1、新人教版八年級下冊勾股定理典型例習題一、 經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例.在ABC中，C90 已知 AC6 ， BC8求 AB 的長已知AB17 ， AC15 ，求 BC 的長分析：直接應用勾股定理a 2b2c2解： ABAC2BC210 BCAB2AC28題型二：利用勾股定理測量長度例題 1 如果梯子的底端離建筑物9 米，那么15 米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一” 的題。把實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型后，.已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！2222222根據(jù)勾股定理 AC+BC=AB, 即 AC+9 =

2、15 ,所以 AC=144, 所以 AC=12.例題 2 如圖（ 8），水池中離岸邊D點 1.5米的 C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC 的長是 0.5 米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B 恰好落到 D 點，并求水池的深度AC.CABD解析： 同例題1 一樣，先將實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，如圖 2. 由題意可知 ACD中 , ACD=90°, 在 Rt ACD中，只知道 CD=1.5，這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類型。標準解題步驟如下（僅供參考）：解： 如圖 2，根據(jù)勾股定理，222AC+CD=AD設(shè)水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.5 2=

3、（ x+0.5 ） 2解之得 x=2.故水深為2 米.題型三 ：勾股定理和逆定理并用例題 3 如圖 3，正方形 ABCD中， E 是 BC邊上的中點， F 是 AB上一點，且 FB1 AB4那么 DEF是直角三角形嗎？為什么？解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點摸不著頭腦。 仔細讀題會意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由FB1 AB 可以設(shè) AB=4a，那么 BE=CE=2 a,AF=3a,4BF= a, 那么在 Rt AFD 、Rt BEF和 Rt CDE中，分別利用勾股定理求出DF,EF 和 DE的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷DEF是否是直角三角形。詳細解題步

4、驟如下：解： 設(shè)正方形 ABCD的邊長為 4a, 則 BE=CE=2a,AF=3 a,BF=a222222在 Rt CDE中， DE=CD+CE=(4 a)+(2 a) =20 a同理 EF2=5a2, DF 2=25a2在 DEF中， EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2 DEF是直角三角形，且DEF=90° .注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習題。題型四 ：利用勾股定理求線段長度例題 4 如圖 4，已知長方形 ABCD中 AB=8cm,BC=10cm,在邊 CD上取一點 E，將 ADE折疊使點 D 恰好落在 BC邊上的點 F，求 CE的長 .解析

5、： 解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。注：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直例題 5 如圖 5，王師傅想要檢測桌子的表面AD邊是否垂直與AB 邊和 CD邊，他測得 AD=80cm， AB=60cm， BD=100cm，AD邊與 AB 邊垂直嗎？怎樣去驗證AD邊與 CD邊是否垂直？解析：由于實物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗證。如圖 4，矩形 ABCD表示桌面形狀，在AB上截取 AM=12cm,在 AD上截取 AN=9cm(想想為什么要設(shè)為這兩個長度？) ，連結(jié) MN，測量 MN的長度。222如果 MN

6、=15,則 AM+AN=MN, 所以 AD邊與 AB邊垂直；如果 MN=a 15, 則 92+122=81+144=225,a2 225, 即 92+122 a2，所以 A 不是直角。利用勾股定理解決實際問題例題 6 有一個傳感器控制的燈， 安裝在門上方， 離地高 4.5 米的墻上，任何東西只要移至 5 米以內(nèi)， 燈就自動打開， 一個身高 1.5 米的學生， 要走到離門多遠的地方燈剛好打開？解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5 米還是腳先距離燈5 米，可想而知應該是頭先距離燈 5 米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，如圖 6 所示， A 點表示控制燈， BM表示人的高度， B C MN,BCAN當頭（

7、B 點）距離 A 有 5 米時，求 BC的長度。已知 AN=4.5 米 , 所以 AC=3米，由勾股定理，可計算 BC=4米. 即使要走到離門 4 米的時候燈剛好打開。題型六 ：旋轉(zhuǎn)問題：例 1、如圖， ABC 是直角三角形， BC 是斜邊， 將 ABP 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn)后， 能與 AC P重合，若 AP=3，求 PP的長。變式 1：如圖， P 是等邊三角形ABC內(nèi)一點， PA=2,PB=23 ,PC=4, 求 ABC的邊長 .分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將BPA繞點 B逆時針選擇 60°，將三條線段集中到同一個三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個直角三角形.變式 2、如

8、圖， ABC為等腰直角三角形， BAC=90°， E、 F是BC上的點，且 EAF=45°，試探究 BE 2、 CF 2、 EF 2 間的關(guān)系，并說明理由 .題型七 ：關(guān)于翻折問題例 1、如圖，矩形紙片 ABCD的邊 AB=10cm，BC=6cm，E 為 BC上一點，將矩形紙片沿 AE 折疊，點 B 恰好落在 CD邊上的點 G 處，求 BE的長 .變式：如圖， AD 是 ABC的中線， ADC=45°，把 ADC 沿直線 AD 翻折，點C 落在點 C的 位 置 ，BC=4,求 BC的長 .題型八 ：關(guān)于勾股定理在實際中的應用：例 1、如圖，公路 MN 和公路 PQ

9、 在 P 點處交匯， 點 A 處有一所中學，AP=160 米，點 A 到公路 MN 的距離為80 米，假使拖拉機行駛時，周圍 100 米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN 上沿 PN 方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是 18 千米 /小時，那么學校受到影響的時間為多少？題型九 ：關(guān)于最短性問題例 5、如右圖 1 19，壁虎在一座底面半徑為2 米，高為 4 米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B 處有一只害蟲， 便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊結(jié)果，

10、壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（取 3.14，結(jié)果保留1 位小數(shù)，可以用計算器計算）變式：如圖為一棱長為3cm 的正方體，把所有面都分為9 個小正方形，其邊長都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A 點沿表面爬行至右側(cè)面的最少要花幾秒鐘？B 點，三、 課后訓練：一、填空題1如圖 (1) ，在高 2 米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需_米DCBDEOAABC第 4題圖F圖(1)第 3題圖2種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內(nèi)部底面半徑為2.5 ，高為 12 ，吸管放進杯里，杯口外面至少要露出 4.6 ，問吸管要做。3

11、已知： 如圖， ABC 中， C = 90 ，°點 O 為 ABC 的三條角平分線的交點，點D 、 E 、 F 分別是垂足，且BC = 8cm ， CA= 6cm ，則點O 到三邊OD BC，OEAC ，OF AB ， AB ， AC 和 BC 的距離分別等于cm4在一棵樹的 10 米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20 米處的池塘的A 處。另一只爬到樹頂D 后直接躍到 A 處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高_ 米。A20235. 如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20dm、 3dm、2dm， A 和 B 是這個臺階兩個相對的端點，A 點有

12、一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是 _.B二、選擇題1已知一個 Rt的兩邊長分別為 3 和 4，則第三邊長的平方是（）A、25B 、14C、 7D、7 或 252 Rt一直角邊的長為 11，另兩邊為自然數(shù)，則Rt 的周長為（）A、121B、 120C、 132D、不能確定3如果 Rt兩直角邊的比為5 12，則斜邊上的高與斜邊的比為（）A、60 13B 、5 12C、 12 13D、60 1694已知 Rt ABC中， C=90°，若 a+b=14cm， c=10cm，則 Rt ABC的面積是（）A 、 24cm2B、 36cm2C、 48cm2D、 60cm25等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則三角形的面積為（）A、56B、 48C、 40D、 326某市在舊城改造中， 計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價 a 元，則購買這種草皮至少需要（）AEDA 、 450a 元B 、225a 元C、 150a 元D、300a 元20m30m150°BC第6題圖F第 7題圖7已知，如圖長方形ABCD中， AB=3cm， AD=9cm，將此長方形折疊