1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上微觀組織的數(shù)值模擬相場法與元胞自動機(jī)法相場法和元胞自動機(jī)法是材料科學(xué)與工程研究中常用的兩種數(shù)值模擬方法。相場模型是一種建立在熱力學(xué)基礎(chǔ)上，考慮有序化勢與熱力學(xué)驅(qū)動力的綜合作用來建立相場方程描述系統(tǒng)演化動力學(xué)的模型。其核心思想是引入一個或多個連續(xù)變化的序參量，用彌散界面模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)的尖銳界面來描述界面。相場法的不足是計(jì)算量巨大，可模擬的尺度較小（最大可達(dá)幾十個微米）。元胞自動機(jī)法是一種用來描述復(fù)雜系統(tǒng)在離散空間-時間上演化規(guī)律的數(shù)學(xué)算法。元胞在某一時間步的狀態(tài)轉(zhuǎn)變由一定的演化規(guī)則來決定，并且這種轉(zhuǎn)變是隨時間推移對體系各元胞同步進(jìn)行的。元胞的狀態(tài)受其相鄰元胞狀態(tài)的影響，同

2、時也影響著相鄰元胞的狀態(tài)。局部之間相互作用，相互影響，通過一定的規(guī)則變化而整合成一總體行為。相場法相場法的起源與發(fā)展相場法PFM(Phase Field Method)的提出是針對具有十分復(fù)雜的界面結(jié)構(gòu)的問題時，用經(jīng)典尖銳界面模型去跟蹤界面演化，會遭遇到嚴(yán)重的數(shù)值困難。并且真實(shí)材料中的相界或晶界實(shí)際上并不是嚴(yán)格的零厚度界面，而是具有一定厚度（納米尺度）的邊界層，這層厚度控制材料相變動力學(xué)，由此引入一個序參量場F來區(qū)分兩相（如固相和液相），通常稱之為相場。在相場中，F(xiàn)在固/液界面的一側(cè)從一個常值逐漸過渡至界面另一側(cè)的某一常值，將這個擴(kuò)散界面層定義為界面，因此，在相場法中的固/液界面為彌散型界面。

3、F的主要目的是跟蹤兩相不同的熱力學(xué)狀態(tài)，可以不嚴(yán)格地將其理解為結(jié)晶程度的度量。相場模型的想法最初由Langer(1978, 1986)提出的，Collin和Levine (1985)也引入了類似的相場模型(Phase field model)。Caginalp(1985-1991)分析了這些相場模型，證明它們在界面層厚度趨于零時可以還原為尖銳界面的自由邊界模型，這就從數(shù)學(xué)上證明了Langer 等人相場模型的有效性。Fix(1983),Kobayashi(1991)等采用相場模型對具體凝固過程進(jìn)行數(shù)值模擬。1992年，Wheeler，Boettinger和McFadden建立了WBM相場模型，1

4、995年Warren等首次對Ni-Cu合金凝固過程組織演化進(jìn)行了模擬。1993年Chen，Wang及Khachaturyan等將彌散界面概念用于固態(tài)相變模擬，建立了可考慮彈性場作用的相場模型(continuum field model)。1998年Kim等基于界面局部平衡建立了KKS相場模型。1998年及2001年Karma建立了純物質(zhì)凝固及合金凝固的定量相場模型。2002年Elder等建立了晶體相場模型（phase field crystal model)。相場法的原理及過程相場法的關(guān)鍵是引入一個序參量場F來區(qū)分兩相，通常稱之為相場。在相場中，F(xiàn)在界面的一側(cè)從一個常值逐漸過渡至界面另一側(cè)的某

5、一常值，將這個擴(kuò)散界面層定義為界面，因此，在相場法中的界面為彌散型界面。F的主要目的是跟蹤兩相不同的熱力學(xué)狀態(tài)，可以不嚴(yán)格地將其理解為結(jié)晶程度的度量。通過上述處理，從而使界面位置隨空間和時間的變化隱含在相場變量隨時間和空間的演化之中。相場模型的基礎(chǔ)是Landau相變理論。Landau相變理論強(qiáng)調(diào)了對稱的重要性，對稱性的破壞對應(yīng)著相變的發(fā)生。在Landau相變理論中，對稱性由序參量所描述。對稱破缺意味著序參量不為零的有序相出現(xiàn)。序參量是某個物理量的平均值，描述偏離對稱的性質(zhì)和程度，可以是標(biāo)量、矢量、復(fù)數(shù)或更復(fù)雜的量。如果使序參量在空間上是不均勻和連續(xù)的，則可以將Landau理論用于描述微觀組織的

6、演化。通過序參量在空間上的依賴關(guān)系，可以確定非均勻組分和結(jié)構(gòu)，并可通過序參量的空間分布對結(jié)構(gòu)形態(tài)進(jìn)行模擬。對于非均勻的連續(xù)體系，需要采取彌散界面進(jìn)行描述，即利用各種守恒和非守恒場變量（如：濃度、結(jié)構(gòu)、取向、長程有序等）的空間梯度描述各相之間的彌散界面。相變熱力學(xué)和伴生的結(jié)構(gòu)演化是通過選構(gòu)一個依賴于保守和非保守參量的自由能密度泛函而實(shí)現(xiàn)的。相變的本質(zhì)由一組連續(xù)的序參量場所描述。微觀組織演化則通過求解控制空間上不均勻的序參量場的時間關(guān)聯(lián)的相場動力學(xué)方程而獲得。相場法對相變過程中可能出現(xiàn)的瞬時形貌和微觀組織不做任何事先的假設(shè)。相場法的特點(diǎn)及應(yīng)用相場法的優(yōu)點(diǎn)主要有無需跟蹤界面、易于處理復(fù)雜的生長行為（

7、如各向異性等）、與熱力學(xué)直接相關(guān)，可耦合真實(shí)熱力學(xué)、動力學(xué)數(shù)據(jù)庫、易于與一些物理機(jī)制關(guān)聯(lián)（如外場）。缺點(diǎn)主要在于計(jì)算量巨大、需構(gòu)造自由能函數(shù)（有時很復(fù)雜）、界面不真實(shí)、一些物理參數(shù)獲取較困難、數(shù)學(xué)處理復(fù)雜。目前，在材料科學(xué)中，相場法被廣泛應(yīng)用于模擬液/固相變（枝晶生長、多元多相凝固、多晶凝固等）、固態(tài)相變 （沉淀相析出、馬氏體相變、鐵電相變等）、應(yīng)力相變（薄膜生長，定向粗化）、結(jié)構(gòu)缺陷相變（裂紋擴(kuò)展、位錯動力學(xué)）等。圖1,2,3分別展示了相場法在枝晶生長，沉淀相析出以及微裂紋擴(kuò)展等方面具體的應(yīng)用。圖1 Al-4.5wt%Cu 合金枝晶生長演變過程相場法模擬結(jié)果1圖2 Ni4Ti3沉淀相的二維形

8、貌隨時間的演化過程2圖3 韌性材料的微裂紋擴(kuò)展和連通的晶體相場模擬3元胞自動機(jī)法元胞自動機(jī)法的提出與發(fā)展元胞自動機(jī)法是描述復(fù)雜系統(tǒng)在離散的時間和空間上演化規(guī)律的一種算法。元胞自動機(jī)法最早由Von Neumann和Stanislaw Ulam提出來。1970 年，劍橋大學(xué)的J. H. Conway利用元胞自動機(jī)法編制了一個名為“生命”的游戲程序，并由M. Gardner 通過科學(xué)美國人介紹到全世界。該游戲通過幾條簡單“生死”規(guī)則的組合，細(xì)胞在網(wǎng)格中就可以出現(xiàn)無法預(yù)測的延伸、變形、停止和周期性變化的復(fù)雜模式。這種意想不到的結(jié)果吸引了大批計(jì)算機(jī)科學(xué)家研究“生命”程序的特點(diǎn)，最終證明這個程序與Turi

9、ng 機(jī)等價，也就是說給定適當(dāng)?shù)某跏紬l件，“生命”模型可以模擬任何一種計(jì)算機(jī)。20 世紀(jì)80 年代，物理學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家對元胞自動機(jī)模型的興趣大增。S. Wolfram對CA 的貢獻(xiàn)很大，他引入動力系統(tǒng)的思想理論和研究方法，對元胞自動機(jī)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，用熵來描述其演化行為，并將元胞自動機(jī)按動力學(xué)行為分為平穩(wěn)型、周期型、混沌型和復(fù)雜型，分別對應(yīng)于人們已經(jīng)熟悉的不動點(diǎn)、周期行為、混沌狀態(tài)和自組織現(xiàn)象。1986 年，U. Frish等人發(fā)表了代替Navier-Stocks 方程的格子氣自動機(jī)，這種計(jì)算機(jī)比常見的Navier-Stocks (N-S)方程數(shù)值法快得多，開辟了流體力學(xué)的一個全新領(lǐng)域。

10、隨后L. O. Chuan將CA 引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，建立細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。另外，由于元胞自動機(jī)的運(yùn)算每次不涉及全局的狀態(tài)，專家們正在考慮按照這種思想設(shè)計(jì)新一代的計(jì)算機(jī)，采用大規(guī)模并行結(jié)構(gòu), 最終目的是以較小的代價達(dá)到超級計(jì)算機(jī)的能力。元胞自動機(jī)法的原理及過程在一個元胞自動機(jī)模型中,體系被分解成有限個胞,同時把時間離散化為一定間隔的步,每個胞的所有可能狀態(tài)也劃分為有限個分立的狀態(tài)。每個胞在前后時間步的狀態(tài)轉(zhuǎn)變按一定的演變規(guī)則來決定,這種轉(zhuǎn)變是隨時間不斷地對體系各胞同步進(jìn)行。因此一個胞的狀態(tài)受其鄰居胞的狀態(tài)的影響,同時也影響著鄰居胞的狀態(tài),局部之間互相作用,相互影響。通過這一定的規(guī)則變化而整合成一總體

11、行為。如此，利用大量的簡單的元件，通過簡單的連接和簡單的運(yùn)算規(guī)則，在時空中并行地持續(xù)運(yùn)行，以模擬出復(fù)雜而豐富的現(xiàn)象。以晶粒生長為例，元胞自動機(jī)的模擬過程主要有確定形核、選擇時間步長、計(jì)算溫度場、計(jì)算溶質(zhì)場、計(jì)算界面元胞的生長動力學(xué)、確定胞狀態(tài)、捕捉鄰胞、計(jì)算曲率等過程組成。元胞自動機(jī)法的特點(diǎn)及運(yùn)用元胞自動機(jī)法的特點(diǎn)主要是空間是離散的、時間是離散的、狀態(tài)取值是離散的、演化的運(yùn)算規(guī)則是局域的(一般情形）。目前，元胞自動機(jī)法廣泛應(yīng)用于凝固與結(jié)晶、晶粒長大與再結(jié)晶、相沉淀與相分解、位錯花樣的形成等過程。圖4展現(xiàn)了元胞自動機(jī)法在晶粒生長演化過程中的運(yùn)用。 圖4 晶粒生長演化過程4相場法(PFM)與元胞自

12、動機(jī)法(CA)的比較相場法與元胞自動機(jī)法的異同點(diǎn)比較如表1所示：表1 相場法與元胞自動機(jī)法的異同點(diǎn)相場法(PFM)元胞自動機(jī)法(CA)理論基礎(chǔ)朗道相變理論、熱力學(xué)基本定律、動力學(xué)演化方程計(jì)算機(jī)理論、計(jì)算數(shù)學(xué)、人工智能基本思想序參量、彌散界面、統(tǒng)一自由能形式時間、空間、狀態(tài)離散，轉(zhuǎn)變規(guī)則、鄰居元胞控制方程C-H方程、G-L方程對界面形態(tài)無控制方程其他場變量控制方程界面處理自洽在控制方程中，無需處理、彌散界面需通過特定變量結(jié)合轉(zhuǎn)變規(guī)則處理界面，尖銳界面/彌散界面參數(shù)確定需借助于漸近分析及穩(wěn)態(tài)平衡解，比較復(fù)雜常規(guī)確定，易于處理模擬尺度nmmm（取決于模擬對象）mm-m（取決于模擬對象）計(jì)算效率精度高、處理復(fù)雜精度一般、處理簡單研究對象主要用于材料科學(xué)中的形態(tài)演化材料科學(xué)、生物學(xué)、社會學(xué)等模型處理難點(diǎn)模型參數(shù)、自由能形式的確定轉(zhuǎn)變規(guī)則、如何控制精度、各向異性的處理參考文獻(xiàn)1 龍文元. 鋁合金凝固過程枝晶生長的相場法數(shù)值模擬D. 華中科技大學(xué), 2004