1、5.7 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示向量數(shù)量積的基本計(jì)算例 已知 a2,3 ， b1,4 ， c5,6 ，求 a bc 和 ab c 分析 ：運(yùn)用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算解： ab213 410,ab c105,650,60 ；bc1 54619,a bc2,31938,57 小結(jié) ：通過本題檢驗(yàn)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算不具有結(jié)合律方程與數(shù)量積結(jié)合例1、在直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A( x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ； x1 ， x2 是一元二次方程2x22axa240兩個不等實(shí)根，且A 、 B 兩點(diǎn)都在直線 yxa 上（1）求 OA OB ；（ 2） a 為何值時 OA 與 OB

2、夾角為3分析： 根據(jù)韋達(dá)定理知x1x2a24，而 y1x1a ， y2x2a ，則2y1 y2(x1a)(x2 a)x1x2a( x1x2 )a2，從而OA OBx1 x2y1 y2 ， 可 求我們知道OA OBOAOB cos，OA OB2222怎樣用 aOA OB.(x1y1 )( x2y2 )3表示呢？由本題意可推導(dǎo)出y1 x2 ， y2x1 ，由此 OA OB 可用 a 表示，進(jìn)而可得 a 的方程，并解出 a 的值解：（ 1）x1 、 x2 是方程 2 x22axa240 兩個不等實(shí)根，4a 28(a 24) 0解之 2 2 a 2 2x1x21 (a24) ， x1x2a2又A 、

3、B 兩點(diǎn)都在直線yxa 上，y1 y2(x1a)( x2a)x1 x2a( x1x2 ) a21(a24)2OA OBx1 x2y1 y2a24（ 2）由題意設(shè)a8 a2a8 a 2x12， x22y1x1 aa8 a2x2 ，同理 y2x12OA OB(x12y12 )( x22y22 )x12x22( x1x2 ) 22 x1 x24當(dāng)OA與OB夾角為時， OA OBOA OB cos34 1232a24 2解之 a6 (2 2,22 )a6 即為所求小結(jié)： 通過本題解答可知，當(dāng)22a 2 2 時， OA OB4 為定值，且點(diǎn) A ， B關(guān)于直線 yx 對稱當(dāng) OAOB時，由OA OB0得

4、 a240 a2 ，此時兩點(diǎn)坐 標(biāo) 是 A( 0,2) ， B(2,0) 或A( 0,2)，B( 2,0)，本題也可以得出以下結(jié)果，當(dāng)22a2 或 2a22 時，AOB 是銳角三角形； 當(dāng) a2 時，ABC 是直角三角形；當(dāng)2a2 ，且 a0 時，ABC 鈍角三角形利用坐標(biāo)形式證明向量垂直例 1 已知兩個非零向量 a 和 b 滿足 a bab ，求證： ab 分析： 將已知條件代數(shù)化，通過代數(shù)變換得到代數(shù)結(jié)論，再將代數(shù)結(jié)論幾何化證明： 設(shè) ax1, y1， bx2 , y2，則 a bx1 x22y1y22 ， a bx1x22y1 y22 a b a b ，x12y12x12y12x2y2x

5、2y2 ，化簡得 x1x2y1 y20 ，即 ab 小結(jié)：本題運(yùn)用向量的坐標(biāo)形式來解決垂直問題， 其實(shí)并不一定非用這個方法， 而且這個方法還不是最簡單的，只是通過本題使學(xué)生熟悉這種證明方法利用坐標(biāo)證明向量相等與垂直例 1如圖所示， 四邊形 ADCB 是正方形， P 是對角線 DB 上的一點(diǎn)， PFCE 是矩形 試用向量法證明：（1） PAEF ；（ 2） PAEF 分析： 如果我們能用坐標(biāo)來表示PA 與 EF ，則要證明的兩結(jié)論，只要分別用兩點(diǎn)間的距離公式和兩向量垂直的充要條件進(jìn)行驗(yàn)證即可因此只要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得到點(diǎn)A、B、E、F 的坐標(biāo)后，就可進(jìn)行論證證明 ：以點(diǎn) D 為坐標(biāo)原點(diǎn)， DC

6、 所在直線為 x 軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為 lDP，則 A(0,1), P2 ,2,E 1,2, F2,02222于是 PA2,12, EF21,222222222（ 1）PA1221 ，222222EF1221 ，22 PAEF （ 2）PA EF22112222222212200 ，22122 PA EF小結(jié)：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中， 就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)， 這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算， 從而使問題得到解決 這種解題方法具有普遍性， 應(yīng)該把它掌握好，其中坐標(biāo)系的建立很重要，它關(guān)系到運(yùn)算的簡與繁平面向量的坐標(biāo)形式最值例 1、平面內(nèi)有向量OA(1,7)

7、, OB(5,1), OP(2,1) ，點(diǎn) X 為直線 OP 上的一個動點(diǎn)（ 1）當(dāng) XAXB 取最小值時，求OX 的坐標(biāo)；（ 2）當(dāng)點(diǎn)X 滿足（1）的條件和結(jié)論時，求cosAXB的值分析： 因?yàn)辄c(diǎn)X 在直線OP上，向量OX與 OP共線，可以得到關(guān)于OX坐標(biāo)的一個關(guān)系式；再根據(jù)XA XB 的最小值，求得OX，而 cosAXB 是向量XA 與XB夾角的余弦，利用數(shù)量積的知識容易解決解：（ 1）設(shè)OX(x, y) 點(diǎn)X 在直線OP上，向量OX與 OP共線又OP(2,1)， x1y20 ，即 x 2y OX ( 2y, y) 又XAOA OX ,OA (1,7) ，XA(12 y,7y) 同樣XBO

8、BOX(52y,1y) 于是XAXB(1 2y)(52 y)(7y)(1y)4 y212 y 5 y 28 y 75y220 y125( y2)28.由二次函數(shù)的知識，可知當(dāng)y 2時， XAXB 5( y 2) 2 8 有最小值 8 此時OX (4,2) （ 2）當(dāng) OX (4,2) 時，即 y2 時，有XA( 3,5), XB(1,1)XA34, XB2,XAXB( 3)1 5( 1)8.XA XB84 17cos AXB34 2XA XB17小結(jié) ：由于 X 是 OP 上的動點(diǎn)，則向量XA, XB 均是不確定的，它們的模和方向均是變化的，于是它們的數(shù)量積XA XB 也處在不確定的狀態(tài)，這個

9、數(shù)量積由XA與XB的模 XA與 XB 及它們的夾角三個要素同時決定的，由解題過程即可以看出它們都是變量y 的函數(shù)另外，求出XA 與 XB 的坐標(biāo)后，可直接用坐標(biāo)公式求這兩個向量夾角的余弦值求四邊形的頂點(diǎn)例 1、已知四邊形ABCD ， A( 1,1) ， B(10,1) ， C(8,10) ， AB / DC ， ACBD ，求： D 點(diǎn)的坐標(biāo)分 析 ： 由 AB / DC 可 設(shè) D 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為 (a,10) ， 再 由 向 量 坐 標(biāo) 運(yùn) 算 公 式 ， 可 求 得AC(9,9) ，BD(a10,9) ，根據(jù) ACBDAC BD0 及坐標(biāo)公式， 列得關(guān)于 a 的方程解之即可解：AB /

10、DC可設(shè) D 點(diǎn)坐標(biāo)為 (a,10)由 A( 1,1) ， B(10,1) ， C(8,10) 得AC(9,9) ， BD(a10,9)ACBDAC BD09( a10)9 90解之， a1D 點(diǎn)坐標(biāo)是 (1,10)小結(jié)：有了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示， 把向量數(shù)量積化為坐標(biāo)問題， 不需向量的模和向量的夾角，在直角坐標(biāo)系中解決有關(guān)圖形和點(diǎn)的坐標(biāo)等問題，具有一定的優(yōu)越性思考：已知等邊三角形ABC （按順時針方向排列）的A(1,1) ， B( 2,2) ，求 C 點(diǎn)坐標(biāo)略解： AB(1,1) ， AB2， ABAC，AB與AC夾角為 60 ，則AB AC( 2)2 cos601.設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo) (a,

11、b)AC(a1,b1) ，a 1b 1 a b 3 與 (a 1) 2(b 1)22聯(lián)立解之 a1 (33) ， b1(3 3)22向量垂直證明及參數(shù)確定例 1 已知： a(cos, sin), b(cos,sin)(0) （ 1）求證： ab 與 ab 互相垂直；（ 2）若 kab 與 kab 大小相等，求（其中 kR 且 k0 ）分析： 利用向量垂直的充要條件及向量模的公式解題解：（ 1）依題意知a b(coscos, sinsin), ab(coscos,sinsin) ，又 (ab) (ab)(coscos)(coscos)(sinsin)(sinsin )cos2cos2sin 2s

12、in 20.所以 (a b)(ab) （ 2）由于kab(k coscos, k sinsin) ，所以ka b1k22k cos() 又因?yàn)閗abkab ，所以2k cos()2k cos()，且 k0，故cos()0又0，所以小結(jié) ：對于（ 1）還有另解：由于2(a b) ( ab)a2b222cos2sin 2(cos2sin2) 11 0，所以ab(a b) ( ab) ；對于（ 2）也有另解：由kabkab 得 (kab) 2(kab) 2 ，進(jìn)一步有 a b0，由此可得2向量的夾角例 1已知兩個非零向量a 和 b 滿足 ab2, 8 , ab6, 4 ，求 a 與 b 的夾角的余弦值分析： 要求 a 與 b 的夾角的余弦值，首先要確定向量a 和 b ，由于已知 ab, ab 是向量的坐標(biāo)形式，所以運(yùn)用方程的思想確定a 和 b 的坐標(biāo)形式解：