1、2.1 節(jié)點(diǎn)模型的發(fā)展 對(duì)于分群反應(yīng)堆的節(jié)點(diǎn)法最初是由Avery提出的。這里的反應(yīng)堆是簡(jiǎn)單地定義成釋放裂變中子的系統(tǒng)的區(qū)域,分群這個(gè)詞指的是在每一個(gè)反應(yīng)堆中，一些裂變中子是在其他反應(yīng)堆中產(chǎn)生的中子裂變中發(fā)射出來(lái)的。在考慮描述隨時(shí)間變化的所謂部分裂變中子源的反應(yīng)堆的avery方程中給出耦合系數(shù)，代表著中子從來(lái)自其他區(qū)域的中子引起的裂變中發(fā)射出來(lái)。耦合系數(shù)代表在相鄰反應(yīng)堆中的中子在所考慮的反應(yīng)堆中產(chǎn)生的裂變中子。然而，分群反應(yīng)堆空間方程的推導(dǎo)的機(jī)理是基于物理上的直觀的結(jié)構(gòu)。接下來(lái)/，在1969年由komata從部分伴隨通量的時(shí)間相關(guān)伴隨方程得到了avery模型的一個(gè)嚴(yán)格推導(dǎo)。在這里，komata提

2、到的avery方程式一個(gè)與點(diǎn)堆相對(duì)的多點(diǎn)空間模型。在多點(diǎn)空間模型上的許多其他貢獻(xiàn)可以被發(fā)現(xiàn)。kobayashi在1991年就提出了，在每個(gè)分群反應(yīng)堆中的裂變中子源的靜態(tài)空間節(jié)點(diǎn)方程可以通過(guò)一個(gè)更加簡(jiǎn)單可行的方法分別從靜態(tài)和時(shí)間獨(dú)立上的多組擴(kuò)散方程推導(dǎo)出來(lái)，而不用近似。靜態(tài)和時(shí)間相關(guān)的耦合系數(shù)和中子壽命可以用通過(guò)解得擴(kuò)散方程的多組伴隨方程得到的格林函數(shù)來(lái)明確表示。另一方面，kobayashi證明了這個(gè)方法可以延伸到多群運(yùn)輸理論并且耦合系數(shù)和中子壽命可以用角通量和用來(lái)表示在考慮在位置r，方向x，能群g產(chǎn)生的中子的區(qū)域中產(chǎn)生的裂變中子數(shù)目的重要函數(shù)Gm來(lái)表示。然而，這些方法需要昂貴的格林函數(shù)和重要函

3、數(shù)的嚴(yán)格計(jì)算來(lái)計(jì)算耦合系數(shù)。在這篇論文中，一個(gè)類似于多點(diǎn)空間模型的一個(gè)更簡(jiǎn)單的節(jié)點(diǎn)法會(huì)被推到出來(lái)。節(jié)點(diǎn)模型可以通過(guò)多群中子擴(kuò)散方程求得，如同下面所示的雙群方程和緩發(fā)粽子先驅(qū)核濃度的相關(guān)方程。 （1） （2） （3）其中和分別代表快群和熱群中子通量：所考慮的緩發(fā)中子的群數(shù)：對(duì)應(yīng)的中子群的先驅(qū)核濃度：每組緩發(fā)中子份額：每組緩發(fā)中子的衰變常數(shù)：吸收宏觀截面：裂變宏觀截面和分別代表群之間的散射截面D：擴(kuò)散系數(shù) 重水堆運(yùn)行在一個(gè)微小的超熱能區(qū)，散射作用盡管小，但是需要考慮，因此，出現(xiàn)在(1)式和(2)式中。假設(shè)所有的裂變中子都是由快中子產(chǎn)生的，應(yīng)該注意的是，和都是關(guān)于空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，同時(shí)，參數(shù)和，

4、在堆芯不同的地方也是不同的。現(xiàn)在考慮把反應(yīng)堆分成幾個(gè)小的粗的網(wǎng)格（節(jié)點(diǎn)）。在每個(gè)網(wǎng)格中，中子通量和其他中子參數(shù)分別用組成網(wǎng)格的體積中的平均值來(lái)代替。然后，在(1)式和(2)式中的中子通量泄露量可以近似為：其中 and Z ：在堆芯區(qū)域所有的網(wǎng)格數(shù)。 ：在反射層區(qū)域的網(wǎng)格數(shù) ：兩個(gè)網(wǎng)格的中心之間的距離 ：兩個(gè)網(wǎng)格界面的面積 ：第h個(gè)網(wǎng)格的體積 ：與第h個(gè)網(wǎng)格相鄰的網(wǎng)格數(shù).對(duì)于一個(gè)沒(méi)有相鄰網(wǎng)格的網(wǎng)格h來(lái)說(shuō)，=0.。 （4） （5） 可以看出群里通量和只隨時(shí)間變化。增加（4）和（5）式，并且做如下定義： （6） ， （7）我們可以得到： （8）從（7）式可以很明顯得知為了計(jì)算等價(jià)的單組方程（8）中的

5、不同系數(shù)和參數(shù)，必須知道每個(gè)網(wǎng)格中的熱快通量比。一個(gè)直接的方法是對(duì)一個(gè)處于穩(wěn)定狀態(tài)的典型堆芯配置求解（4）和（5）式，然后對(duì)于在堆芯中的每一個(gè)網(wǎng)格分別求解。然而這是極其昂貴的計(jì)算。對(duì)于另外一種方法考慮（5）式的穩(wěn)定狀態(tài)，熱中子的泄露被忽略，可以得到： 從上式可以得到如下式子： （9） 同時(shí)，從（3）式，網(wǎng)格h中，先驅(qū)核濃度的變化可以描述為： （10）單組方程（8）結(jié)合緩發(fā)中子先驅(qū)核的方程（10）可以用來(lái)研究核反應(yīng)堆。我們進(jìn)一步用一個(gè)更加適合控制研究的形式來(lái)表示（8）式。用表示平均每次裂變所釋放的熱能。然后，每個(gè)網(wǎng)格的功率就可以用中子通量來(lái)表示： （11）同樣地，網(wǎng)格中的先驅(qū)核濃度可以被修正為：

6、 。 使用這些從（8）式和（10）式得到的新的變量： （12） （13）把（9）式中的值代入求的表達(dá)式中，我們可以得到其中，我們進(jìn)步一定義中子的壽命，無(wú)限增值因數(shù)，節(jié)塊中的反應(yīng)性，并定義，可以得到： （14） （15）其中和分別是和的函數(shù)，分別表示第k個(gè)節(jié)塊對(duì)第h個(gè)節(jié)塊的耦合系數(shù)和第h個(gè)節(jié)塊自身的耦合系數(shù)。（14）和（15）式表示了不考慮內(nèi)部反饋，如裂變產(chǎn)物反應(yīng)性反饋的反應(yīng)堆堆芯的中子模型。在反射層節(jié)塊中的功率為0。因此，通過(guò)（14）和（15）式來(lái)描述堆芯比（8）式需要更少的方程。然而，泄露到反射層網(wǎng)格的中子需要考慮。所以，在堆芯區(qū)域中的節(jié)塊h和相鄰的零功率的反射層節(jié)塊之間的中子泄露在節(jié)塊h中

7、的來(lái)表示在相關(guān)穩(wěn)定狀態(tài)下的功率分布已知的情況下，對(duì)于每個(gè)節(jié)塊的都可以通過(guò)自身的相關(guān)功率分布來(lái)計(jì)算出來(lái)，同時(shí)，cross-leakage系數(shù)仍然可以用（6）式來(lái)計(jì)算得到。通過(guò)（12）和（13）式的穩(wěn)定狀態(tài)，我們可以得到現(xiàn)在，為了考慮由于內(nèi)部反饋和控制設(shè)備引起的反應(yīng)性變化，在（14）式中的項(xiàng)表示為，其中，表示由控制棒引進(jìn)的反應(yīng)性，表示有氙引進(jìn)的反應(yīng)性反饋，表示由于其他因素像冷卻劑溫度和燃料溫度而引進(jìn)的反應(yīng)性反饋。為了闡述氙反應(yīng)性反饋，每個(gè)節(jié)塊中碘和氙的動(dòng)力學(xué)模型可以表示為： (16) (17)其中，和分表表示節(jié)塊h中的碘和氙的濃度，和分別是他們的裂變份額，和分別是他們的衰變常數(shù)，并且。氙的反應(yīng)性反

8、饋可以表示為：正常運(yùn)行和控制情況下的小范圍瞬變，反應(yīng)性的控制設(shè)備是通過(guò)調(diào)節(jié)幫來(lái)實(shí)現(xiàn)的，例如最終是考慮調(diào)節(jié)幫的運(yùn)動(dòng)的。一個(gè)調(diào)節(jié)幫的移動(dòng)導(dǎo)致的反應(yīng)性變化時(shí)一個(gè)與它的位置成非線性的函數(shù)。然而，在平衡位置附近，這個(gè)非線性是非常微小的。因此，假如節(jié)塊h中含有調(diào)節(jié)棒j的話。其中表示調(diào)節(jié)棒j的位置的百分比。當(dāng)節(jié)塊中不包含調(diào)節(jié)幫時(shí)為零。 調(diào)節(jié)棒被分為兩組，每組有四個(gè)棒。每一次，只有其中的一組用來(lái)自動(dòng)控制，另外一組保持在人工控制。這種設(shè)計(jì)的限制，是用來(lái)滿足對(duì)最大反應(yīng)性引入速度的限制。一個(gè)組中的調(diào)節(jié)棒可以同時(shí)移動(dòng)來(lái)控制反應(yīng)堆的總功率，也可以分別移動(dòng)來(lái)控制空間功率分布。每個(gè)調(diào)節(jié)棒是通過(guò)一個(gè)滑輪機(jī)制連接到各自的可逆式

9、變速傳動(dòng)具有獨(dú)立三相異步電動(dòng)機(jī)和靜態(tài)轉(zhuǎn)換器的調(diào)節(jié)棒驅(qū)動(dòng)器。忽略摩擦，阻尼，和轉(zhuǎn)動(dòng)的直線運(yùn)動(dòng)傳播動(dòng)力學(xué)，調(diào)節(jié)幫的速度是正比于驅(qū)動(dòng)電機(jī)的電壓，即：其中，表示可以用來(lái)控制的調(diào)節(jié)幫數(shù)目，表示加在第j根調(diào)節(jié)棒在5 V 范圍內(nèi)的控制信號(hào)。K是由調(diào)節(jié)棒的最大移動(dòng)速率（即反應(yīng)性引入的最大速率）這個(gè)約束條件決定的一個(gè)常數(shù)。在最大的控制信號(hào)下，K=0.56。是由像冷卻劑溫度，燃料溫度，慢化劑溫度，部分裂變等因素引起的反饋組成的。在重水堆中冷卻劑溫度系數(shù)是正的，它的值為。它只在反應(yīng)地啟動(dòng)時(shí)起到微小的作用，因?yàn)槔鋮s劑溫度在功率運(yùn)行期間保持在。燃料溫度反應(yīng)性系數(shù)是負(fù)的，是一個(gè)比較小的值。慢化劑溫度系數(shù)是微正值，然而，在

10、正常反應(yīng)堆運(yùn)行期間，慢化劑溫度大部分保持為常數(shù)，因而，抵消了慢化劑溫度反饋的微笑作用。由于他們的微笑作用，燃料，冷卻劑，和慢化劑的反應(yīng)性溫度反饋可以忽略?？偟目张莘磻?yīng)性系數(shù)的平均值被定義為關(guān)于在冷卻劑空泡變化的反應(yīng)性變化，在重水堆中為一個(gè)負(fù)值。這在超功率瞬態(tài)和冷卻劑喪失事故的情況下可以提供一個(gè)負(fù)的反應(yīng)性。然而，空泡反應(yīng)性模型需要兩相的冷卻劑流模型和蒸汽模型等。這些沒(méi)有在本篇論文中討論。一個(gè)簡(jiǎn)單的重水堆熱力模型和它的相關(guān)節(jié)塊模型可以在Shimjith et al找到（2008）。備注一 耦合系數(shù)和在（14）式中的其他參數(shù)可以通過(guò)單群方程（8）中的參數(shù)推導(dǎo)得出。這些單群方程中的參數(shù)翻過(guò)來(lái)可以通過(guò)出

11、現(xiàn)在（4）式和（5）式中的雙群參數(shù)來(lái)得到。這個(gè)方法，盡管簡(jiǎn)單，有滿意的準(zhǔn)確度正如后面論文所證實(shí)的。然而，有可能直接通過(guò)雙群參數(shù)直接得到耦合系數(shù)和其他的參數(shù)。此外，假如兩個(gè)群的通量得知那么通過(guò)（9）式給出的通量比就不需要了。備注二 （14）到（18）式可以用（4）和（5）式方程組來(lái)代替，同樣的，相關(guān)的緩發(fā)中子先驅(qū)核碘濃度和氙濃度的方程和調(diào)節(jié)棒的方程也可以考慮寫(xiě)成雙群的。這樣通過(guò)消除群合并時(shí)的近似可能提高了精度，但是代價(jià)是模型的階次提高了。2.2 模型方程的線性化 讓表示在反應(yīng)堆滿功率運(yùn)行時(shí)節(jié)塊h中的裂變功率，同時(shí)，和分別表示其相應(yīng)的值。用，和表示正常運(yùn)行時(shí)的瞬態(tài)值，緩發(fā)中子先驅(qū)核濃度，碘濃度，氙

12、濃度，分別對(duì)應(yīng)于它們?cè)跐M功率情況下的比值。那么（14）至（17）式可以用這么正常只來(lái)表示，并且在任意穩(wěn)態(tài)運(yùn)行狀況, , 和下進(jìn)行線性化，可以得到： （19） （20） （21） （22）在（19）式中，表示第j根調(diào)節(jié)棒所對(duì)應(yīng)關(guān)鍵配置的位置偏差，只有在節(jié)塊h中含有第j根調(diào)節(jié)棒是才表現(xiàn)出來(lái)，同樣的，可以線性化得到： （23）在（19）至（23）式中，表示偏離對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定狀態(tài)的值，并且有 定義并且然后（19）至（23）式的一階線性方程可以很容地整理為一個(gè)矩陣形式，導(dǎo)出一個(gè)線性空間模型， 其中, 和 分別是特征矩陣，輸入矩陣和輸出矩陣。矩陣是一個(gè)行的方陣，表示為其中，和分別是和的空矩陣，其他的子塊可以進(jìn)

13、一步表示為：其中 其中 其中 其中 和 其中 其中 其中 定義為：其中和分別表示和的空矩陣。，是，如果第h個(gè)節(jié)塊含有第j跟調(diào)節(jié)棒的話，將會(huì)有第這個(gè)元素像(其中 and ).。否則，第個(gè)元素將為零。和分別為和的空矩陣。矩陣為，如下表示：其中，是一個(gè)的對(duì)角矩陣，K 作為入口。反應(yīng)堆的總功率是通過(guò)堆芯外的電離室來(lái)監(jiān)視的，堆芯內(nèi)的空間功率分布式有堆芯內(nèi)探測(cè)器來(lái)監(jiān)視的。離子室的輸出可以建模為，其中是一個(gè)依賴于離子室敏感度和增益放大器的常數(shù)。同樣地，一個(gè)堆芯內(nèi)的探測(cè)器的輸出可以建模為，其中假如探測(cè)器是靠近第j個(gè)區(qū)域時(shí) = 1，否則=0。另外一個(gè)依賴與堆芯內(nèi)探測(cè)器敏感度和增益放大器的參數(shù)。假如m是功率測(cè)量的

14、有效探測(cè)器的總數(shù)，矩陣，結(jié)構(gòu)為，階次為，為，第一行為，其他剩下的少量擁有的行是由堆芯內(nèi)探測(cè)器的數(shù)目和所考慮的節(jié)塊數(shù)目。是一個(gè)空矩陣。3.節(jié)塊方案 很明顯地 用一些描述反應(yīng)堆中子物理現(xiàn)象的一階微分方程來(lái)表示的模型的階次是。對(duì)于控制系統(tǒng)的研究，擁有滿意的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)響應(yīng)的低階模型更受歡迎。 在缺少基準(zhǔn)解，一個(gè)近似的模型的瞬態(tài)響應(yīng)可以用來(lái)與相同瞬態(tài)的嚴(yán)格模型的響應(yīng)相比較。 然而，讓模仿一個(gè)大的節(jié)點(diǎn)方案的瞬態(tài)響應(yīng)來(lái)達(dá)到一個(gè)合適的方案是比較麻煩的。 相反地，假如基于一些可以簡(jiǎn)單的進(jìn)行分析的模型特性可以得到一個(gè)合適的方案是更有吸引力的。這樣選擇的方案一定會(huì)進(jìn)一步符合他的瞬態(tài)響應(yīng)的準(zhǔn)確性。通常希望有大量合適節(jié)

15、塊的方案可以準(zhǔn)確的再現(xiàn)反應(yīng)堆堆芯的功率分布，和得到反應(yīng)堆所有的重要參數(shù)（性質(zhì)），但是這個(gè)模型的階次會(huì)相應(yīng)的非常大。從線性控制理論的角度來(lái)看，對(duì)于同樣能滿足穩(wěn)定性，能觀性，能控性的模型來(lái)說(shuō)，低階模型更值得接受。換句話說(shuō)，一個(gè)節(jié)點(diǎn)方案服從滿意的穩(wěn)定狀態(tài)用最少的節(jié)塊，仍能夠重現(xiàn)一個(gè)高階模型的線性系統(tǒng)特性，是可以考慮的。下面介紹下這些重要的性質(zhì)。3.1 穩(wěn)態(tài)下的準(zhǔn)確性 對(duì)于所考慮的每個(gè)節(jié)點(diǎn)方案，從節(jié)點(diǎn)模型方程的穩(wěn)定狀態(tài)下可以算出穩(wěn)定狀態(tài)堆芯的功率分布。在穩(wěn)定狀態(tài)，緩發(fā)中子先驅(qū)核濃度，碘濃度和氙濃度隨著功率處于平衡。同時(shí)調(diào)節(jié)棒處在相應(yīng)的堆芯配置的位置。這種情況下，我們可以得到（12）和（13）式， (2

16、7)現(xiàn)在常用的迭代搜索法可以用來(lái)得到穩(wěn)定狀態(tài)下的功率分布。然而，穩(wěn)定狀態(tài)下的功率分布也求得通過(guò)用來(lái)明確表示（27）式，和求解相應(yīng)的最大的有效增值系數(shù)的特征向量。 這樣算得的節(jié)塊功率與有效基準(zhǔn)功率分布想比較來(lái)評(píng)估穩(wěn)定狀態(tài)的準(zhǔn)確性。進(jìn)一步說(shuō)，假如在每一個(gè)節(jié)塊中的功率分布都是一樣的，或者說(shuō)，在節(jié)塊中的每個(gè)途徑生成相同的功率，屬于節(jié)塊的所有途徑的功率之和給出一個(gè)相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)功率，一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)的頻道功率分布也可以從節(jié)塊模型得到。得到這些后，對(duì)照不同方案就他們的準(zhǔn)確性（評(píng)估通道功率分布也能得到）3.2 線性系統(tǒng)的性質(zhì) 穩(wěn)定性 假如可以說(shuō)線性系統(tǒng)（24）是漸近穩(wěn)定的。相反，則為不穩(wěn)定。其中是的特征值。不穩(wěn)定的

17、系統(tǒng)模型就是他們的特征值導(dǎo)致(Chen, 1999)。因此，不同方案的穩(wěn)定性可以通過(guò)驗(yàn)證由（25）式定義的相應(yīng)的開(kāi)環(huán)線性系統(tǒng)的特征值來(lái)評(píng)估。穩(wěn)定性是系統(tǒng)非常重要的一個(gè)性質(zhì)，可以表示，系統(tǒng)輸入的小的變化或者任何非平衡初始狀況不會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)輸出大的改變。眾所周知，核反應(yīng)堆缺少任一反應(yīng)性反饋效應(yīng)，不是漸近穩(wěn)定由于在起初一個(gè)特征值的存在。內(nèi)部反應(yīng)性反饋是由于氙和溫度變化進(jìn)一步影響了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。非負(fù)實(shí)數(shù)部分的特征值的數(shù)量對(duì)應(yīng)空間通量的振蕩的不穩(wěn)定模式的數(shù)量。 能控性當(dāng)且僅當(dāng)n階的線性系統(tǒng)（24）認(rèn)為是能控的，其中是的特征值，并且是一個(gè)n維的單位矩陣。假如這個(gè)條件滿足了，那么一般認(rèn)為是可控的。不能控的系統(tǒng)模型是那些它們的特征值導(dǎo)致模型(Hautus, 1970)。能控性的狀況影響了控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)問(wèn)題的完整方案的存在。，設(shè)計(jì)一個(gè)控制器是的一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)變