1、第四章 不定積分一、不定積分的概念和性質(zhì)1原函數(shù)：若，則稱為的一個原函數(shù)2不定積分：若，則3不定積分的基本性質(zhì)：（1） 或 ；（2） 或 例1 （1）若是的一個原函數(shù)，求；（2）若是的一個原函數(shù)，求；（3）若是的一個原函數(shù)，求；（4）若，求；（5）求；（6）若，求解 （1）因為，所以（2）因為，所以（3）因為，則，所以（4）因為，所以 （5）（6）二、直接積分法被積函數(shù)經(jīng)過恒等變形后，能用基本積分公式和不定積分的性質(zhì)計算不定積分的方法，稱為直接積分法例2 計算下列不定積分：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）；（9）解（1）（2）（3）（4）（5）（6）（

2、7）（8）（9）三、換元積分法1第一換元積分法（湊微分法）設(shè)，則常用的湊微分公式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）； （10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）注 結(jié)合導(dǎo)數(shù)、微分基本公式理解這些湊微分公式及后面例題中出現(xiàn)的較復(fù)雜湊微分公式； 熟練掌握這些常用的湊微分公式和熟記基本積分公式； 分部積分法中也會用到湊微分公式例3 計算下列不定積分：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）解（1）（2）（3）（4）

3、注 注意區(qū)分以上積分中的冪指數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)時的解法若將換為，解法相同（5）（6）（7） （8）（9）（10）被積函數(shù)的分子、分母同除以，得（11）（12） （13） 注 與三角函數(shù)有關(guān)的積分中，常常使用半角公式和積化和差公式以降低三角函數(shù)的冪指數(shù)，簡稱降冪法是常用的積分方法（14） （15）*例4 計算下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）解 （1）因為，所以（2）因為，所以（3） （4）因為，所以 （5）因為，所以（6）被積函數(shù)的分子、分母同除以，得（7）因為，所以 2第二換元積分法設(shè)，則注 （1）當(dāng)被積函數(shù)中含有根式時，一般要通過適當(dāng)換元，去掉根號后再積

4、分，這是第二換元積分法的主要作用常見的代換有：含有形如的根式時，作代換；含有形如、（）的根式時，分別作三角代換：，；（2）當(dāng)被積函數(shù)中分母關(guān)于的次數(shù)比分子關(guān)于的次數(shù)至少大時，可考慮倒代換：；（3）當(dāng)被積函數(shù)為所構(gòu)成的代數(shù)式時，可考慮指數(shù)代換：例5 計算下列不定積分：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）解 （1）設(shè)，則，于是（2）設(shè)，則，于是 （3）設(shè)，則，于是 （4）設(shè)，則，于是由得，所以 （5）設(shè)，則，于是由于，所以（6）設(shè)，則，于是 由得，所以 例6 計算下列不定積分：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）解（1）令，則，于是（2）（3）（4）令，則，于是（5）令

5、，則，于是 例7 計算下列不定積分：（1）； （2）； （3）； （4）解（1）（2）（3）（4） 注 例7（2）中使用加項、減項的方法，（3）、（4）中是將分母有理化若利用第二換元積分法求解，計算過程較煩瑣，讀者自行驗證四、分部積分法設(shè)、都是可微函數(shù)，且、都有原函數(shù)，則，簡寫為注 （1）應(yīng)用分部積分公式的關(guān)鍵，是正確選擇和一般把六種基本初等函數(shù)“反對冪指三?！保谠E）中位置在前的函數(shù)作為；（2）常用的一個不定積分：例8 計算下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）；（11）； （12）解（1）（2） 注 （1）、（2）中應(yīng)

6、用分部積分公式的次數(shù)與多項式的次數(shù)是相同的，因而計算過程較煩瑣（3）（4）（5）設(shè)，則，于是，由得，所以注 被積函數(shù)中含有對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)時，先作變量代換可使計算容易些，當(dāng)它們的冪指數(shù)大于時尤甚 （6） ， 移項、整理得（7）（8）法一 設(shè)，則，于是由得，所以法二 （9）（10）法一法二（11） （12） 注 雖然（12）和（9）中兩個積分在形式上差異較大，但解法相同五、有理函數(shù)和三角函數(shù)有理式的積分1有理函數(shù)的積分（1）如果真分式的分母有一次因式，則化為部分分式后，單因式對應(yīng)形如的簡單分式；重因式對應(yīng)形如， ，的簡單分式（2）如果真分式的分母有不可分解的二次因式（其中），則化為部分分式后

7、，單因式對應(yīng)形如的簡單分式；重因式對應(yīng)形如， ，的簡單分式例9 計算下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解 （1）設(shè)，上式兩端同乘以，得令，得；令，得；令，得所以 （2）設(shè)，上式兩端同乘以，得將上式左端展開，并比較兩邊的同次冪的系數(shù)，得解得，于是（3）因為，所以（4）因為，所以（5）令，則，于是 注 對于大指數(shù)冪，若不進(jìn)行變量替換，計算往往很復(fù)雜或很困難（6）設(shè)，則，于是2三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式是指三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)，由于各三角函數(shù)都可用及的有理式表示，所以三角函數(shù)有理式就是、的有理式三角函數(shù)有理式的積分一般是經(jīng)過萬能代換（或半

8、角代換）轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分來計算的，即令，則，于是； ； 例10 計算下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）解 令，則，于是，（1）（2）（3）（4）注 （1）三角函數(shù)有理式的積分需要化為有理函數(shù)的積分，而有理函數(shù)的積分往往比較繁瑣，因此這種代換不一定是最簡捷的代換如例4，用湊微分法很簡便：（2）一般地，三角函數(shù)有理式的冪較高時，有理函數(shù)的冪也較高，積分就越困難3、三角函數(shù)有理式積分的一般思路和特殊方法三角函數(shù)有理式的積分方法不一，紛繁復(fù)雜，一題多解很常見，但基本思路是：（1）通過分子、分母同時乘以某個因式，將分母轉(zhuǎn)化為形如或的單項式；常用的轉(zhuǎn)化公式有； ； ；（2）將分母看作一個整體；（3）借助恒等式：例11 計算下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）解 （1）（2）（3）（4）（5）因為，所以， 習(xí) 題 四1求下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）；（10）；（11）； （12）； （13）； （14）；（15