1、第五講 中值定理的證明技巧一、 考試要求1、 理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。2、 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并會用柯西中值定理。掌握這四個(gè)定理的簡單應(yīng)用（經(jīng)濟(jì)）。3、 了解定積分中值定理。 二、 內(nèi)容提要1、 介值定理（根的存在性定理） （1）介值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 M 與最小值m之間的任何值. （2）零點(diǎn)定理設(shè)f(x)在a、b連續(xù)，且f(a)f(b)0，則至少存在一點(diǎn),c(a、b)，使得f(c)=02、 羅爾定理若函數(shù)滿足：（1）在上連續(xù)（2）在內(nèi)可導(dǎo)（3）則一定存在使得3、 拉格朗

2、日中值定理若函數(shù)滿足：（1）在上連續(xù)（2）在內(nèi)可導(dǎo)則一定存在，使得4、 柯西中值定理若函數(shù)滿足:（1）在上連續(xù)（2）在內(nèi)可導(dǎo)（3）則至少有一點(diǎn)使得5、 泰勒公式如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)在內(nèi)時(shí), 可以表示為的一個(gè)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)之和，即其中 (介于與之間).在需要用到泰勒公式時(shí)，必須要搞清楚三點(diǎn)：1展開的基點(diǎn)；2展開的階數(shù)；3余項(xiàng)的形式其中余項(xiàng)的形式，一般在求極限時(shí)用的是帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式，在證明不等式時(shí)用的是帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式而基點(diǎn)和階數(shù)，要根據(jù)具體的問題來確定6、 積分中值定理 若f(x)在a、b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)ca、b，使得f(x)dx=f(c)

3、(b-a)三、 典型題型與例題題型一 、與連續(xù)函數(shù)相關(guān)的問題（證明存在使或方程f(x)=0有根）方法：大多用介值定理 f(x)滿足：在a,b上連續(xù)；f(a)f(b)<0.思路：1）直接法 2）間接法或輔助函數(shù)法例1、設(shè)在a,b上連續(xù)，證明存在 ，使得 例2、設(shè)在a,b上連續(xù)、單調(diào)遞增，且，證明存在 使得 *例3、設(shè)在a,b上連續(xù)且，證明存在使得 。.例4、設(shè)在a,b上連續(xù)，證明存在使得 例5、設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，且f(x)<1. 證明：在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。例6、設(shè)實(shí)數(shù)滿足關(guān)系式，證明方程 ，在內(nèi)至少有一實(shí)根。 例7、（0234，6分） 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在a

4、,b上連續(xù)，且g(x)>0,利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點(diǎn)使得 題型二、 驗(yàn)證滿足某中值定理例8、驗(yàn)證函數(shù)，在0，2上滿足拉格朗日中值定理，并求滿足定理的題型三、 證明存在, 使(n=1,2,) 方法：1、用費(fèi)馬定理 2、用羅爾定理（或多次用羅爾定理） 3、用泰勒公式 思路：可考慮函數(shù)例9、設(shè)在a,b上可導(dǎo)且，證明至少存在一個(gè)使得例10、設(shè)在0,3上連續(xù)，在（0,3）內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在一個(gè)使得*例11、設(shè)在0,2上連續(xù)，在（0，2）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且，證明存在使得題型四、 證明存在, 使方法：1）用羅爾定理（原函數(shù)法，常微分方程法），2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要

5、求a,b分離）思路：1）換為2）恒等變形，便于積分3）積分或解微分方程4）分離常數(shù)：即為輔助函數(shù)(1) 用羅爾定理 1) 原函數(shù)法: 步驟：將x換為x; 恒等變形，便于積分； 求原函數(shù)，取c=0； 移項(xiàng)，得F(x).例12、設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，求證存在使得例13、（0134）設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且 證明：在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x, 使 例14、 設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)f(b)>0,f(a) g(x)在a,b上連續(xù)，試證對.*例15、 設(shè)f(x)在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)一階可導(dǎo)，且.試證：使得 . 2

6、) 常微分方程法: 適用: 步驟： 解方程 令 例16、設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在使得*例17、設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0)=0, f(1)=1, 證明：對任意實(shí)數(shù) , 使得(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證存在，使得 例19、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證存在，使得 例20、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證存在，使得 例21、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證存在，使得 題型5、 含有(或更高階導(dǎo)數(shù))的介值問題方法：1）原函數(shù)法（對仍用微分中值定理:羅爾定理，拉格朗日，柯西中值定理）；2）泰勒公式例22、 設(shè)f(x)在0

7、,1上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1), 試證至少存在一個(gè), 使 例23、（012，8分）設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0(1) 寫出f(x)的帶拉氏余項(xiàng)的一階麥克勞林公式。(2) 證明在上至少存在一個(gè)使得 例24、 設(shè)f(x)在1, 1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(-1)=0, f(1)=1, f¢(0)=0, 證明: 在(-1,1)內(nèi)存在一點(diǎn)x，使得 . 例25、（103）設(shè)函數(shù)f (x)在閉區(qū)間0, 3上連續(xù), 在開區(qū)間(0, 3)內(nèi)二階可導(dǎo), 且2 f (0)= f (2)+ f (3). (I) 證明存在 h Î(0, 2), 使得f(h)= f (0) ; (II) 證明存在 x Î(0, 3), 使得 f¢²(x)=0 .題型6、 雙介值問題 方法：1）同時(shí)兩次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理 2）用一次后再用一次中值定理例26、設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求證存在使得例27、（051，12分）已知函數(shù)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且證明：（1）存在，使得 （2）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)使得題型7、 綜合題*例29、（011，7分