1、土地測繪地塊面積統(tǒng)計過程中數(shù)值進位的誤差分析    黎展榮1.2 楊如軍2（1 武漢大學遙感信息工程學院 武漢市珞瑜路129號 4300792 南寧市國土資源局 南寧市東寶路3號 530022）【摘要】在土地征地和土地調(diào)查工作中，經(jīng)常會對將一個區(qū)域劃分成多個子區(qū)進行面積匯總，由于對子區(qū)進行數(shù)值進位，會造成最后匯總數(shù)據(jù)與外圍區(qū)域面積的不相等。這樣的差異會有多大，會有怎樣的特征，這就是本篇文章要討論的問題?！娟P鍵詞】進位誤差 面積統(tǒng)計【中圖分類號】P 231 一、問題來源在進行城市道路建設過程中，經(jīng)常會涉及面積統(tǒng)計的工作。由于規(guī)范上的需要或其他原因，數(shù)據(jù)會進

2、行保留一定位數(shù)的進位處理，這會給最終的數(shù)據(jù)統(tǒng)計帶來一些“不合理的結(jié)果”。例如：下圖實線包圍的區(qū)域被虛線劃分為多個子區(qū)，計算機通過外圍的邊界點，可以計算出面積A，根據(jù)四舍五入的規(guī)則取整數(shù)數(shù)值。各個子區(qū)根據(jù)邊界點的坐標，也可以計算出相應的面積，將子區(qū)面積取整后，再匯總得到面積A_Sum。實際的情況中，往往A_SumA。圖1 區(qū)域劃分Fig.1 Divided Patches這類由于數(shù)值進位帶來的誤差，會給實際工作帶來不小的麻煩。盡管在數(shù)值分析、誤差處理等資料中，都提到進位誤差的問題，但對本文所考慮的這種類型的具體案例，作者沒有查找到詳細分析的技術文章。而應用中，許多進行統(tǒng)計工作的技術員也知道數(shù)值進

3、位帶來了數(shù)據(jù)統(tǒng)計的誤差，但這樣的誤差影響有多大，有怎樣的特點，他們并不了解，為此，作者將在文章中對這個命題進行詳細的討論（注：本篇文章的面積單位默認為平方米，不專門標注，采用其他面積單位不影響文章內(nèi)容的討論）。二、地塊面積的計算方法為精確計算計算地塊面積，首先要獲取每個地塊的坐標。在本篇文章中，我們只考慮折線多邊形的情況，在實際的工作中，曲線都可以通過插值擬和來轉(zhuǎn)換成折線。折線多邊形面積的計算是采用解析法。（1）假設多邊形有n個頂點，多邊形各頂點坐標為（2）多邊形面積為：，其中三、隨機現(xiàn)象分析1、隨機現(xiàn)象對于給出整數(shù)面積為A的區(qū)域，被隨機地劃分成n個子區(qū)，子區(qū)的面積為Si（i=1，2n），用R

4、ound（Si）來表示對Si進行四舍五入的取整處理，也就是對Si進行只保留整數(shù)的進位處理，那么是一個隨機變量。2、X的取值范圍由于每個子區(qū)的面積要經(jīng)過四舍五入運算，如果小數(shù)部分被舍棄，就相當該子區(qū)丟失了一定數(shù)量的面積，而如果在小數(shù)部分獲得進位，則看成是該子區(qū)獲得了一定的面積增量。無論是“增量”還是“減量”，它的絕對值都小于0.5。n個子區(qū)經(jīng)過取整匯總，其和X的取值是在一定范圍的隨機數(shù)。關于取值的范圍，有如下的結(jié)論：結(jié)論證明：（1），當n個子面的面積相等時，每個子面的面積為：SiA/n<A/（2A）<0.5，這時=0；，令其中2A個子面的面積均為0.5，n-2A個子面的面積為0，這時

5、=2A，X取得最大值；（2）結(jié)論顯然，證明略（3）若將區(qū)域劃分n+1個子面，將（0.5n-b）的面積均分給n個子面，b為一個極小微量，這時還剩余的面的面積為：A-（0.5n-b）A-0.5n+b，將該面與前面一個均分的面合并，記為第n個子面Sn=A-0.5n+b+（0.5-b/n）A-0.5（n-1）+b，因為n<2A，所以Sn>0.5Si（i=1，2n-1）=（0.5n-b）/n<0.5那么，Round（Sn）> Round（A-0.5（n-1）+b）= Round（A-0.5（n-1）若將區(qū)域劃分為n+1個子面，將0.5n的面積均分給n個子面，這時還剩余的面的面積為

6、：A-0.5n，將該面與前面均分的面合并，記為第n個子面Sn=A-0.5n+0.5，因為n<2A，所以Sn>0.5Si（i=1，2n-1）=0.5n/n0.5那么，Round（Sn）< n-1+Round（A-0.5（n-1）= Round（T+0.5（n-1）3、X的分布特點對于本文中提到的問題，將區(qū)域分成n塊，每塊面積Si為一個隨機量fraction（Si）表示Si的小數(shù)部分P（Fraction（Si）>0.5）表示Fraction（Si）>0.5的概率P（Fraction（Si）<0.5）表示Fraction（Si）<0.5的概率這里要強調(diào)兩點：

7、（1）每個Si并非完全獨立的隨機量（2）P（Fraction（Si）>0.5）< P（Fraction（Si）<0.5）就（1）點，可以舉例說明，假設區(qū)域A=1，n=2，S2=A-S1，顯然S2不是獨立的隨機量。就（2）點，可以轉(zhuǎn)化成這樣的命題：任意給定的實數(shù)a從取任意實數(shù)b<a求P（fraction（b）<0.5）有如下推導：Int（a）表示取得a的整數(shù)部分fraction（a）表示取得a得小數(shù)部分a=Int（a）+fraction（a）在條件0bInt（a）下，P（fraction（b）<0.5）=0.5在條件Int（a）bInt（a）fraction（

8、a）下，考慮fraction（a）>0.5和fraction（a）<0.5兩種情形：條件fraction（a）<0.5下P（fraction（b）<0.5）=1條件fraction（a）>0.5下P（fraction（b）<0.5）=0.5/fraction（a）從上面的過程，根據(jù)全概率公式，就可以推出P（fraction（b）<0.5），這里由于篇幅所限，不給出詳細的推導。而實際的結(jié)果，P（fraction（b）<0.5）略大于0.5。由于只考慮Si小數(shù)部分的取值，盡管每個Si不是完全獨立的隨機量，但除了最后的Sn-1和Sn的取值具有關聯(lián)性，其

9、他Si是無關的。另外，雖然P（Fraction（Si）>0.5）< P（Fraction（Si）<0.5）但這兩者的數(shù)值非常接近，具有近似正態(tài)分布特征。四、誤差分布密度函數(shù)的參數(shù)估計1、試驗設計為找到更準確的隨機特征，我們進行X分布密度函數(shù)的參數(shù)估計。設計如下隨機試驗：（1）給出區(qū)域面積A（2）給出要分割的子區(qū)數(shù)量n，給出要獲取樣本的數(shù)量m（3）進行一次隨機試驗，隨機取得n個子區(qū)的面積Si（i=1，2n），計算，存到數(shù)組aa中（4）進行m次隨機試驗，獲得不同的，存在aa（m），m=1，2m（5）參數(shù)估計2、試驗結(jié)果表1 試驗結(jié)果Tab.1 Result of Experime

10、nt圖2 頻度圖Fig.2 Frequency Chart從前面的結(jié)論上看，因為A/n>0.5 ，所以X501，1500采用參數(shù)的區(qū)間估計法，XN，其中=999.66，0.89043。這時：P（X=1000）=0.4005P（X=999）=0.3642P（X=1001）=0.1240P（X<998）=0.0381P（X>1002）=0.0032五、總結(jié)從推理和試驗表明，這種將大區(qū)域劃分為小的子區(qū)，子區(qū)經(jīng)過進位處理后，累加起來的和數(shù)是一個隨機量，符合近似的正態(tài)分布。最后和數(shù)與大區(qū)域的整數(shù)面積不相等的可能性還是相當大的，文章的試驗中這種可能性達到10.40050.5995。誤差的大小的取值范圍取決于劃分的子區(qū)的數(shù)量。這里需要強調(diào)的一點，往往我們直觀的判斷，在上述的面積統(tǒng)計過程中，每個子區(qū)的小數(shù)部分向前進位和被舍棄的可能性是相等的，但事實上，被舍棄的概率要略大于進位的概率。文章只討論了在整數(shù)上進位的情況，實際應用可能是保留兩位小數(shù)，或者以畝為單位，保留3位小數(shù)等方式。但這些方式與文章討論的內(nèi)容是類似的，我們都可以參照本篇文章的方法來進行分析。第一作者簡介：黎展榮，工程師，博