1、§8.2 換元積分法與分部積分法教學目標：掌握第一、二換元積分法與分部積分法教學內容：第一、二換元積分法；分部積分法基本要求：熟練掌握第一、二換元積分法與分部積分法教學建議：(1) 布置足量的有關換元積分法與分部積分法的計算題(2) 總結分部積分法的幾種形式：升冪法，降冪法和循環(huán)法教學過程：一、第一類換元法 湊微分法：有一些不定積分，將積分變量進行適當?shù)淖儞Q后，就可利用基本積分表求出積分。例如，求不定積分，如果湊上一個常數(shù)因子2，使成為令則上述右端積分然后再代回原來的積分變量，就求得原不定積分更一般的，若函數(shù)是函數(shù)的一個原函數(shù)，是可微函數(shù)， 并且復合運算有意義，根據復合函數(shù)求導法則&

2、#160;    及不定積分的定義，有             由于           從而                      &

3、#160;     （1）綜上所述，可得如下結論定理8.4：（第一換元積分法） 設是連續(xù)函數(shù)，是的一個原函數(shù)。又若連續(xù)可微，并且復合運算有意義，則                （2）第一換元積分公式（2）說明如果一個不定積分的被積表達式能夠寫成的形式，可通過變量代換把被積表達式等同于，若不定積分    容易求得，那么再將代入，便求出原不定積分由于第一換元積分法的基本

4、手段就是將被積表達式變?yōu)榈男问?。也就是把被積函數(shù)分解成兩個因子的乘積，其中一個因子與湊成某一函數(shù)的微分，而另一因子是的函數(shù)，且經過這樣的微分變形后被積表達式變?yōu)槿菀追e分的形式，所以人們也經常稱第一換元積分法為“湊微分法”。湊微分法技巧性強，無一般規(guī)律可循，因而不易掌握，初學者只有多做練習，不斷總結經驗，才能運用自如。湊微分法1： 例、利用，求下列積分，令有再將代入，有令，有再將代入，有令再將代入，有如果運算比較熟練，為了簡化解題步驟，變量代換可以不寫出來，只需默記在頭腦中就可以了。湊微分法2、 . 特別地, 有 和 .例、利用，求下列積分解：（4）例、若被積函數(shù)利用，有如下公式求下列積分 以上

5、例都是直接利用“湊微分法”求不定積分。如果進一步把“湊微分法”與不定積分的運算性質結合起來，就可以利用基本積分表來處理非常廣泛的初等函數(shù)的積分。例、將下列被積函數(shù)先作代數(shù)恒等變形再求其不定積分湊微分法3： 例、對于與形式的積分，當是偶數(shù)時，可利用三角恒等式來降低三角函數(shù)的冪，當是奇數(shù)時，變正（余）弦函數(shù)的積分為余（正）弦函數(shù)的積分。例、 對于形式的積分，可利用三角函數(shù)的積化和差公式 例、根據例、湊微分法4： .例9、 湊微分法5 ： 例10、 湊微分法6： .例11、 .其他湊法舉例: 例12、 .例13、 例14 .例15、 . 例16、 . 例17、 例18、 .以上例子大都采用了初等數(shù)學

6、（代數(shù)或三角函數(shù)）中的運算技巧將被積函數(shù)進行適當?shù)淖冃危缓笤龠M行變量帶換。因此在作積分運算時，應該重視有關初等數(shù)學知識的靈活運用。習題：P188189 1（1）(24)；二、第二類換元法 從積分 出發(fā)，從兩個方向用湊微法計算，即 = = 在式（）中，如果容易求得，并且，則式（2）右端的不定積分。利用這個過程求不定積分的方法，稱為第二換元積分法。第二換元積分法可以確切的敘述如下。定理8.5（第二換元積分法）:設是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)可微函數(shù)，且定號，復合運算有意義。設是的一個原函數(shù)，即  則    =    

7、        （3）其中。證明：有定理假設定號，故函數(shù)存在反函數(shù)，又           于是=可見是式（3）左端不定積分的被積函數(shù)的一個原函數(shù)，所以式（3）成立。第二換元積分法指出，求式（3）左端不定積分，作變量代換，從而，于是若上式右端的不定積分               

8、0;    （4）容易求出，那么再代回原來的變量，便求出原不定積分由于第二換元積分法的關鍵在于選擇滿足定理8.5條件的變換，從而使式（4）的不定積分容易求出。那么如何選擇變換呢？這往往與被積函數(shù)的形式有關。例如，若被積函數(shù)中有根式，一般選擇適當?shù)淖儞Q來去掉根式，從而使被積函數(shù)得到簡化，不定積分容易求出。常用代換有所謂無理代換, 三角代換, 雙曲代換, 倒代換, 萬能代換, Euler代換等.以下我們著重介紹三角代換和無理代換.1、三角代換（1）正弦代換：正弦代換簡稱為“弦換”. 是針對型如的根式施行的, 目的是去掉根號. 方法是: 令, 則 例19、計算

9、解：令，且從而 =       =由圖2.1知  所以=（2）正割代換：正割代換簡稱為“割換”. 是針對型如 的根式施行的, 目的是去掉根號. 方法是: 利用三角公式 令 有 變量還愿時, 常用輔助三角形法.例20、計算  解“令存在反函數(shù)。這里僅討論的情況，同法可討論的情況。由于0<t<，從而   由圖2.2知，所以這里（3）正切代換： 正切代換簡稱為“切換”. 是針對型如的根式施行的, 目的是去掉根號. 方法是: 利用三角公式即 令 . 此時有 變量還原時, 常用所謂輔

10、助三角形法. 例21、計算（）解：令則存在反函數(shù)。且，從而=由圖2.3知   sect=     所以=這里。總結例2.192.21，有如下規(guī)律：（1）若被積函數(shù)含有，一般令或（2）若被積函數(shù)含有，一般令（3）若被積函數(shù)含有，一般令2、無理代換若被積函數(shù)是的有理式時, 設為的最小公倍數(shù),作代換, 有. 可化被積函數(shù)為 的有理函數(shù).例22、計算解：為了去掉被積函數(shù)的根式，令，即作變量代換則，從而=           = 例23、 .若被

11、積函數(shù)中只有一種根式或可試作代換或. 從中解出來. 例24、 .本題還可用割換計算, 但較繁.3、雙曲代換利用雙曲函數(shù)恒等式 , 令 , 可去掉型如 的根式. . 化簡時常用到雙曲函數(shù)的一些恒等式, 如: （參閱復旦大學 (陳傳璋等)編, 數(shù)學分析, 上冊P24.）例25、 .本題可用切換計算,但歸結為積分, 該積分計算較繁. 參閱后面習題課例3.例26、 (可用切換計算過該題. 現(xiàn)用曲換計算 ).解： .例27、 . (曾用割換計算過該題. 現(xiàn)用曲換計算 ).解 4、倒代換當分母次數(shù)高于分子次數(shù), 且分子分母均為“因式”時, 可試用倒代換例28、 .5、萬能代換萬能代換常用于三角函數(shù)有理式的

12、積分(參1P261). 令， 就有 ， ， 例29、 .解法一： ( 用萬能代換 ) .解法二： ( 用初等化簡 ) .解法三： ( 用初等化簡, 并湊微 ) 例30、 解： = .代換法是一種很靈活的方法. 習題：1P189 1(25)(27)(28)(30)三、分部積分法設與均為的連續(xù)可微函數(shù)。于是，由函數(shù)乘積的求導公式，有              或         &

13、#160;  再由不定積分的定義及線性性質，有                   即                            

14、0; （5）或                                 （6）  公式（5）或公式（6）稱為不定積分的分部積分公式。一般地說，利用分部積分公式求不定積分就是追求被積函數(shù)形式的轉變，把比較難求甚至無法求出的不定積分轉變成容易求的不定積分，

15、起到化繁為簡的作用。對于給定的不定積分作分部積分運算，通常要把被積函數(shù)分解為兩個因子的乘積，這會有多種選擇，對兩個因子中哪一個選作也會有多種選擇。選擇不同，效果不一樣的。例如，在積分中，若選擇，則                并沒有達到簡化積分計算的目的。若選擇，則          由此可見，與的選擇對于初學者來講，只有認真總結規(guī)律，才能熟練地運用分部積

16、分技巧。一般來說，在使用分部積分法求不定積分時，若被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)的乘積時，應選擇；若被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積時，應選擇。1、 冪 X 型函數(shù)的積分分部積分追求的目標之一是: 對被積函數(shù)兩因子之一爭取求導, 以使該因子有較大簡化, 特別是能降冪或變成代數(shù)函數(shù). 代價是另一因子用其原函數(shù)代替( 一般會變繁 ), 但總體上應使積分簡化或能直接積出. 對“冪”型的積分, 使用分部積分法可使“冪”降次, 或對“”求導以使其成為代數(shù)函數(shù).例31、計算下列不定積分（1）        &

17、#160;        （2）                                     （3）       &#

18、160;         （4）                                      （5）    

19、0;                                                   &#

20、160;                      2、建立所求積分的方程求積分分部積分追求的另一個目標是: 對被積函數(shù)兩因子之一求導, 進行分部積分若干次后, 使原積分重新出現(xiàn), 且積分前的符號不為 1. 于是得到關于原積分的一個方程. 從該方程中解出原積分來. 例32、 例33、 求 和 解： 解得 例34、 解： = = （參閱例41）解得 例35、 = ，解得 . 例36、 =

21、=,解得 .分部積分法也常用來產生循環(huán)現(xiàn)象，然后經過代數(shù)運算求出不定積分。例37、計算下列不定積分（1） 。設，則                          再由例21，有=故原積分       這里（2）計算和解：= =移項，整理，有   

22、      =同理可得     =在含有自然數(shù)的不定積分中，常用分部積分法來建立求不定積分的遞推公式。例38、N）解：                  =即           這就是遞推公式。例如時有=       （N，)解：設  ，則=從而                               （