1、第6節(jié)正弦定理和余弦定理最新考綱掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題叵.顧教材，夯實(shí)基礎(chǔ)I知識(shí)衍化你驗(yàn)知識(shí)梳理1 .正、余弦定理則在ABC中，若角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為ABC外接圓半徑,定理正弦定理余弦定理公式q=3=2RsinAsinBsinCa2=b2+c22bccos_A；b2=c2+a22cacos_B；c2=a2+b22abcos_C常見(jiàn)變形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=2r,sinB-2R,sinC-2R;(3)a：b：c=sin_A：sin_B：sin_C；(4)asinB=bsinA,bsinC

2、=csinB,asinC=csinAb2+c2a28sA=2bc；c2+a2b2cosB=o;2aca2+b2c2cosC=o.2ab一一1-11_abc12.SABc=/absinC=2bcsinA=/acsinB=%R=2(a+b+c)r(r是二角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R,r.3.在4ABC中，已知a,b和A時(shí)，解的情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形cAR*AB；通4f"HAB.關(guān)系式a=bsinAbsinA<a<ba>ba>ba<b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解微點(diǎn)提醒1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A+B)=sinC;(2)cos

3、(A+B)=cosC;A+BCA+BC(3)sin2=cos2；(4)cos-2=sin.2 .三角形中的射影定理在ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.3 .在AABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.基礎(chǔ)自測(cè)疑誤辨析1 .判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打或"X”)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.()(2)在ABC中，若sinA>sinB,貝UA>B.()(3)在ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.()(4)

4、當(dāng)b2+c2a2>0時(shí)，zABC為銳角三角形；當(dāng)b2+c2a2=0時(shí)，ABC為直角三角形；當(dāng)b2+c2a2<0時(shí)，zABC為鈍角三角形.()解析(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角的正弦值之比(3)已知三角時(shí)，不可求三邊.(4)當(dāng)b2+c2a2>0時(shí)，三角形ABC不一定為銳角三角形.答案(1)X(2)，(3)X(4)X教材衍化2 .(必修5P10A4改編)在ZXABC中，AB=5,AC=3,BC=7,則/BAC=()A.7B.ZC.22cD.55t6336解析在ABC中，設(shè)AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理得cos/BACb2+c2-a29+2549=2

5、bc=302，由AC(0,兀)，得A=M即/BAC=§33答案C3 .(必修5P10B2改編)在AABC中，acosA=bcosB,則這個(gè)三角形的形狀為解析由正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=九一2B,一，、冗即A=B或A+B=2,所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形答案等腰三角形或直角三角形考題體驗(yàn).兀兀一.4 .（2018沈陽(yáng)質(zhì)檢）已知4ABC中，A=g,B=4,a=1,則b等于（）A.2B.1C. 3D. .2解析由正弦定理sin A- sin B'/口 1 b行一Hsin6sin41.一, 12量b=也.

6、2答案D5.(2018 全國(guó) H 轎AABC 中,C 58s 2=5, BC=1，AC = 5,則 AB=()A.4 2B. .30C. 29D.2 5解析 由題意得cos C = 2coS2C2 1 = 2X35.在4ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC22ACXBCXcosC=52+122X5X1X所以AB:4也.答案A6.（2019荊州一模）設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=22,3cosA=4，sinB=2sinC,則ABC的面積是3.,一解析由sinB=2sinC,cosA=4,A為AABC一內(nèi)角可得b=2c,sinA=/cos2A=乎,由a2=b2+c2

7、2bccosA,可得8=4c2+c23c2,解得c=2（舍負(fù)），則b=4.117SABc=/bcsinA=2X2X4X彳=7.答案7I考點(diǎn)聚焦突破Is舞舞跳糠疆戰(zhàn)例求法一考點(diǎn)一利用正、余弦定理解三角形【例1】（1）（2017全國(guó)田卷）4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知C=60,b="/6,c=3,則A=(2019棗莊二模)已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若(a+b)(sinA-sinB)=(cb)sinC,則A=()A.尚B.微C.D.胡6363（2018全國(guó)出卷）4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若4ABC的用工口加a2+b2c2面

8、積為4，則C;（）A九A.2B.3八九C.4_ jtD.6bsincm*坐也解析（1）由正弦定理，得sinB=bsinC=c32結(jié)合b<c得B=45°,則A=180°BC=75°.(2)(a+b)(sinA-sinB)=(cb)sinC,;由正弦定理得(a+b)(ab)=c(cb),即b2+c2a2=bc.b2+c2-a21冗所以cosA=2bc=2，又AC(0,nt)所以A=3.(3)因?yàn)閍2+b2c2=2abcosCa（2）（2019關(guān)B州二模）在 ABC中，A, B, C的對(duì)邊分別為acos 2C=1, 4sin B = 3sin A, ab=1,則

9、c 的值為()+b2c2且SaABC=4,2abcosC1,所以Sabc=4=2absinC,所以tanC=1.一_、一一九又CC(0,nt)故C=4.答案(1)750(2)B(3)C規(guī)律方法1.三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷2.已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理時(shí)，需判斷其解的個(gè)數(shù)，用余弦定理時(shí)，可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個(gè)數(shù).【訓(xùn)練11（1）（2017全國(guó)I卷）AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b

10、,c.已知sinB+sinA(sinCcosC)=0,a=2,c=,貝UC=()冗A.12冗B.6冗C.4冗D.3b,*2co產(chǎn)A. .13B. 7C.37D.6(3)在AABC中，已知a=2,b=<6A=45。，則滿足條件的三角形有（A.1個(gè)B.2個(gè)C.0個(gè)D.無(wú)法確定解析(1)由題意得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,fl 04sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0,因?yàn)镃(0,則sinC(sinA+cosA)=/sinCsin：A+冗)所以sinCw0,所以sin£+4=0,又因?yàn)锳C(0,%所以A+廣乃所以A=34p

11、由正弦定理尸=.c得=乎小,sinAsinC，sin3jrsinC'則sinC=1,又CC(0,nt)得C=J.262A+B由2cos2cos2C=1,2A+B可得2cos21cos2c=0,2_則有cos2C+cosC=0,即2cosC+cosC1=0,-1,、人解得cosC=2或cosC=1(舍)，由4sinB=3sinA,得4b=3a,又ab=1,聯(lián)立，得a=4,b=3,所以c2=a2+b2-2abcosC=16+9-12=13,貝Uc=V13.(3)bsinA=優(yōu)x乎=窗，bsinA<a<b.滿足條件的三角形有2個(gè).答案(1)B(2)A(3)B考點(diǎn)二判斷三角形的形狀

12、c【例2】(1)在4ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若g<cosA,則AB()A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形(2)設(shè)4ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則AABC的形狀為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定csinC斛析(1)b<cosA,得sn_B<cosA,又BC(0,K)所以sinB>0,所以sinC<sinBcosA,即sin(A+B)<sinBcosA,所以sinAcosB<0,因?yàn)樵谌切沃衧inA>0,所以cosB<

13、;0,即B為鈍角，所以ABC為鈍角三角形.(2)由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A, .sin(B+C)=sin2A,即sinA=sin2A. AC(0,nt)sinA>0,sinA=1,即A=,.ABC為直角三角形.答案(1)A(2)B規(guī)律方法1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.2.無(wú)論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的限制.【訓(xùn)練2】若將本例(2)中條件變?yōu)椤癱

14、acosB=(2ab)cosA”，判斷ABC的形狀.解cacosB=(2ab)cosA,C=n(A+B),由正弦定理得sinCsinAcosB=2sinAcosAsinBcosA,sinAcosB+cosAsinBsinAcosB=2sinAcosAsinBcosA,cosA(sinB-sinA)=0,cosA=0或sinB=sinA,A=1l£B=A或B=九一A（舍去）.ABC為等腰或直角三角形.考點(diǎn)三和三角形面積、周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題.多維探究角度1與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題【例31（2017全國(guó)田卷）zABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA+V3cosA=0,a=24

15、,b=2.求c；設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADXAC,求4ABD的面積.解由sinA+，3cosA=0及cosAw0,得tanA=。3,又0<A<砥2兀所以A=2T.3由余弦定理，得28=4+c24ccos3即c2+2c24=0,解得c=6（舍去），c=4.斤一一一.廳由題設(shè)可得/CAD=2,所以/BAD=/BAC/CAD=6.故 ABD與4ACD面積的比值為2AB ADsin6 j i乂匕ABC的面積為2X4X2sin/BAC=243,所以4ABD的面積為水.角度2與三角形周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題【例32（2018大理模擬）在4ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足asinB=

16、，3bcosA.若a=4,則ABC周長(zhǎng)的最大值為ab解析由正弦定理丸二期,可將asinB=43bcosA轉(zhuǎn)化為sinAsinB=43sinBcosA.又在ABC中，sinB>0,sinA=gcosA,即tanA=5.冗.0<A<陽(yáng).Af3由余弦定理得a2=16=b2+c22bccosA226+c2=(b+c)-3bc>(b+c)-3-,<2J則(b+c)2&64,即b+c08(當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時(shí)等號(hào)成立)，.ABC周長(zhǎng)=a+b+c=4+b+c<12,即最大值為12.答案12111.一規(guī)律方法1.對(duì)于面積公式S=2absinCacsinB=_2bcs

17、inA,一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式.2.與面積周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化【訓(xùn)練3】（2019濰坊一模）ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知(a+2c)cosB+bcosA=0.求B;（2）若b=3,ABC的周長(zhǎng)為3+2q，求ABC的面積.解（1）由已知及正弦定理得(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,(sinAcosB+sinBcosA)+2sinCcosB=0,sin(A+B)+2sinCcosB=0,)sin Cw0,又sin(A+B)=sinC,且CC(0,n cosB=1,.0<B<兀,B：2九.23

18、由余弦定理，得9=a2+c22accosB. a2+c2+ac=9,JM(a+c)2ac=9.a+b+c=3+2#,b=3,.a+c=2V3,-11八.33,3.ac=3,SaABC=2acsinB=2X3X=4.反思與感悟思維升華1 .正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系.2 .在已知關(guān)系式中，既含有邊又含有角，通常的解題思路是：先將角都化成邊或邊都化成角，再結(jié)合正弦定理、余弦定理即可求解222a2+b2-c23 .在4ABC中，若a2+b2<c2,由cosC=-高一<0,可知角C為鈍角，則4ABC2ab為鈍角三角形.易錯(cuò)防范1 .在利用

19、正弦定理解有關(guān)已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有時(shí)出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類討論.另外三角形內(nèi)角和定理起著重要作用，在解題中要注意根據(jù)這個(gè)定理確定角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號(hào)，防止出現(xiàn)增解等擴(kuò)大范圍的現(xiàn)象.2 .在判斷三角形的形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解.I分層限時(shí)訓(xùn)縹I分層訓(xùn)練患翼拓能為-基礎(chǔ)鞏固題組（建議用時(shí)：40分鐘）一、選擇題1.（2016全國(guó)I卷）4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=，5,c=2,cosA=（,則b=（）3A. 2B. 3C.2D.3解析由余弦定理，得5=b2+222XbX2x2,解得b=31=&

20、#39;舍去j答案D2.在4ABC中，cos22|=奈（a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊），則4ABC的形22C狀為（）A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形2Ba+c解析因?yàn)閏oS5=7二,22C2Ba+ca所以2cos稔1=-1,所以8sB=C，a2c2-b2a222所以一豆一所以c2=a2+b2.2acc所以ABC為直角三角形.答案B3.（2019石家莊一模）在ABC中，AB=2,C=W，則AC+，3BC的最大值為（）A.7B.2.7C.37D.4.7一，一，.,冗解析在4ABC中，AB=2,C=6,nt,ABBCAC，入sinCsinA-sinB-&

21、#39;WJAC+V3BC=4sinB+4>/3sinA=4sin阻A!；+4*V3sinA=2cosA+6V3sinA=4gsin（A+九（其中tan4）.所以AC+gBC的最大值為4s.答案D“3sin2C4.（2019開(kāi)封,g擬）在4ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若A=%3773COsC=2sinAsinB,且b=6,貝Uc=（）A.2B.3C.4D.6解析在4ABC中，A=a，b=6,3a2=b2+c22bccosA,即a2=36+c26c,p3sin2C3c2又sC=2sinAsinB，.旗=2犯3c2a2+b2-c222即cosC=2ab=2ab，a+36=4

22、c,（2由解得c=4或c=6（不合題意，舍去）.因止匕c=4.答案C5.（2018全國(guó)I卷改編）AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2a2=8,則AABC的面積為（）C. 64,3D*2；3B.甘解析由bsinC+csinB=4asinBsinC及正弦定理,得2sinBsinC=4sinAsinBsinC,口小八1易知sinBsinCw0,sinA=2.又b2+c2a2=8,b2+c2a24cosA=2bc=i'貝UcosA>0.cosA=-23,即bc=-23,貝1bc=833.1ABC的面積S=2bcsin

23、A=2x833x1=23.答案B二、填空題6.（2018浙江卷）在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a=J7,b=2,A=60,則sinB=,c=.解析由SaA=SbB，得sinB=bsina=軍,又a2=b2+c22bccosA,c2-2c-3=0,解得c=3（c=1舍去）.答案號(hào)37.（2019合肥卞g擬）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設(shè)八ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為S,則“三斜求積”公式為S=">41202_a+2b）1若a2sinC=4sinA,（a+c）2=12+b2,則用“三斜求積”

24、公式求得ABC的面積為.解析根據(jù)正弦定理及a2sinC=4sinA,可得ac=4,由(a+c)2=12+b2,可得a2+c2b2=4,所以SaABc=d，a2c2a+(2b、=勺4乂(164)=V3.答案,38.在AABC中,a, b, c分別是內(nèi)角A, B, sin B=*，Saabc = ¥,則 b 的值為C的對(duì)邊，且B為銳角，若鬻=sin B 2b解析由 SaABC =157d二/曰 12acsin B= 4 且 sin B= 4 得2ac=5,sinA5ca5c5一由各前2b?b=2b?a=2c，聯(lián)立，得a=5,且c=2.73由sinB=/且B為銳角知cosB=4，由余弦定理

25、知b2=25+42X5X2x4=14,b=W4.答案.14三、解答題19.(2018北樂(lè)卷)在4ABC中，a=7,b=8,cosB=7.求/A；(2)求AC邊上的高.1解(1)在4ABC中，因?yàn)閏osB=7,所以sinB=4-cos2B=473.由正弦定理得sinA=asnB=*.b2.一一、一.兀,兀由題設(shè)知2</B<Tt,所以0</A<2.一兀所以/a=3.3(2)在ABC中,3、:3因?yàn)閟inC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=4,所以AC邊上的高為asinC=7X3143=323.10 .已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a

26、2ab2b2=0.一冗，、一若B=6,求A,C;,2兀，、一(2)若C=W，c=14,求S"bc.3解(1)由已知B=6,a2-ab-2b2=0結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)整理得2sin2AsinA-1=0,1.于是sinA=1或sinA=(舍).一-，一-開(kāi)因?yàn)?<a<tt,所以A="2,又A+B+C=兀,所以c=九一26=3.(2)由題意及余弦定理可知a2+b2+ab=196,由a2ab2b2=0得(a+b)(a2b)=0,因?yàn)閍+b>0,所以a2b=0,即a=2b,聯(lián)立解得b=2幣,a=4巾.所以SaABc=/absinC=145.能力提升題組（建議用時(shí)：20分鐘）11 .ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosC=22,bcosA+3acosB=2,則ABC的外接圓面積為（）A.4兀B.8兀C.9兀D.36九解析由題意及正弦定理得2RsinBcosA+2RsinAcosB=2Rsin(A+B)=2(R為ABC的外接圓半徑).即2RsinC=2.又cosC=2j§及C(0,nt)知sinC=；332R=snC=6,R=3.2故ABC外接圓面積S=7R=9tt.答案C12 .（2019武漢卞K擬）在ABC中，C=§,AB=3,則AABC的周長(zhǎng)為（3A.6sin'A+；f f+ 31 3C.2Z3sin8