1、第十一章 反常積分一、單選題（每題2分）1、廣義積分=（ ）A、 B、 C、 D、發(fā)散2、廣義積分=（ ）A、 B、 C、 D、發(fā)散3、廣義積分=（ ）A、 B、 C、 D、發(fā)散4、下列廣義積分收斂的是（ ）A、 B、 C、 D、5、下列廣義積分發(fā)散的是（ ）A、 B、 C、 D、6、下列積分中（ ）是收斂的A、 B、 C、 D、7、下列廣義積分發(fā)散的是（ ）A、 B、 C、 D、8、（ ）A、 B、 C、 D、9、已知，則（ ）A、 B、 C、 D、10、廣義積分（ ）A、 B、 C、 D、11、下列積分中絕對收斂的是（ ）A、 B、 C、 D、12、已知廣義積分，則下列答案中正確的是（ ）

2、A、因為在上是奇函數(shù)，所以B、=C、=D、發(fā)散13、設廣義積分收斂，則（ ）A、 B、 C、 D、答案：BCDCB DAABD ADB二、判斷題（每題2分）1、 當時，無窮積分條件收斂； （ ）2、當時，無窮積分絕對收斂； （ ）3、若無窮積分收斂，而函數(shù)在單調(diào)有界，則無窮積分收斂； （ ）4、若收斂，則； （ ）5、若在無界，則發(fā)散； （ ）6、若不存在，則發(fā)散； （ ）7、若單調(diào)， 收斂，則； （ ）8、若收斂，則收斂； （ ）9、若，收斂，則收斂； （ ）10、如果收斂，在上有界，則收斂；（ ）11、若收斂，則收斂； （ ）12、如果絕對收斂，則收斂；（ ）答案： 三、填空題（每題2分）

3、1、若無窮積分收斂，則 ；2、若無窮積分收斂，則時，無窮積分 ；3、設，函數(shù)，是其瑕點，且極限，若，則瑕積分 ；4、設，函數(shù)，且極限，若，則無窮積分 ；5、若收斂，則無窮積分 ；6、當時，無窮積分 ；7、當時，瑕積分 ；8、若收斂，且存在極限，則 ；9、 ； ；10、設，則常數(shù) ；11、如果廣義積分收斂，則 ；12、如果廣義積分發(fā)散，則 ；答案：1、 2、收斂 3、發(fā)散 4、收斂 5、絕對收斂 6、絕對收斂 7、發(fā)散 8、 9、； 10、 11、 12、四、計算題（每題5分）1、解：= =2、解：設，則， 有=3、解：= =4、解：=5、解：= =6、解：因為所以 = =7、解：由 得 =8、

4、解：時，時， =故當時，= 時，發(fā)散；9、解：=由此求得 10、解：當時，當時， =則 五、證明題（每題5分）1、 證明 證：令，則 = 則有 2、 證明收斂，且 證：=又，而收斂，所以收斂收斂而3、 證明：若在上連續(xù)，且收斂，則對任何，有 證：由條件，都存在；再由連續(xù)可得4、設收斂，證明：（1）若極限存在，則 （2）若在上為單調(diào)函數(shù)，則證：（1）設。若，則由極限保號性，當時滿足 于是有 而這與收斂相矛盾，故。（2）若在上單調(diào)而無界（設為遞增而無上界），則，當時，使。類似于（1）的證明，推知，矛盾。所以在上單調(diào)而有界，則存在極限。依據(jù)已證得的命題（1），5、證明：若收斂，且在上一致連續(xù)，則必有

5、。證：由在上一致連續(xù)，則（設），當且時，總有， 又因收斂，故對上述，當時，有 現(xiàn)對任何，取 ，且使。此時有 便有 ，這就證得6、證明：若絕對收斂，存在，則必定絕對收斂又若把該為條件收斂，試舉出反例說明不一定收斂。證：由可知當充分大時有 從而又有 再由 收斂，根據(jù)比較法則便證得收斂。例如對于條件收斂的=和得到 =由于 收斂。而顯然是發(fā)散的，所以也是發(fā)散的無窮積分。7、證明當時，和是等價無窮小量。證：，又因 ，所以收斂，又收斂定義又知 這說明當時，它們是無窮小量；下面再來證明它們是等價無窮小量故結(jié)論成立。8、證明：若收斂，則也必收斂.證：由于 =，而收斂，在上單調(diào)有界，故由 判別法證得收斂.9、證明：若收斂，為單調(diào)函數(shù)，則 . 證：不妨設 單調(diào)減少。先證當時，。否則 點，使，而時，從而 得出 發(fā)散，與收斂矛盾，故為非負的單調(diào)函數(shù).由收斂，則，使得當 時，恒有 但是 所以當時，即 或 .當單調(diào)增加時，只