線l方程為y = x +1 ,或y = x -1.例4 (09全國n)已知橢圓C :2,2a b/(a/

7、>0)的離心率為段，過右焦點(diǎn)F的直2線l與C相交于A、B兩點(diǎn).當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn) O到l的距離為 2(1)求a, b的值;（2）c上是否存在點(diǎn) p,使得當(dāng)1繞f轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有 OP = OA+OB成立？若存在，求出所有點(diǎn)p的坐標(biāo)與1的方程；若不存在，說明理由 .解：（1）橢圓的右焦點(diǎn)為 F（c,0）,直線1的斜率為1時(shí)，則其方程為y = x c,即xyc = 0.原點(diǎn)。到1的距離:專考1.又 e = 9 =,二 a = v'3 .從而 b = V2. a 32 2（2）橢圓的方程為x y<=1.設(shè)弦AB的中點(diǎn)為Q(x,y).由OP =OA + OB可知，點(diǎn) Q3

8、 2是線段OP的中點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2x,2y）.4x22y2 =1.若直線l的斜率不存在，則l_Lx軸，這時(shí)點(diǎn)Q與F（1,0）重合，OP = （2,0）,點(diǎn)P不在橢圓上,故直線l的斜率存在22 2y = -(x -x) 3由和解得： x = °, y = 一 . 443.2y3 .2、二當(dāng)x = , y = 時(shí)，kAB =2，點(diǎn) P的坐標(biāo)為（一，）,直線l的方程為4 4x -12 2v2x + y - ,2 = 0 ；3.2y32.當(dāng)x = ，y = 時(shí)，kAB =2 ,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一，一）,直線l的萬程 為44x-122金指點(diǎn)睛1.已知橢圓x2 +2y2 = 4,則以(1,1)

9、為中點(diǎn)的弦的長度為()A. 3 2B. 2 3C.D.3.622x y ,2. ( 06 江西)橢圓 Q ： F + % = 1 a b(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),過點(diǎn)F的一動(dòng)直線 m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)P的軌跡H的方程;(2)略.3. (05上海)(1)求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0)且過點(diǎn)(2,M2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;22(2)已知橢圓C的方程為 勺+與=1(a>b>0).設(shè)斜率為k的直線1,交橢圓C于A、B a2 b2兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M.證明：當(dāng)直線1平行移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn) M在一條過原點(diǎn)的定直線上；(3)略.4. (0

10、5湖北)設(shè)A、B是橢圓3x2 +y2 =九上的兩點(diǎn)，點(diǎn) N (1,3)是線段AB的中點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線與橢圓相交于 C、D兩點(diǎn).(1)確定九的取值范圍，并求直線 AB的方程；(2)略.225.橢圓C的中心在原點(diǎn)，并以雙曲線 =1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線 x2 = -6<6y的準(zhǔn)線為42其中一條準(zhǔn)線.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線1 : y =kx+2(k#0)與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線1 : y =mx+1(m # 0)對(duì)稱，求 k 的值.參考答案22.2 一 2 一 x y1.解：由x +2y =4得+=1, 42=4, b2 = 2 .弦MN的中點(diǎn)(1,

11、1),由kMN - xb ,口，1得kMN直線MN的萬程為a2,1 ，)、y 7 = (x 7).21即 x = -2y -3. k = -一 . 22-2,x *2丫 =4得：6y2 -12y +5=0x = 2y+3設(shè) M(Xi,y1)，N(X2,y2),則 yi +y2 =2,y1y2|MN| A、2y1y2)4yy210=5 (4-3)_ 3033故答案選C.2.解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x, y）,由kAB得: a,2y y bT2x - c x a整理，得：b2x2 a2 y2 - b2cx = 0.2 222.2.二點(diǎn)P的軌跡H的萬程為b x +a y bcx = 0.3 .解：

12、（1） ;右焦點(diǎn)坐標(biāo)是（2,0）左焦點(diǎn)坐標(biāo)是（2,0）. c = 2.由橢圓的第一定義知，2a = «'(22)2 +(-V2)2 +，(2+2)2 +(-V2)2 = 4、e，1 a = 22.2-c=4.二所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22 J.（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x, y）,由kABy b2=-2x ary得：k - x學(xué)，整理得：b2x a2ky = 0. a丁 a、b、k為定值,二當(dāng)直線l平行移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)22一.M在一條過原點(diǎn)的定直線 b x + a ky = 0上.22224 .解：（1） 點(diǎn)N（1,3）在橢圓3x +y =九內(nèi)，-3父1 +3九，即人12.二九的取值范圍

13、是（12,+至）.22,由3x2 + y2 =九得匕+- = 1, ，a2 = %b2 = 一，焦點(diǎn)在y軸上. 3若直線AB的斜率不存在，則直線 AB _L X軸，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，線段 AB的中點(diǎn)N在x軸上, 不合題意，故直線 AB的斜率存在.kAB 12由 kAB = 一一2"得: x b二所求直線AB的方程為y3 = 1(X1),即x + y 4 = 0.從而線段AB的垂直平分線CD 的方程為 y -3 = 1 (x-1),即 x y + 2 = 0.225.解：(1)在雙曲線 匕一個(gè)一=1 中，a = 2,b = J2,c = v a2 +b2 = J6 , 42，焦點(diǎn)為 F1(o,-v6),F2(, 76).jr在拋物線x26= -2j6y 中，p=d6,.準(zhǔn)線為 y= 2. 6.從而 a = 3, b = 3 3.22，在橢圓中， c22一，一 一、一y x 所求橢圓c的方程為 + =1.93(2)設(shè)弦AB的中點(diǎn)為P(x0,y°),則點(diǎn)P是直線l與直線l'的交點(diǎn)，且直線l _Ll'.二m=L k2由 kAB 左=-ay 得