1、第1章 時域離散信號和系統(tǒng)1.1 引 言本章內(nèi)容是全書的基礎。學生從學習模擬信號分析與處理到學習數(shù)字信號處理，要建立許多新的概念，數(shù)字信號和數(shù)字系統(tǒng)與原來的模擬信號和模擬系統(tǒng)不同，尤其是處理方法上有本質(zhì)的區(qū)別。模擬系統(tǒng)用許多模擬器件完成，數(shù)字系統(tǒng)用運算方法完成。如果對本章中關于數(shù)字信號與系統(tǒng)的若干基本概念不清楚，那么在學習數(shù)字濾波器時，會感到不好掌握，因此學好本章是很重要的。1.2 本章學習要點(1) 關于信號l 模擬信號、時域離散信號、數(shù)字信號三者之間的區(qū)別。l 如何由模擬信號產(chǎn)生時域離散信號。l 常用的時域離散信號。l 如何判斷信號是周期性的，其周期如何計算。(2) 關于系統(tǒng)l 什么是系統(tǒng)

2、的線性、時不變性，以及因果性、穩(wěn)定性；如何判斷。l 線性、時不變系統(tǒng)輸入和輸出之間的關系；求解線性卷積的圖解法、列表法、解析法，以及用MATLAB工具箱函數(shù)求解。l 線性常系數(shù)差分方程的遞推解法。l 用MATLAB求解差分方程。l 什么是滑動平均濾波器，它的單位脈沖響應是什么。1.3 習題與上機題解答1.1 用單位脈沖序列及其加權和表示圖P1.1所示的序列。解：1.2 給定信號(1) 畫出x(n)的波形，標上各序列值；(2) 試用延遲的單位脈沖序列及其加權和表示x(n)序列；(3) 令，畫出的波形；(4) 令，畫出的波形。解：(1) 畫出x(n)的波形，如圖S1.2.1所示。 圖P1.1 圖(

3、2) 。(3) 畫出的波形，如圖S1.2.2所示。(4) 畫出的波形，如圖S1.2.3所示。1.3 判斷下列信號中哪一個是周期信號，如果是周期信號，求出它的周期。 圖 圖 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 解：(a) 是非周期信號。(b) 是周期信號，取M = 97，周期為20。(c) 是周期信號，取M = 4，周期為5。(d) 是周期信號，周期為14。(e) 是周期信號，周期為14。(f) 是非周期信號?？偨Y以上，如果數(shù)字頻率不是的函數(shù)，則一定是非周期序列。1.4 對圖P1.1給出的x(n)，要求：(1) 畫出x(-n)的波形； (2) 計算，并畫出的波形；(3) 計算，并畫出

4、的波形；(4) 令，將和x(n)進行比較，你能得出什么結論？解：(1) 畫出x(-n)的波形如圖S1.4.1所示。(2) 將圖P1.1所示波形和圖S1.4.1所示波形相加再除以2，得到的波形，如圖S1.4.2所示。 圖 圖S1.4.2(3) 將圖P1.1所示波形和圖S1.4.1所示波形相減，再除以2，得到的波形，如圖S1.4.3所示。圖S1.4.3(4) 令，畫出波形，得到。另外，由波形得到 是x(n)的偶對稱序列，是x(n)的奇對稱序列。這是一個具體例子，但可以推廣到一般情況，結論是對于一般實序列可以分解成偶對稱序列和奇對稱序列，即 ，式中，。1.5 以下序列是系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)，試

5、說明系統(tǒng)是否是因果的和穩(wěn)定的。(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)解：(1) ，系統(tǒng)是因果、不穩(wěn)定。 (2) ，系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。(3) ，系統(tǒng)是因果的，但不穩(wěn)定。(4) ，系統(tǒng)是非因果、穩(wěn)定的。(5) ，系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。 (6) ，系統(tǒng)是非因果的，不穩(wěn)定。1.6 假設系統(tǒng)的輸入和輸出之間的關系分別如下式所示，試分別分析系統(tǒng)是否是線性時不變系統(tǒng)。(1) (2) (3) (4) 解：(1) 將上式中的n用代替，得到。令，因此，系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。令系統(tǒng)的輸入信號為兩個信號的線性組合，則輸出為，因為，因此該系統(tǒng)不服從線性疊加原理，是非線性系統(tǒng)。(2) 分析方法同上，該系統(tǒng)是時

6、不變非線性系統(tǒng)。(3) 由上式有 因此，該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。令系統(tǒng)的輸入信號為兩個信號的線性組合，則輸出為因為，因此該系統(tǒng)服從線性疊加原理，是線性系統(tǒng)。(4) 由上式得到 這樣，該系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。按照差分方程，可把系統(tǒng)看成是一個放大器，放大器的放大量是n，因為該放大量隨n改變，從物理概念上講，該系統(tǒng)也是一個時變系統(tǒng)。令系統(tǒng)的輸入信號為兩個信號的線性組合，則輸出為，因為，因此該系統(tǒng)服從線性疊加原理，是線性系統(tǒng)。1.7 按照圖P1.7完成下面各題。圖P1.7(1) 根據(jù)串并聯(lián)系統(tǒng)的原理直接寫出總的系統(tǒng)單位脈沖響應h(n)；(2) 設， ，試求總的系統(tǒng)單位脈沖響應h(n)，并推出y(n)和輸入x

7、(n)之間的關系。解：(1) 。(2) 在下面的推導中，用一些常用的公式，會使推導簡便，它們是，； ，在(1)式中， 或者 1.8 由三個因果線性時不變系統(tǒng)串聯(lián)而成的系統(tǒng)如圖P1.8(a)所示，已知分系統(tǒng)整個系統(tǒng)的單位脈沖響應如圖P1.8(b)所示。(1) 求分系統(tǒng)單位脈沖響應；(2) 如果輸入，求該系統(tǒng)的輸出y(n)。圖P1.8解：(1) 按照圖P1.8(a)寫出系統(tǒng)的單位脈沖響應如下： 式中，。已知h(n)，求。上式是一個遞推公式，用遞推法求解。求解時注意系統(tǒng)是一個因果系統(tǒng)。； ； ； ； 。最后得到當n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,時，(2) 將已求出的代入上式，得

8、到當n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,時, 。1.9 計算并畫出圖P1.9所示信號的卷積。圖P1.9(a) (a)所示。(b) (b)所示。(c) (c)所示。(d) (d)所示。圖1.10 證明線性卷積服從交換率、結合率和分配率，即證明如下等式成立：(1) (2) (3) 解：證明如下：(1) 因為 令(2) 利用上面已證明的結果，得到交換求和號的次序，得到(3) 1.11 已知系統(tǒng)的輸入x(n)和單位脈沖響應h(n)，試求系統(tǒng)的輸出y(n)。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：(1) ，原點在第一個1處。(2) ，原點在第一個2處。(3) 。(4) 該題

9、解的方法和主教材中的例題1.3.3相同，；，n0，y(n) = 0，非零值范圍為，因此，非零區(qū)間為，因此結果為 (5) 。為了計算方便，將上式寫成采用列表法，計算過程如表S1.11.1所示。表S1.11.1 m-4-3-2-101234563x(m)0123456h(m)11111h(-m)111113y(0) = 3h(1-m)111113y(1) = 6h(2-m)111113y(2) = 10h(3-m)111113y(3) = 15h(4-m)111113y(4) = 21h(-1-m)111113y(-1) = 1h(-2-m)111113y(-2) = 0，原點在3處。(6) ，由

10、得到。由得到。； ，；，；，；最后得到1.12 如果線性時不變系統(tǒng)的輸入和輸出分別為(1) (2) 試求出相應的系統(tǒng)單位脈沖響應。解：這是一個簡單的解線性卷積的題目，可用遞推法求解。(1) ；得到(2) 1.13 已知因果系統(tǒng)的差分方程為求系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)。解：用遞推法求解，令，y(-1) = 0，y(n) = h(n)，；歸納起來，結果為。1.14 設系統(tǒng)的差分方程為，y(-1) = 0。分析系統(tǒng)是否是線性、時不變系統(tǒng)。解：分析的方法是讓系統(tǒng)輸入分別為，時，求它的輸出，再檢查是否滿足線性疊加原理和非時變性。(1) ，系統(tǒng)的輸出用表示：該情況在主教材例題中已求出，系統(tǒng)的輸出為。(2)

11、 ，系統(tǒng)的輸出用表示： 最后得到。(3) ，系統(tǒng)的輸出用表示： 最后得到。由(1)和(2)得到 因此，可斷言這是一個時不變系統(tǒng)。情況(3)的輸入信號是情況(1)和情況(2)的輸入信號的相加信號，因此。觀察，得到，因此該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。最后得到結論：用差分方程描述的系統(tǒng)，當初始條件為零時，是一個線性時不變系統(tǒng)。1.15 習題1.6和習題1.14都是由差分方程分析系統(tǒng)的線性時不變性質(zhì)，為什么習題1.6沒給初始條件，而習題1.14給了初始條件？解：系統(tǒng)用差分方程描述時，分析其線性時不變性質(zhì)，需要給定輸入信號求輸出，因此需要已知差分方程的初始條件，是幾階差分方程就需要幾個初始條件，習題1.6的差分方程

12、是零階的，因此不需要初始條件，而習題1.14是一階的，因此需要一個初始條件。1.16 設系統(tǒng)的單位脈沖響應為，系統(tǒng)的輸入x(n)是一些觀察數(shù)據(jù)，設 ，試用遞推法求系統(tǒng)的輸出y(n)。遞推時設系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零。解： 最后得到。1.17 如果線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應為求系統(tǒng)的單位階躍響應。解：單位階躍響應是系統(tǒng)輸入單位階躍序列時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，因此該題即是求系統(tǒng)對單位階躍序列的響應。系統(tǒng)的單位階躍響應用y(n)表示，即非零值區(qū)間為，最后得到。1.18 已知系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)和輸入信號x(n)分別為求系統(tǒng)的響應。解：利用習題1.17的結果，得到1.19 已知系統(tǒng)用下面的差分方程描述：

13、(1) 求系統(tǒng)的單位脈沖響應；(2) 求系統(tǒng)的單位階躍響應。解：(1) 令 n = 0，n = 1，n = 2，n = 3，n = 4，或者 (2) 該題可以直接由差分方程求單位階躍序列的響應，因為上題已求出系統(tǒng)的單位脈沖響應，因此可以直接用線性卷積求解。令，系統(tǒng)的單位階躍響應用表示，則利用習題1.17的結果得到從而有 1.20* 已知兩個系統(tǒng)的差分方程分別為(1) (2) 分別求兩個系統(tǒng)的單位脈沖響應和單位階躍響應（只求前30個序列值即可）。解：(1) 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為B1 = 1; A1 = 1, -0.6, 0.08。(2) 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為B2 = 2, 0, -1;

14、A2 = 1, -0.7, 0.1。調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計算兩個系統(tǒng)的系統(tǒng)單位脈沖響應和單位階躍響應的程序ex120.m如下：程序ex120.mB1 = 1;A1 = 1,-0.6, 0.08; 設差分方程(1)系數(shù)向量B2 = 2,0,-1; A2 = 1,-0.7,0.1; 設差分方程(2)系數(shù)向量=系統(tǒng)1xn = 1,zeros(1,30); x(n)=單位脈沖序列，長度N=31hn1=filter(B1,A1,xn); 調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號h(n)n=0:length(hn1)-1;subplot(3,2,1);stem(n,hn1,'.

15、9;)title('(a) 系統(tǒng)1的系統(tǒng)單位脈沖響應');xlabel('n');ylabel('h(n)')xn=ones(1,30); x(n)=單位階躍序列，長度N=31sn1=filter(B1,A1,xn); 調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號h(n)n=0:length(sn1)-1;subplot(3,2,2);stem(n,sn1,'.')title('(b) 系統(tǒng)1的單位階躍響應');xlabel('n');ylabel('s(n)')=系統(tǒng)2xn=1,ze

16、ros(1,30); x(n)=單位脈沖序列，長度N=31hn2=filter(B2,A2,xn); 調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號h(n)n=0:length(hn2)-1;subplot(3,2,5);stem(n,hn2,'.')title('(a) 系統(tǒng)2的系統(tǒng)單位脈沖響應');xlabel('n');ylabel('h(n)')xn=ones(1,30); x(n)=單位階躍序列，長度N=31sn2=filter(B2,A2,xn); 調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號s2(n)n=0:length(

17、sn2)-1;subplot(3,2,6);stem(n,sn2,'.')title('(b) 系統(tǒng)2的單位階躍響應');xlabel('n');ylabel('s_2(n)')程序運行結果如圖S1.20.1所示。1.21* 已知系統(tǒng)的差分方程和輸入信號分別為，用遞推法計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。解：調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計算該系統(tǒng)的系統(tǒng)響應的程序ex121.m如下：調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)響應序列B=1,0,2;A=1,-0.5; 設差分方程系數(shù)向量xn=1,2,3,4,2,1,zeros(1,24); x(n)長

18、度N=30yn=filter(B,A,xn); 調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號y(n)n=0:length(yn)-1;subplot(3,2,1);stem(n,yn,'.')title('(a) 系統(tǒng)1的系統(tǒng)單位脈沖響應');xlabel('n');ylabel('y(n)')程序運行結果如圖S1.21.1所示。1.22* 如系統(tǒng)的差分方程為式中，。(1) 編寫求解系統(tǒng)單位脈沖響應的程序，并畫出；(2) 編寫求解系統(tǒng)零狀態(tài)單位階躍響應的程序，并畫出；(3) 利用(1)中的的一段形成一個新的系統(tǒng)，該系統(tǒng)的單位脈沖響應

19、為編寫求解這個新系統(tǒng)的單位階躍響應的程序；(4) 比較(2)和(3)中求得的單位階躍響應的特點。解：調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計算該系統(tǒng)的系統(tǒng)響應的程序ex122.m如下：數(shù)字信號處理原理、實現(xiàn)及應用第1章上機題1.22程序ex122.m 電子工業(yè)出版社出版 高西全 丁玉美 闊永紅編著 2006年8月調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)單位脈沖響應和單位階躍響應B=0.866;A=1,-0.8,0.64; 差分方程系數(shù)向量=(1) 求解系統(tǒng)單位脈沖響應，并畫出h(n) xn=1,zeros(1,48); x(n)=單位脈沖序列，長度N=31hn=filter(B1,A1,xn); 調(diào)用fi

20、lter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號h(n)n=0:length(hn)-1;subplot(3,2,1);stem(n,hn,'.')title('(a) 系統(tǒng)的單位脈沖響應');xlabel('n');ylabel('h(n)')=(2) 求解系統(tǒng)單位階躍響應，并畫出h(n) xn=ones(1,100); x(n)=單位階躍序列，長度N=100sn=filter(B,A,xn); 調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)單位階躍響應s(n)n=0:length(sn)-1;subplot(3,2,2);stem(n,sn,'

21、.');axis(0,30,0,2)title('(b) 系統(tǒng)的單位階躍響應');xlabel('n');ylabel('s(n)')=(3) 求解截取15點的FIR系統(tǒng)單位階躍響應，并畫出s(n) for m=1,15, hnfir(m)=hn(m);endsn=filter(B,A,xn); 調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)單位階躍響應s(n)n=0:length(sn)-1;subplot(3,2,6);stem(n,sn,'.');axis(0,30,0,2)title('(c) FIR系統(tǒng)的單位階躍響應

22、');xlabel('n');ylabel('s(n)')程序運行結果如圖S1.22.1所示。 圖P1.22.1(b)和(c)的波形基本相同，由此可見，有些IIR數(shù)字濾波器可以用FIR數(shù)字濾波器逼近，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應可以通過截取IIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應的一段得到，截取長度足夠長時，逼近誤差很小。1.23* 在圖P1.23中，有四個分系統(tǒng)，分別用下面的單位脈沖響應或者差分方程描述： 編寫程序計算整個系統(tǒng)的單位脈沖響應。圖P1.23解：由圖P1.23可知，可以采用以下步驟計算整個系統(tǒng)的單位脈沖響應。設，該式調(diào)用conv函數(shù)計算。，該式調(diào)用

23、filter函數(shù)計算。調(diào)用MATLAB函數(shù)conv和filter計算該系統(tǒng)響應的程序ex123.m如下：數(shù)字信號處理原理、實現(xiàn)及應用第1章上機題1.23程序ex123.m 電子工業(yè)出版社出版 高西全 丁玉美 闊永紅編著2006年8月調(diào)用conv和filter求總系統(tǒng)單位脈沖響應序列h1n=1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32; 對h1(n)賦值 h2n=ones(1,6);h3n=1/4,1/2,1/4,zeros(1,97);計算v(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n)h12n=conv(h1n,h2n); h12n=h12n,zeros(1,89);vn=h12n+h3n;調(diào)用filer計算h(n)等于T4對v(n)響應B4=1,1;A4=1,-0.9,0.81;hn=filter(B4,A4,vn);以下為繪圖部分n=0:length(hn)-1;subplot(2,1,1);stem(n,hn,'.')xlabel('n');ylabel('h(n)')程序運行結果如圖S1.23.1所示。圖S1.23.11.24 (a) 寫出3項滑動平均濾波器的差分方程和單位脈沖響應。(b)* 設3項滑動平均濾波器的輸入信號為，畫出該濾波器的輸入和輸出的前15個序列值。解：(a) 3項滑動平均濾波器的差分方程和單位脈沖響應