1、浙大版概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題集和試卷第一講1,2, ? ,N1,由盛有號(hào)碼為的球的箱子中有放回的摸了 n次，依次記其號(hào)碼， 求這些號(hào)碼按嚴(yán)格上升次序排列的概率.2.對(duì)任意湊在一起的40人，求他們中沒有兩人生日相同的概率.2r(2r,n)3. 從n雙不同的鞋子中任取只,求下列事件的概率：r(1) (1) 沒有成雙的鞋子；(2)只有一雙鞋子；(3) 恰有二雙鞋子；(4) 有雙 鞋子.4.從52張的一副撲克牌中，任取5張，求下列事件的概率：(1) (1) 取得以A為打頭的順次同花色5張；(2) (2) 有4張同花色；(3) (3) 5 張同花色；(4) (4) 3張同點(diǎn)數(shù)且另2張也同點(diǎn)數(shù).思考題：1.

2、(分房、占位問題)把n個(gè)球隨機(jī)地放入N個(gè)不同的格子中，每個(gè)球落入各格 子內(nèi)的概率相同(設(shè)格子足夠大，可以容納任意多個(gè)球)。1 . I. 若這n個(gè)球是可以區(qū)分的，求(1)指定的n個(gè)格子各有一球的概率；(2) 有n個(gè)格子各有一球的概率；若這n個(gè)球是不可以區(qū)分的，求(1)某一指定的盒子中恰有k個(gè)球的概率；(2) 恰好有m個(gè)空盒的概率。2 .取數(shù)問題)從1-9這九個(gè)數(shù)中有放回地依次取出五個(gè)數(shù)，求下列各事件的概 率：(1) (1) 五個(gè)數(shù)全不同;(2)1恰好出現(xiàn)二次；(3)總和為10.第二講1 .在一張打方格的紙上投一枚直徑為1的硬幣，問方格要多小時(shí)才能使硬幣 與線不相交的概率小于0.01?2 .在某城

3、市中共發(fā)行三種報(bào)紙：甲、乙、丙。在這個(gè)城市的居民中，訂甲報(bào) (記為A)的有45%訂乙報(bào)(記為B)的有35%訂內(nèi)報(bào)(記為C)的有30%同時(shí)訂 甲、乙兩報(bào)(記為D)的有10%同時(shí)訂甲、丙兩報(bào)(記為E)的有8%同時(shí)訂乙、丙 兩報(bào)(記為F)的有5%同時(shí)訂三中報(bào)紙(記為G)的有3%.試表示下列事件，并求下 述百分比：(1)只訂甲報(bào)的；(2)只訂甲、乙兩報(bào)的;(3)只訂一種報(bào)紙的;(4)正好訂兩 種報(bào)紙的;(5)至少訂一種報(bào)紙的;(6)不訂任何報(bào)紙的.3 .在線段0,1上任意投三個(gè)點(diǎn)，求0到這三點(diǎn)的三條線段能構(gòu)成三角形的概 率.4.設(shè)A, B, C, D 是四個(gè)事件，似用它們表示下列事件：(1) (1)四

4、個(gè)事件至少發(fā)生一個(gè)；(2) (2)四個(gè)事件恰好發(fā)生兩個(gè)；(3) (3) A,B 都發(fā)生而C, D不發(fā)生；(4) (4)這四個(gè)事件都不發(fā)生；(5) (5)這四個(gè)事件至多發(fā)生一個(gè)；(6) (6)這四個(gè)事件至少發(fā)生兩個(gè)；(7) (7)這四個(gè)事件至多發(fā)生兩個(gè).m(m,n)n5.考試時(shí)共有張考簽，有個(gè)同學(xué)參加考試.若被抽過的考簽立即放回 求在考試結(jié)束后，至少有一張考簽沒有被抽到的概率.給定，求及.k(k,n)6. 在？3例5中，求恰好有個(gè)人拿到自己的槍的概率.p,P(A),q,P(B),r,P(A,B)P(AB)P(AB)7.思考題l(l,a)1.(蒲豐投針問題續(xù))向畫滿間隔為a的平行線的桌面上任投一直

5、徑為的半圓形紙片，求事件“紙片與某直線相交”的概率；第三講nm1.件產(chǎn)品中有件廢品，任取兩件，求：(1) (1)在所取兩件中至少有一件是廢品的條件下，另一件也是廢品的概率；(2) (2)在所取兩件中至少有一件不是廢品的條件下，另一件是廢品的概率.a(a,3)2.袋中有只白球，b只黑球，甲乙丙三人依次從袋中取出一球(取后不 放回).試用全概率公式分別求甲乙丙各取得白球的概率.3 .敵機(jī)被擊中部位分成三部分：在第一部分被擊中一彈，或第二部分被擊中 兩彈，或第三部分被擊中三彈時(shí)，敵機(jī)才能被擊落.其命中率與各部分面積成正比 假如這三部分面積之比為0.1, 0.2, 0.7. 若已中兩彈，求敵機(jī)被擊落的

6、概率.4 .甲乙兩人從裝有九個(gè)球，其中三個(gè)是紅球的盒子中，依次摸一個(gè)球，并且 規(guī)定摸到紅球的將受罰.(1) (1) 如果甲先摸，他不受罰的概率有多大？(2) (2)如果甲先摸并且沒有受罰，求乙也不受罰的的概率.(3) (3)如果甲先摸并且受罰，求乙不受罰的的概率.(4) (4)乙先摸是否對(duì)甲有利？(5) (5) 如果甲先摸，并且已知乙沒有受罰，求甲也不受罰的概率.A,B,AB,A,B5.設(shè)事件A, B, C 相互獨(dú)立，求證：也相互獨(dú)立.思考題1.甲、乙兩人輪流擲一均勻的骰子。甲先擲，以后每當(dāng)某人擲出1點(diǎn)時(shí)則交給對(duì)方擲，否An則此人繼續(xù)擲。試求事件=第n次由甲擲的概率.2(賭徒輸光問題)兩個(gè)賭徒

7、甲、乙進(jìn)行一系列賭博。在每一局中甲獲勝的概率為p,乙獲勝的概率為q, p+q=1,每一局后，負(fù)者要付一元給勝者。如果起始時(shí)甲 有資本a元，乙有資本b元，a+b=c,兩個(gè)賭徒直到甲輸光或乙輸光為止，求甲輸 光的概率.第四講1 .對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行三次獨(dú)立射擊，要害各次射擊命中率依次為0.4, 0.5 和0.7.求：(1) (1)三次射擊中恰好一次擊中目標(biāo)的概率；2 2) (2)至少一次擊中目標(biāo)的概率.2.在一電器中，某元件隨機(jī)開、關(guān)，每萬分之一秒按下面規(guī)律改變它的狀態(tài)：(1,)(1) (1)如果當(dāng)前狀態(tài)是開的，那么萬分之一秒后，它仍然處于開狀態(tài)的概率為，,變?yōu)殚]狀態(tài)的概率為；(1,)(2) (2)如

8、果當(dāng)前狀態(tài)是閉的，那么萬分之一秒后，它仍然處于閉狀態(tài)的概率為，變?yōu)殚_狀態(tài)的概率為.,0,1,0,1nn假設(shè)，并且用表示該元件萬分之秒后處于閉狀態(tài)的概率.請(qǐng)給,n出的遞推公式.pkmAAA3.在伯努里概型中，若出現(xiàn)的概率為，求在出現(xiàn)次以前出現(xiàn)次的概率 (可以不連續(xù)出現(xiàn)).4.甲乙丙三人進(jìn)行某項(xiàng)比賽，設(shè)三人勝每局的概率相等.比賽規(guī)定先勝三局 者為整場(chǎng)比賽的優(yōu)勝者.若甲勝了第一、三局,乙勝了第二局，問丙成了整場(chǎng)比賽 優(yōu)勝者的概率是多少？ 5. 一個(gè)人的血型為O A、R AB型的概率分別為0.46、 0.40、0.11和0.03.現(xiàn)任選五人，求下列事件的概率：(1) (1) 兩人為O型，其他三人分別為

9、其他三種血型；(2) (2) 三人為O型，兩人為A型；(3) (3)沒有一人為AB型.第一講,1. 1.設(shè)為重復(fù)獨(dú)立伯努里試驗(yàn)中開始后第一個(gè)連續(xù)成功或連續(xù)失敗的次數(shù)，求的分布.2. 2.直線上一質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻0從原點(diǎn)出發(fā)，每經(jīng)過一個(gè)單位時(shí)間分別概率或向 左或向右移S,nnn動(dòng)一格，每次移動(dòng)是相互獨(dú)立的.以表示在時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)的次數(shù)， 以表示S,nnn時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置，分別求與的分布列.3. 3.每月電費(fèi)帳單是由電力公司派人上門抄表給用戶的.如果平均有1%勺帳 單與實(shí)際不符，那么在500張帳單中至少有10張不符的概率是多少？4. 4.某車間有12臺(tái)車床獨(dú)立工作，每臺(tái)開車時(shí)間占總工作時(shí)間的2/3,開車

10、 時(shí)每臺(tái)需用電力1單位，問：(1) (1)若供給車間9單位電力，則因電力不足而耽誤生產(chǎn)的概率等于多少？(2) (2)至少供給車間多少電力，才能使因電力不足而耽誤生產(chǎn)的概率小于1%?5. 5.螺絲釘?shù)膹U品率為0.01.問一盒中應(yīng)裝多少螺絲釘才能保證每盒有100只以上好螺絲釘?shù)母怕什恍∮?0%?6. 6.某疫苗所含細(xì)菌數(shù)服從泊松分布，每一毫升中平均含有一個(gè)細(xì)菌，把這種疫苗放入5只試管中，每管2毫升，求：(1) (1) 5只試管中都有細(xì)菌的概率；(2) (2) 至少有3只試管含有細(xì)菌的概率.第二講1. 1.在半徑為R,球心為O的球內(nèi)任取一點(diǎn)P,(1) (1)求=OP勺分布函數(shù)；P(,R,R/2)(2

11、) (2) 求.2. 2.確定下列函數(shù)中的常數(shù)A,使它們?yōu)槊芏群瘮?shù)：2.Ax,1,x,2,pxAxx(),2,3,|x| 其他 0,.p(x),Ae;,(1) (2),3. 3.某城市每天用電量不超過100萬度，以表示每天耗電量(即用電量/100),其密度為2p(x),12x(1,x)(0,x,1). 問每天供電量為80萬度時(shí)，不夠需要的概率為多少？供電量為90萬度呢？,3假設(shè)一塊放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)射出的粒子數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布.而每個(gè)1,pp,發(fā)射出的粒子被記錄下來的概率均為，就是說有的概率被計(jì)數(shù)器遺漏.如果個(gè)粒子,粒子數(shù)的分布。是否被記錄是相互獨(dú)立的，試求記錄下的,N(5,4)P(

12、,a),0.90;P(|,5|,a),0.01a4. 4.設(shè)，求，使(2).,U0,55. 5. 若，求方程有實(shí)根的概率.第三講(,)F(x,y)1. 1.試用的分布函數(shù)表示下列概率,(2)P(,a,y);(3)P(,).(,)2設(shè)二維隨機(jī)向量的密度函數(shù)為,2(x , y),x0,y0,Ae,p(x,y), 其它.0,F(x,y),(1) (1)確定常數(shù)A;(2)求分布函數(shù);(3)求的邊際密度;(4)計(jì)算概率P(,2,0,1)P(, ,2);P(,);(5)計(jì)算概率(6).,P(,1),P(,1),p,0P(,0),3. 3.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且，又P(,0),1,p,定義：,0,為奇數(shù),

13、1,為偶數(shù).，,p問取什么值能使獨(dú)立？第四講222(,)x , y,r1. 1. 設(shè)服從圓上的均勻分布，,(1) (1) 求各自的密度；,(2) (2)判斷與是否相互獨(dú)立.(,)p(x,y)p(x,y),2. 2.設(shè)的密度函數(shù)為，求證與相互獨(dú)立的充分必要條件為可p(x,y),g(x),h(y)g(x),h(y)分離變量，即.此時(shí)與邊際密度有何關(guān)系？,3. 3. 利用上題的充分必要條件判斷與的獨(dú)立性，若它們的密度函數(shù)為：4xy,0,x,1,0,y,1,p(x,y),0, 其他.,(1)8xy,0,x,y,1,p(x,y),0, 其他.,(2)第五講,1.四張小紙片分別寫有數(shù)字0, 1, 1,2.

14、 有放回地取兩次，每次取一張， 以分別記兩次取得的數(shù)字，求各自的分布以及的分布,122. 2.設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量，分別服從參數(shù)為及的泊松分布，試直接證明：,12(1)服從參數(shù)為+的泊松分布；,kkn,k12,P(,k| 一n),C()(),k,0,1,? ,n.n, , ,1212(2),/2,/2,tan,3. 3.若服從上的均勻分布，求的密度.0,1, ,4. 4.設(shè)獨(dú)立同分布，且都服從上的均勻分布，求的密度函數(shù).，,N(0,1),/,5.設(shè)獨(dú)立同分布，且都服從分布，求的分布密度.第六講(0,a)1.在線段上隨機(jī)投擲兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間距離的密度函數(shù).U, , ,V,/,2. 設(shè)相互獨(dú)立，且都服從

15、參數(shù)為1的指數(shù)分布，求與的聯(lián)合密度，U, , ,V,/,與的密度.并分別求出(,)3.設(shè)的聯(lián)合密度為：4xy,0,x,1,0,y,1,p(x,y),0, 其他.，22(,)求的聯(lián)合密度.22(,), ,N(0,0,r).4.設(shè)服從二元正態(tài)分布求與相互獨(dú)立的充分必要條12件.第一講nn1. 1.某人有把鑰匙，只有一把能打開家門.當(dāng)他隨意使用這把鑰匙時(shí)，求 打開家門時(shí)已被使用過的鑰匙數(shù)的數(shù)學(xué)期望.假設(shè)：(1) (1)每次使用過的鑰匙不再放回；(2) (2)每次使用過的鑰匙與其它鑰匙混在一起.E,2. 2.設(shè)隨機(jī)變量分別具有下列密度，求：xx,0,1,pxxx(1)(),2,1,2,0,其他.，2,

16、2,x,x,cos,/2,/2;px(2)(),0,其他，(3) 3.設(shè)分子的速度的分布密度有馬克斯韋爾分布律給出：22,4xx,xexp(,),0,23px(),aa,x0,0.,m分子的質(zhì)量為，求分子的平均速度和平均動(dòng)能.第二講(4) n1. 1. 設(shè)事件A在第次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為，是在次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的 次數(shù)，E,求.(5) .某人有把鑰匙，只有一把能打開家門.當(dāng)他隨意使用這把鑰匙時(shí)，求打 開家門時(shí)已被使用過的鑰匙數(shù)的方差.假設(shè)：(1) (1)每次使用過的鑰匙不再放回；(2) (2)每次使用過的鑰匙與其它鑰匙混在一起.(3) 公司計(jì)劃開發(fā)一種新產(chǎn)品市場(chǎng)，并試圖確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量.他們估計(jì)

17、出售 該產(chǎn)品一件可,mn獲利元，而每積壓該產(chǎn)品一件導(dǎo)致元的損失。另外，該產(chǎn)品的銷售量預(yù)測(cè)服從參數(shù)的指數(shù)分布。問若要獲得最大利潤，應(yīng)安排生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，2a,b,Var,(b,a)/4.4. 4. 設(shè)只取值于,求證(,)5. 5.設(shè)二維隨機(jī)向量的分布密度為2,x,y,0,x,1,0,y,1,p(x,y),0,其他.，求協(xié)方差矩陣.思考題E,1.設(shè)袋中裝有m只顏色各不相同的球.有返回地摸取n次,摸到種顏色的 球.求.第三講U,a, , b,V,c, , d,a,b,c,dU,Va,c1. 1. 設(shè)為常數(shù)，同號(hào)，求證的相關(guān)系數(shù)等 于,的相關(guān)系數(shù).,? ,122n2. 2.設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都為0,

18、方差都為1,兩兩間的相關(guān)系數(shù)都為,?, , ? , ,1nn , 12n,求與之間的相關(guān)系數(shù).,3. 3.設(shè)都是只取兩個(gè)值的隨機(jī)變量，求證：如果它們不相關(guān)，則它們獨(dú)立.思考題Emax(,),(1,r)/,.(,)-N(0,0,1,1,r)1. 1.設(shè)，求證：E,E,0,Var,Var,1,Cov(,),2. 2.設(shè).證明：222Emax(,),1 , 1,.第四講1. 1.求下列分布的特征函數(shù)：k,1P(,k),pq,k,1,2,? ,q,1,p;(1),a,a,(2)服從上的均勻分布；,(3) 服從參數(shù)為的指數(shù)分布.,(t)2. 2.設(shè)是特征函數(shù)，求證下列函數(shù)也是特征函數(shù)：sinatn ,

19、(1),(t)(n,Z);(2),(t)(a,0).att).t3. 3.證明下列函數(shù)是特征函數(shù)，并找出相應(yīng)的分布.sint222,1(1)cost;(2)();(3)(1思考題t,01. 1.試舉例說明在逆極限定理中，在處連續(xù)這一條件不能少.,2. 2. 當(dāng)獨(dú)立時(shí)，則有第一講1. 1.下列分布函數(shù)列是否弱收斂于分布函數(shù)？0,x,1/n,(1)F(x),n1,x,1/n.,0,x,n,(2)F(x),(x, n)/2n,n,x,n,n,1,x,n.,11,0.50.5nn,2. 2.設(shè)為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，的分布列為，nk,/2,nkn,k1.求證的分布收斂于-1,1上的均勻分布.第二講1

20、. 1.設(shè)某車間有200臺(tái)同型機(jī)床，工作時(shí)每臺(tái)車床60%勺時(shí)間在開動(dòng)，每臺(tái)開動(dòng)時(shí)耗電1千瓦.問應(yīng)供給該車間多少千瓦電力才能有0.999的把握保證正常生產(chǎn)，2.2. 一家火災(zāi)保險(xiǎn)公司承保160幢房屋，最高保險(xiǎn)金額有所不同，數(shù)值如下表所示10 20 30 50 100最大保險(xiǎn)金額(萬元)80 35 25 15 5投保房屋數(shù)假設(shè)：(1)每幢房屋每年一次理陪概率為0.04,大于一次理陪概率為0;(2)各幢房屋是否發(fā)生火災(zāi)相互獨(dú)立；(3)如果理陪發(fā)生，理陪量從0到最高保險(xiǎn)金額間的均勻分布.記N為一年中理陪次數(shù)，S為理陪總量，a.計(jì)算N的數(shù)學(xué)期望和方差；b. b.計(jì)算S的數(shù)學(xué)期望和方差；,c, c. 確定

21、相對(duì)保證附加系數(shù),即(每份保單保費(fèi)收入-平均理陪量)/平 均理陪量，以確保保險(xiǎn)公司的保費(fèi)收入大于理陪總量的概率等于0.99.,n3. 3. 設(shè)為獨(dú)立同分布,其分布列為泊松分布.記nn,(,E,)/Var,nkkk,11kkn, ,n計(jì)算的特征函數(shù)，并求時(shí)的極限，從而驗(yàn)證林德貝格-勒維定理在這種情況成立.2E,0,E,1,P,1,1/2,nnnnn4. 4.設(shè)各自獨(dú)立同分布，也相互獨(dú)立.1nS,nkk,1kN(0,1).n 求證：的分布函數(shù)弱收斂于 思考題1 .利用中心極限定理證明：knn,ne,1/2,n,.,0kk!第三講,(x,a),e,x,a,p(x),0,x,a.,min,? ,n1n

22、n1. 設(shè)獨(dú)立同分布，密度為，令，求證： P ,an. PPP ,.nnnn3. 3.求證：(1)若,，則PPP ,.nnnn (2) 若,，則n1/n,(,),nkn,k14. 4. 設(shè)獨(dú)立同分布，都服從0,1上的均勻分布，令, 求證：,c,cn并求出常數(shù).思考題f(x)1.(蒙特卡羅方法)設(shè)是定義在0,1上的連續(xù)函數(shù)，且取值于0,1. 現(xiàn)在平面的正方形f(A)(x,y):0,x,1,0,y,1nA,上做隨機(jī)投點(diǎn)試驗(yàn)，記為所投點(diǎn)落在區(qū)域f(x,y):0,x,1,0,y,f(x)n 內(nèi)的頻率.試說明當(dāng)投點(diǎn)次數(shù)充分多時(shí)，可充分接近1f(x)dx.,0 積分值概率論試卷(一)一、填充題(每空格3分

23、)AB,1.若，則 P(A?B)P(B).2 .設(shè)士服從參數(shù)為人的普阿松分布，P(七=1)=P(七=3),則入=.2,? ,i1n3.設(shè),N(0,1),i=1,2,n;相互獨(dú)立.則,(n)分布.4.設(shè)士,“互不相關(guān)，貝U Var(2己-4)=.5.參數(shù) 人=1的指數(shù)分布的特征函數(shù)是 .二、是非題(每小題3分)(先回答對(duì)或錯(cuò)再簡述理由)1.設(shè)(己，“)為連續(xù)型隨機(jī)向量，如果聯(lián)合密度等于各自邊際密度的乘積，則七,4相互獨(dú)立.2.隨機(jī)變量 七,“相互獨(dú)立的充分必要條件是E(己“)二E己？E” .n1,i22,n,n1i,13.設(shè)為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,N(a,),=,則也服從N(a,).P,ft(

24、)ft(),nnnn4.設(shè)隨機(jī)變量與己的特征函數(shù)分別為與f (t).若?f(t),(n?),則.,x,ex,0,00,x, 三、(16分)設(shè)士，”相互獨(dú)立，均服從p(x)=.求U=E +“與V=E /(己+“)的聯(lián)合密度；(2)判斷U與V是否獨(dú)立；(3)求V的密度函數(shù).它服從怎樣的分布，,22123412,/), ,),1232 四、(16 分)已知(,N(1,0;.,(1)寫出的特征函數(shù)與密度；(2)求EYar”；,11(3) 求Cov(); (4)與“相互獨(dú)立嗎，為什么，五、(10分)某商店某種食品一塊從上柜到銷售出去時(shí)間(天)服從參數(shù)為入=1/3的指數(shù)分布.若一塊這種食品六天內(nèi)賣不出去，

25、就要另行處理，不能再賣 .該店每天新 上柜這種食品100塊，求(六天后)平均每天另行處理的這種食品的數(shù)量.kkkk, , ()21, , ()21,22,22kkk 六、(8 分)設(shè)相互獨(dú)立,P, P,n1d,0,kk,2,012n,1kkP, k=1,2,.求證：.Pd,nn 七、(15 分)(1)設(shè)，求證：.dp,c,cnn (2)設(shè)(常數(shù))，求證.np(x),nd22,0.,(1, nx)2, ? ,nn 的密度為，n=1,求證:八、(8 分)設(shè)概率論試卷(二)一、填充題(每空格3分)1.古典概型是具有條件驗(yàn)?zāi)Ｐ?(0,1;1,4,0.5)，則 E,4分別服從. 2. 設(shè)(C),N,ft

26、ft(),(),121212123.設(shè)的特征函數(shù)分別為，相互獨(dú)立.則()的特征 函數(shù)為4.從1,2,3,4,5 五個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)，所得號(hào)碼中最大的為己，則己的分布 列為二、是非題(每小題3分)(先回答對(duì)與錯(cuò)，再簡述理由)201xx,0, 其它， 設(shè)隨機(jī)變量己的密度函數(shù)為p(x)=,則“=1-2己的密度為i,y,i0,y,i,2,0,其它,q(y)=.(2)Var 己=1,Var 4=4,則 Var(2 己 十刀尸8.,(3)(t)=sint是某隨機(jī)變量的特征函數(shù).WFx()ft()FxFx()(),nnn (4)設(shè)分布函數(shù)與F(x)對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)分別為與f(t),若則ft()n?f (t).

27、(n?).pp,12三、(12分)甲乙兩廠獨(dú)立生產(chǎn)同類產(chǎn)品，生產(chǎn)一級(jí)品的概率各為.某店分別有甲乙兩廠的該類產(chǎn)品3件與7件.(1)求它們都是一級(jí)品的概率；(2)在這10件中任取一件，求它是一級(jí)品的概率；(3)在這10件中任取一件，發(fā)現(xiàn)是一級(jí)品，求它是甲廠生產(chǎn)的概率.k, 14四、(10分)隨機(jī)變量 己的分布列為P(E=2k)=3 /,k=0,1,2,.(1)求EE ;(2)求己的特征函數(shù).,xx12,exx,0012,0, 其它,xx,1212 五、(17 分)()的聯(lián)合密度為 p()=.,/,/112212212 求:(1)與的聯(lián)合密度；(2)的密度；,/2,/211ee (3)E(); (4

28、)Var().2, ? ,1n六、(12分)設(shè)相互獨(dú)立，都服從正態(tài)分布N().(1)寫出其聯(lián)合分布的密度函數(shù)n,i2,n1i,(2) 求證：服從正態(tài)分布N(n);,)? ,1n(3)求證：對(duì)任意正交變換U,4=UE (其中己=()各分量也相互獨(dú)立，同方差.七、(15分)(1)正確敘述并證明林德貝格一勒維中心極限定理.,1)(2)某種電子元件使用壽命服從入=0.1(單位(小時(shí))的指數(shù)分布.一個(gè)元件損壞后第二個(gè)接著使用.求100個(gè)這類元件總計(jì)使用時(shí)間超過900小時(shí)的概率.,n八、(10分)設(shè))為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，成立中心極限定理 .則它服 從大數(shù)定律n2var()/,n,kk,1的充分必要條

29、件是=o(1),試證明之.囹概率論試卷(三)一、填充題(每空格3分)(1)若 P(A)=0.5, P(A?B)=0.8, 則當(dāng) A與 B相互獨(dú)立時(shí)，P(B)=, P(A- B).r, (2) 設(shè) Var=4, Var=9, 相關(guān)系數(shù)=1/4,貝U Var(2+5)=.,(3) 設(shè),B(n,p),則的特征函數(shù)為.2,nnn (4) 獨(dú)立同分布，E=a,Var=,則林彳惠貝格一勒維中心極限定理是說、是非題(每小題3分)(先回答“？”或"X”，再簡述理由)若Var(Var+Var ,則與不獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量，的特征函數(shù)分別為,.若隨機(jī)向量(,)的,(1)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F(x),則對(duì)任意

30、常數(shù)a, P(=a)=0.,),121212 (2),ft()ft(),121212 (3)特征函數(shù)ft()ft(),1212 f(t,t)=,則，相互獨(dú)立.ft(),Fnnn (4)設(shè)隨機(jī)變量，的分布函數(shù)分別為(x)與F(x),特征函數(shù)分別為與f(t).Wft()FxFx()(),nn若？f(t), (n?), 則.222,k,k, 三、(10 分)隨機(jī)變量，N(a,). (1) 求證+b,N(ka+b,) , (k?0);2, (2) 求的密度函數(shù).01,xxyx,32x/,0, 其它，四、(17 分)()的聯(lián)合密度為 p(x,y尸,(1) 求邊際密度;(2)求E,E及COV().，五、(

31、8分)某人每月收入服從600,1200上的均勻分布.當(dāng)月收入超過800元 時(shí)應(yīng)交個(gè)人收入調(diào)節(jié)稅.問此人平均每年有幾個(gè)月要交該項(xiàng)稅款，k, 1,3六、(8分)隨機(jī)變量的分布列為 P(=k)=2/,k=0,1,2,.,(1)求E; (2)求的特征函數(shù).dP,(,cnnnn七、(10分)設(shè)為兩列隨機(jī)變量，0).求證d,/,cnn . ,n八、(20分)設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，都服從 U-1,1. 求證:n3/n,kk,1 (1)依分布U斂于 N(0,1);nn2n/()/()3,kk,kk11 (2)依分布U斂于 N(0,1).浙江大學(xué)2003 - 2004學(xué)年第一學(xué)期期末考試概率論課程試卷開

32、課學(xué)院:任課教師:姓名:專業(yè):學(xué)號(hào):考試時(shí)問:分鐘題序一二三四五六七總分得分評(píng)卷人簽名一、(15分)給出下列定義1( 1(概率的公理化定義PA(,),P(A),答：為樣本空間，為事件域。概率是定義在上的實(shí)值集函數(shù):,并且滿足下列條件：A,P(A),0(1)(非負(fù)性)對(duì)任一；P(,),1(2)(規(guī)范性)；A,A, ? ,A, ? 12n,(3)(可列可加性)若是中兩兩互不相容的事件，則,P(A),P(A),nnnn11,。 (5分)2( 2(隨機(jī)變量,(,)(,P)RB 答:設(shè)是定義在概率空間上的單值實(shí)函數(shù)，且對(duì)于上的任一波雷 爾集有,1,(B),:,(,),B,(,)就稱為隨機(jī)變量。(5分)3

33、(弱)大數(shù)定律，ab(,P)nnn 大：設(shè)是定義在概率空間上的隨機(jī)變量列，如果存在常數(shù) 列和使得P1n,b,0(n,),kn,1kan,n則稱服從(弱)大數(shù)定律。(5分)n二、(14分)投擲次均勻硬幣，求出現(xiàn)正反面次數(shù)相等的概率。nn解若為奇數(shù)，顯然，出現(xiàn)正反面次數(shù)不可能相等，故所求概率為0;若為偶數(shù)，”出現(xiàn)n/2n正反面次數(shù)相等”等價(jià)于“出現(xiàn)正反面次數(shù)各次”，投擲次均勻硬幣，可以看作伯努,0,n 為奇數(shù),2 分,1n/2n,n/2,nC()nC2,n 為偶數(shù).12 分,n,2里概型，故這時(shí)概率為：。故所求為：。,p(x)p(x),p(,x) 三、(15分)設(shè)隨機(jī)變量具有對(duì)稱的分布密度函數(shù)，即

34、，記它的分布F(x)a,0函數(shù)為。證明對(duì)任意的，有a1F(,a),1,F(a),p(x)dx,02(1);P(|,|,a),2F(a),1(2);P(|,|,a),2(1,F(a)(3)。p(x),p(,x) 解(1)由于，故010,a,ap(x)dx,p(x)dx,p(x)dxp(x)dx,p(x)dx,0,aa2, 因而，aaF(,a),p(x)dx,p(x)dx,p(x)dx,p(x)dx,1,F(a),a,a00a1F(,a),p(x)dx,p(x)dx,p(x)dx,p(x)dx,a02,即證(1)式;(7分)P(|,|,a),P(,a,a),F(a),F(,a),2F(a),1(2

35、)由(1)式，即得(2)式;(4分)P(|,|,a),1,P(|,|,a),1,(2F(a),1),2(1,F(a)(3)分)由(2)式，即得式。(4,inAA四、(14分)設(shè)為次獨(dú)立試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù)，若已知第次試驗(yàn)時(shí)事件 出現(xiàn)的p(i,1,2,? ,n)E,D,i概率為，求。1,若第i次試驗(yàn)A發(fā)生,i0, 若第i次試驗(yàn)A不發(fā)生.i,1,2,? ,n,解記，n,i,i1 則由題意，。(6分)22E,p,E,piiii顯然：，由期望，方差性質(zhì)：nn,E,E,p,ii,1,1iinnn2Var,Var,(p,p),p(1,p).,iiiii,1,1,1iii(8分),a, b,c, , d11

36、五、(14分)已知隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)為，求與的相關(guān)系a,b,c,da,c數(shù)，其中均為常數(shù)，皆不為0。解由于,Cov(,),Cov(a, b,c , d)11,Cov(a,c)， Cov(b,c) ， Cov(a,d) ， Cov(b,d),acCov(,),(6分)22Var,Var(a, , b),aVar,Var,Var(c, , d),cVar,.(4分)11,注意到與的相關(guān)系數(shù)為，故,1,ac 異號(hào),Cov(,)ac11,11|ac1a,c同號(hào).VarVar,12(4分)221,(x,2xy , y)(,)pxy,e(,)U, ,2，六、(14 分)設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，記，V,U

37、V ,求與的聯(lián)合密度，并證明它們之間相互獨(dú)立。x,(u , v)/2,u,x , y,1/21/2,J,1/2,v,x,y.y,(u,v)/2.1/2,1/2,解 作變 換，得，其雅可比行列式為,(4分)(U,V)則的聯(lián)合概率密度函數(shù)為22,1(u , v)2(u , v)(u,v)(u,v)1,p(u,v),exp,(, ,44422,12,22, 222,exp(,u)exp(,v).44,22(8分)UV為可分離變量，故與相互獨(dú)立。(2分),n,1,n七、（14分）設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，都服從參數(shù)為的指數(shù)分布。記n,E(,),kk,1k,nnVar,k,1k,nn通過計(jì)算的特征函數(shù)

38、證明服從中心極限定理。,n,1,n 證：由于是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，故11it,1,(),(1,).t2,1E,1/,Var,1/,其特征函數(shù)為(4E,111,1nnnVar,k,k1由特征函數(shù)性質(zhì)，的特征函數(shù)為：it,it,1,n(t),(1,),e,1,nitn,n,itn,(,(t),(1,),e,1n,nn故的特征函數(shù)為：(4根據(jù)級(jí)數(shù)展開，可得2nnt22,itt1itt12,1itn,n,itn,(t),(1,),e,1nn，,o(),1, ， o(),e,nn2nnnn,由逆極限定理，證畢。(4概率論試卷（五）一、填充題（每空格3分）（1）概率論的公理化定

39、義中，概率是,(2) 設(shè)(),N(0,1;1,4,1/2),則 COV()=.,(3)設(shè)營業(yè)員在單位時(shí)間接待顧客數(shù)服從參數(shù)為的普阿松分布，則該營業(yè)員在接待兩位 顧客之間的“等待時(shí)間”服從 分布.,/n (4) 設(shè),貝U t=,t(n) 分布.二、是非題(每小體3分)(先回答“？”或"X”，再簡述理由).(1)若一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A至少發(fā) 生兩次223Cpp()1,5的概率為.,? 12n (2)設(shè)相互獨(dú)立，則它們兩兩不相關(guān).2,t) (3)f(t)=1/(1 是某隨機(jī)變量的特征函數(shù).,(4) 設(shè),N(0,1), ,N(1,4),相關(guān)系數(shù)=1/2

40、,則(),N(0,1;1,4,1/2).1,|xe,2 三、(18分)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為p(x)=, ,x.2, , /21, (1)求的密度;(2)求的密度；,(3)求 E; (4)求 Var;Var, (5)求概率 P(<).四、(10分)5張卡片上各寫號(hào)碼1,2,3,4,5. 有放回地抽出3張卡片，求其上 號(hào)碼總和的數(shù)學(xué)期望和方差,五、(12分)設(shè)隨機(jī)向量()的聯(lián)合密度為1122exp,(xrxyy, , 222(),r21,xy,r21 p(x,y)=),.,(1)求證與相互獨(dú)立；,(2)判斷各自服從什么分布(密度，名稱)，六、(8分)某計(jì)算機(jī)系統(tǒng)有60個(gè)終端，每個(gè)終端有40%

41、勺時(shí)間在試用；若各終 端使用與否是相互獨(dú)立的，求同時(shí)有多于 40個(gè)終端在使用的概率.已知：x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.0 2.5 3.0(x) 0.841 0.864 0.885 0.903 0.919 0.933 0.977 0.994 0.99922ft()|七、(8分)設(shè)f(t)是特征函數(shù)，求證與|f(t)也是特征函數(shù).,()xa,e,xa,0,min,? ,xa,nnn1,八、(8 分)設(shè)獨(dú)立同分布，密度為P(x)=,.P,an 求證:.,n 九、(12分)設(shè)和是一列隨機(jī)變量，求證：dPPd,c,cnnnn (1)如果，則；(2)如果，(c 為常數(shù))，則.概

42、率論試卷(六)一、填充題(每空格3分),(1)設(shè)事件 ABC 則 P(A)+P(B)1+P(C).,b, (2) 若 Cov()存在，則對(duì)任意常數(shù) a,b , Cov(a)=.n1,i2,n,n1,1i (3) 設(shè)為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，N(a,),.則,.,(4)關(guān)于的方差和數(shù)學(xué)期望之間的關(guān)系式一切貝曉夫不等式是指(5)在1500件產(chǎn)品中設(shè)有100件次品，任取10件，則抽到次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為二、是非題(每小題3分)(先回答“？”或"X”，再簡述理由).則他射擊次數(shù)(1)某人射擊，每次中標(biāo)的概率為p.連續(xù)射擊，擊不中即停，限射5次,服從參數(shù)為p的幾何分布.,121212 (2)Va

43、r(-)=Var+Var的充分必要條件是與互不相關(guān).,ff1211 (3) 設(shè)，的特征函數(shù)分別為(t)與(t),且它們聯(lián)合分布的特征函數(shù)ttftft,)()(),12112212 f(,則，相互獨(dú)立.wFx(),Fx(),nnn (4)設(shè)隨機(jī)變量，的分布函數(shù)分別為與F(x),若F(x),則P,n .,12三、(21分)設(shè)，相互獨(dú)立，都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布.,1122 (1) 寫出(,)的聯(lián)合密度和聯(lián)合分布函數(shù)；(2)計(jì)算P(+<1);,/2,/2,11,12ee (3) 求刀=max(,)的密度;(4) 計(jì)算 E; (5)計(jì)算 Var();,12n四、(7分)設(shè)，的數(shù)學(xué)期望都為0,方差都為1,兩兩間相關(guān)系數(shù)都為P .2nn,j,i, jn1i,1求與的相關(guān)系數(shù).1122()xrxyy, 222