1、數(shù)列求和及極限【知識及方法歸納】1、 數(shù)列求和主要有以下幾種常見方法：（1）公式法；（2）通項轉(zhuǎn)移法；（3）倒序相加法；（4）裂項相消法；（5）錯項消法；（6）猜想、證明（數(shù)學歸納法）。2、 能運用數(shù)列極限的四則運算法則求數(shù)列的極限；求無窮等比數(shù)列各項的和。【學法指導】1、 在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，還應掌握自然數(shù)方冪數(shù)列的求和公式，如：+=；2、對于形式比較復雜而又不能直接用公式求和的數(shù)列，可通過對數(shù)列通項結構特點的分析研究，將2其分解為若干個易求和的新數(shù)列的和、差；3、將一個數(shù)列倒過來排列，當它與原數(shù)列相加時，若有公因式可提，并且剩余的項易求和，這樣的數(shù)列常用倒序相加，如課

2、本中等差數(shù)列的求和公式就是用這種辦法得到；4、利用裂項變換改寫數(shù)列的通項公式，通過消去中間項達到求和的目的；5、若通項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列相乘而得的數(shù)列，其求和的方法類似于推導等比數(shù)列前n項和公式的方法，通過乘于等比數(shù)列的公比，在錯位相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問題；6、通過對、進行歸納，分析，尋求規(guī)律，猜想出，然后再用數(shù)學歸納法給予證明。【典型例題】例1 求和：+【分析】這是一個通項為的數(shù)列求前 n項和，對通項公式展開可得：=，所以對原數(shù)列求和分解為3個新數(shù)列求和，可用方法2求和?！竞喗狻?=（）+（）+（）=4（+）4·（1+2+3+n）+n=4。例2 求和：+【分析】這

3、是一個通項為的數(shù)列求前n項和，觀察通項，不難發(fā)現(xiàn)它是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積，可用方法5求和?！竞喗狻吭O=+，則=+，所以=1+=1+）=1+=，所以=。例3 求，的前n項和【分析】先寫出此數(shù)列的通項=，它屬于用方法4，即裂項求和。【簡解】因為=，所以=6（1-）+（-）+（-）= 。例4 若=，求【分析】由于所求的和與 n的奇偶有關，所以按n的奇偶分兩類分別求和?！竞喗狻? 2+712+1722+27+，當n為奇數(shù)時，=5n+3=,當n為偶數(shù)時，=。例5 在等比數(shù)列中, =()=,則的取值范圍是多少？【分析】無窮等比數(shù)列的各項和是指前n項和的極限。當|q|1時，=；當|q|1時，這一極

4、限不存在。即在無窮等比數(shù)列中，|q|1（q0）是存在的充要條件。所以特別要注意公式S=的含義及適用范圍。因此由=可得：q=1-4，因為0|q|1，所以0|1-4|1，即：0，且?！竞喗狻康玫娜≈捣秶牵?，）（，）?！緩土暰毩暋恳弧?選擇題1、等差數(shù)列、的前n項和分別為與，若，則 等于（ ）A、1 B、 C、 D、2、等差數(shù)列的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為 （ ）A、130 B、170 C、210 D、2603、等比數(shù)列中，1，且前n項和滿足 =，則的取值范圍是（ ）A、（1、+） B、（1、4） C、（1、2） D、（1、）4、根據(jù)時常調(diào)查結果，預測某種家用商品從年

5、初開始的幾個月內(nèi)累積的需求量（萬件）近似地滿足=（n=1，2，12）。按此預測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是 （ ） A、5月、6月 B、6月、7月 C、7月、8月 D、8月、9月5、若一個等差數(shù)列的前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有 （ ） A、13項 B、12項 C、11項 D、10項二、 填空題1、設a1，則 = 。2、已知等差數(shù)列的公差d 0 ，首項0，=，則= 。 3、已知等比數(shù)列（R），=9，=27，且=（n=1、2），則 = 。 4、設0ab，則 = 。 5、若數(shù)列的通項為 （nN），則（）= 。三、 解答題1、已知數(shù)列， 為其前n項的和，計算得=，=，= ，= 。觀察上述結果，推測計算的公式，并用數(shù)學歸納法證明。2、設數(shù)列的前n項和為，若對所有的正自然數(shù)n，都有=。證明：是等差數(shù)列。3、 是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項和為，且對所有n，與2的等差中項等于 與2的等比中項。（1）寫出數(shù)列的前3項；（2）求數(shù)列的通項公式（寫出推證過程）；（3）令=(+) ( n),求lim(+-n)。4、 設是正數(shù)組成的等比數(shù)列，前n項和為。（1）證明：；（2）是否存在常數(shù)c0，使得=成立？并證明你的結論。5、 設為等比數(shù)