1、 物理學(xué)史分析力學(xué)的形成及其兩種表示王長榮(204摘要, 討論了分析力學(xué)的微分和積分.關(guān)鍵詞; ; 1科學(xué)淵源與歷史背景分析力學(xué)是18世紀(jì)后葉隨著工業(yè)革命的迅速發(fā)展而建立起來的.自從牛頓總結(jié)了運(yùn)動(dòng)三定律, 發(fā)現(xiàn)了萬有引力之后, 力學(xué)的發(fā)展出現(xiàn)了一個(gè)新的局面. 其最大的特點(diǎn)是很多數(shù)學(xué)家, 特別是分析數(shù)學(xué)家對力學(xué)研究表現(xiàn)出了驚人的熱情. 微積分成為一種強(qiáng)有力的分析工具. 以D. 伯努利(D. Bernoulli 17001782 為代表, 將分析的方法用于力學(xué)解決了當(dāng)時(shí)許多沒有解決的問題. 力學(xué)理論顯著的數(shù)學(xué)特征對于具有數(shù)學(xué)才能的科學(xué)家們有一種強(qiáng)大的吸引力. 所以, 這一時(shí)期許多著名的科學(xué)家大都既

2、是力學(xué)家又是數(shù)學(xué)家. 這又反過來加強(qiáng)了力學(xué)的數(shù)學(xué)特征, 進(jìn)一步促進(jìn)了力學(xué)逐漸形成一套更加嚴(yán)密的數(shù)學(xué)演繹體系.1718世紀(jì), 由于“力”的概念不是完全確定的, 對于力的各種效應(yīng)以及與之相應(yīng)的各個(gè)物理量的意義和使用范圍也是不清楚的, 以質(zhì)點(diǎn)力學(xué)為標(biāo)志的牛頓力學(xué)原理, 雖然原則上可以解決全部力學(xué)問題, 但對多質(zhì)點(diǎn)系和約束較多的情況, 直接應(yīng)用牛頓三定律就十分繁難, 常常需要求解大量矢量微分方程式, 如果質(zhì)點(diǎn)組受到約束, 則因約束反力也是未知的, 所以約束并不能減少甚至增加了問題的復(fù)雜性. 18、19世紀(jì), 隨著工業(yè)革命的迅速發(fā)展, 在工程技術(shù)上急需要解決的又正是這一類問題. 因此, 迫切需要尋求另外

3、的方法來處理這一類問題. 分析力學(xué)正是在這種歷史的大背景下產(chǎn)生的.2分析力學(xué)的形成18世紀(jì)上半葉是一個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)蓬勃開展的時(shí)期, 其結(jié)果產(chǎn)生了許多新的力學(xué)問題, 特別是動(dòng)力學(xué)方面的問題, 給數(shù)學(xué)提出了更高的要求. 1736年, 歐拉(L. Euler ,17031783 的不朽著作力學(xué)或運(yùn)動(dòng)學(xué)分析一書問世, 在本書中, 他沒有用傳統(tǒng)的幾何方法, 而是采取了更有力的分析方法, 通過分析和論證, 一步一步地推演出各種命題, 使物理學(xué)體系化. 有人評價(jià)歐拉, 認(rèn)為他對力學(xué)理論的貢獻(xiàn)相當(dāng)于笛卡兒對幾何的貢獻(xiàn). 1743年, 達(dá)朗貝爾(J. L. R d Alembert ,17171783 提出了化動(dòng)為

4、靜的達(dá)朗貝爾原理, 將由牛頓第二定律表示的動(dòng)力學(xué)方程, 看成在每一瞬間處于平衡狀態(tài)的力系. 與此同時(shí), 莫泊丟、赫曼等人也在力學(xué)理論的發(fā)展中做出了重要的貢獻(xiàn). 但是分析力學(xué)的真正創(chuàng)始人還應(yīng)算是當(dāng)時(shí)法國第一流的數(shù)學(xué)力學(xué)家拉格朗日(J. L. Lagrange 17361813 . 拉格朗日19歲就開始關(guān)心變分法問題, 并于1760年開始發(fā)表這方面的研究論文. 1788年出版了大型著作分析力學(xué). 在這本著作中, 他把“作用”定義為運(yùn)動(dòng)量的空間積分或動(dòng)能對時(shí)間積分的兩倍, 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所取的實(shí)際路徑必是它的質(zhì)量、速度和所經(jīng)路程乘積的積分取極值的情況. 用s 個(gè)獨(dú)立變量來描寫力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng), 構(gòu)建成二階常

5、微分方程組, 無須籍助以往常用的幾何方法, 而完全用數(shù)學(xué)分析的方法來解決所有的力學(xué)問題. 到了1834年, 哈密頓(W. R. Hamilton ,18051865 又提出, 如果用坐標(biāo)和動(dòng)量作為獨(dú)立變量則雖方程式的數(shù)目增加了一倍, 即由s 個(gè)變?yōu)?s 個(gè), 但微分方程式卻從二階降為46物理與工程V ol. 14N o. 32004 一階, 在很多情況下, 用它來寫出力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程并求解, 比拉格朗日方程更方便. 1843年, 他又用變分法原理提出了另一個(gè)和牛頓定律及上述諸方程組等價(jià)的哈密頓原理, 用來描述力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng), 這樣分析力學(xué)就變得更加完整了. 3分析力學(xué)的兩種表達(dá)形式, 價(jià)形式

6、.3. 1微分形式與莫泊丟和歐拉的觀點(diǎn)不同, 在分析力學(xué)中, 拉格朗日把虛位移原理看成是物理學(xué)中的普遍原理, 認(rèn)為它是具有理想約束質(zhì)點(diǎn)平衡系的最普遍形式, 并將其表示為Pp +Q q +R r +=0(1 (1 式把靜力學(xué)問題的解歸結(jié)成為純數(shù)學(xué)運(yùn)算, 是分析力學(xué)微分形式的理論基礎(chǔ).1743年, 法國數(shù)學(xué)力學(xué)家達(dá)朗貝爾引進(jìn)了“慣性力”這一概念, 提出了以他的名字命名的達(dá)朗貝爾原理, 將牛頓第二定律表示的動(dòng)力學(xué)方程, 看成在每一瞬間處于平衡狀態(tài)的力學(xué), 即F +(-m r =0(2 將動(dòng)力學(xué)問題化為靜力學(xué)問題, 于是力學(xué)的一切規(guī)律歸結(jié)為慣性定律、運(yùn)動(dòng)合成定律和平衡定律. 將虛位移原理和達(dá)朗貝爾原理

7、結(jié)合起來, 就得到理想約束情況下分析力學(xué)的達(dá)朗貝爾2拉格朗日方程n i =1(F -m r i r i =0(3它是解決質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題的普遍方程.在此一般方程的基礎(chǔ)上, 拉格朗日進(jìn)一步指出:可以引入數(shù)目恰等于系統(tǒng)自由度數(shù)的另一組參數(shù)來代替原來的坐標(biāo), 這樣的廣義坐標(biāo)是相互獨(dú)立的, 然后將普遍方程變換成包含這些新變量的方程, 再引入廣義力, 就可以建立起一套全新的運(yùn)動(dòng)方程組, 即關(guān)于自由參數(shù)的一般動(dòng)力學(xué)方程d t 9q i -9q i=Q i , i =1, 2, , s(4式中q i , q i , Q i 分別表示廣義坐標(biāo)、廣義速度和廣義力; T 為系統(tǒng)的動(dòng)能, 如果體系是保守力系, 則上式

8、還可以進(jìn)一步簡化為d t 9q i -9q i=0, i =1, 2, , s(5式中拉氏函數(shù)L =T -V , 表示體系的動(dòng)能與勢能之差, , 表征著約束、. (3 式和(4 式(亦或(式 .( P. S. M de Laplace , , V 總是滿足微分方程這個(gè)關(guān)系式出現(xiàn)于數(shù)學(xué)物理的各個(gè)部門中. 3. 2積分形式分析力學(xué)的積分形式是從最小作用原理發(fā)展起來的變分原理, 是一種通過變分法求泛函極值的方法.1657年, 費(fèi)馬從反射光線沿需時(shí)最少的路徑行走的現(xiàn)象得到啟示, 相信自然是“簡單而又經(jīng)濟(jì)地行動(dòng)的”, 確言了最小時(shí)間原理, 并將這一原理用變分的形式表示為BAv=0在這一理論的基礎(chǔ)上,17

9、44年, 法國物理學(xué)家莫泊丟(P. L. M de Maupertuis ,16981759 提出了適用于各種物理現(xiàn)象的“最小作用量原理”, 他指出:體系實(shí)際發(fā)生的真正運(yùn)動(dòng)是使某一個(gè)作用量取最小值的運(yùn)動(dòng), 并表示為mvs =min. 1755年, 拉格朗日把這種方法稱為變分方法, 并把作用量定義為運(yùn)動(dòng)量的空間積分, 對于單個(gè)質(zhì)點(diǎn), 這個(gè)作用就等于pp 0mv d r 也可表示為tt 0mv 2d t =tt 02T d t并斷言, 這個(gè)表示對質(zhì)點(diǎn)組亦是成立的.哈密頓在仔細(xì)研究、分析了拉格朗日分析力學(xué)微分形式和關(guān)于最小作用量的定義之后, 利用拉氏函數(shù)L =T -V , 把作用量寫為物理與工程V

10、ol. 14N o. 3200447 t 1t 0L (q 1, q 2, , q s , q 1, q 2, , q s , t d t稱為哈密頓作用量, 哈密頓斷言:在確定的初態(tài)和終態(tài)之間的所有可能的運(yùn)動(dòng)中, 真實(shí)運(yùn)動(dòng)的作用函數(shù)(哈密頓量 具有極值(通常是極小值 , 即tt 0L d t =0這就是哈密頓原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式, 積分形式的基礎(chǔ)表示. 由于L =T V t 1t 0L t t t 0t t 1t 0V d 時(shí)間平均值之差有一駐定值, 對于真實(shí)的運(yùn)動(dòng), 它的平均動(dòng)能盡可能地接近或等于平均勢能. 此外, 利用廣義坐標(biāo)q i 及其與它相共軛的廣義動(dòng)量p =9q i 定義哈密頓函數(shù)H (

11、p , q , t =-L +si =1p i qi則d H =-d L +si =1(p id qi+q i d p i 而d L =si =19q i d q i +9q i d q i +9t d t =s i =1(p id q i+p i d q i +9t d t 代入上式即得d H =si =1(-p i d q i +q i d p i -9td t 而d H =si =19q i d q i +9 p i d p i +9td t 所以有q i=9p ip i =-9q i(i =1, 2, , s (6(6 式稱為哈密頓正則方程, 它是以(p i , q i 為參量, 包含

12、有2s 個(gè)一階常微分方程的方程組, 形式簡單而對稱, 是分析力學(xué)積分表示的又一種形式. 從經(jīng)典物理學(xué)過渡到近代物理學(xué), 正則方程也常被認(rèn)為是最方便的形式. 4, 是經(jīng)典力學(xué)發(fā)展史上的一, 通過虛位移原理、拉格朗日方程、最小作用原理, 把全部力學(xué)建立在能量不滅原理基礎(chǔ)之上, 充分顯示了變分法的力量, 從而使動(dòng)力學(xué)達(dá)到了前所未有的高峰, 為現(xiàn)代力學(xué)奠定了基礎(chǔ). 哈密頓原理更是深刻揭示了客觀事物之間的緊密聯(lián)系, 把力學(xué)原理歸結(jié)成了一般的形式, 不僅給出了解決力學(xué)問題的統(tǒng)一的觀點(diǎn)和方法, 而且成為新的科學(xué)研究的起點(diǎn), 為自然科學(xué)的發(fā)展提供了新的思路, 架起了通往近代物理的橋梁, 成為處理整個(gè)物理學(xué)領(lǐng)域

13、的方法. 最后, 我們借用拉格朗日在分析力學(xué)的序言中, 在回答分析力學(xué)的作用時(shí)的一句話作為本文的結(jié)尾:“喜歡分析的人將高興地看到力學(xué)變成它的一個(gè)新分枝, 并將感激我擴(kuò)大了它的領(lǐng)域”.參考文獻(xiàn)1申先甲, 張錫鑫, 祁有龍. 物理學(xué)史簡編M.濟(jì)南:山東教育出版社,19852A. W olf. A History of Science , T echnology ,and phibos ophy in the18th Century. 2nd ed New Y ork. M ac M illan ,19523E. M ach. The Science of M echanics , A Critical and HistoricalAccount of Its Development. The Open C ourt Publishing C om pany , 6th e