1、2022年3月7日星期一忻州師院附屬中學(xué)忻州師院附屬中學(xué) 王志宏王志宏 可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系： 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間可導(dǎo)時，如果在某個區(qū)間可導(dǎo)時，如果f (x)0,則則f(x)為增函數(shù)；如果為增函數(shù)；如果f (x)0,則則f(x)為減函數(shù)為減函數(shù) ； 但反過來，函數(shù)但反過來，函數(shù)f(x)在某個區(qū)間為增（減）函數(shù)，在某個區(qū)間為增（減）函數(shù)，f（x)在此區(qū)間的某個點處的導(dǎo)數(shù)可能為在此區(qū)間的某個點處的導(dǎo)數(shù)可能為0，如，如f(x)=x3,所以在求所以在求f(x)的單調(diào)區(qū)間時，我們一般是的單調(diào)區(qū)間時，我們一般是解不等式解不等式f (x)0(或或f

2、(x) 0）可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要必要條件是：條件是：在此點處的導(dǎo)數(shù)為在此點處的導(dǎo)數(shù)為0. 高考預(yù)測高考預(yù)測 ：由于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的廣泛性，并為函數(shù)性：由于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的廣泛性，并為函數(shù)性質(zhì)的研究提供了一般的方法，因此，使其在考察質(zhì)的研究提供了一般的方法，因此，使其在考察中的位置更為重要，這部分命題多與函數(shù)、解析中的位置更為重要，這部分命題多與函數(shù)、解析幾何、不等式有關(guān)，要注意知識的全面性和綜合幾何、不等式有關(guān)，要注意知識的全面性和綜合應(yīng)用，考題將在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用，考題將在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)幾何意義求曲線的切線的斜率和方程，用導(dǎo)數(shù)判斷或證明求曲線的切線的

3、斜率和方程，用導(dǎo)數(shù)判斷或證明單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值，利用導(dǎo)數(shù)解決實單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值，利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題等方面擬題際問題等方面擬題題型求切線方程求切線方程方程的根方程的根函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值求函數(shù)的最值解不等式解不等式例例1（04浙江）設(shè)浙江）設(shè)f(x)是是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，y= f(x)的圖象如圖所示，則的圖象如圖所示，則y=f(x)的圖的圖象最有可能的是象最有可能的是 （ ）xyO12y=f(x)xyO12DxyO12CxyO12AxyO12B例例2 函數(shù)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，其中，其中a，b，c為實數(shù)，當(dāng)為實數(shù)，當(dāng)a2-3b0時時,

4、 f(x) 是是 （ ） A 增函數(shù)增函數(shù) B 減函數(shù)減函數(shù) C 常數(shù)常數(shù) D 既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)例例3（04湖南）如圖，已知曲線湖南）如圖，已知曲線C1：y=x3（x 0），與曲線），與曲線C2： y=-2x3 +3x（x 0），交于點），交于點O、A， 直線直線x=t(0t1)與曲線與曲線C1 、C2 分別相分別相 交于點交于點B、D. （1）寫出四邊形）寫出四邊形ABOD的面積的面積S與與t的的 函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系S=f(t); （2）討論）討論f(t) 的單調(diào)性，并求的單調(diào)性，并求f(t)的最大值的最大值. xyOB A D C2C1t) 1t0(),t(t

5、23) t (f3）減函數(shù)，增函數(shù)，（133)33(0,33)33(f例例4 (全國卷全國卷) 若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 （1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+）為增函數(shù)，試求）為增函數(shù)，試求 實數(shù)實數(shù)a的取值范圍的取值范圍. 解：解：1x) 1a (ax21x31)x(f23.75a. 7a5. 61a40.(x)f)6(x, 0)x( f ,)41 (x.1a) 1a(1,1 ,(- f(x)2a11-a.(1, f(x)2a11-a1.-ax1x0.(x)f1aaxx)x( ff(x)2，的取值范圍是所以解得所以時為，當(dāng)時，依題意應(yīng)有當(dāng)）為增函數(shù)，內(nèi)為減函數(shù)，在（在

6、）為增函數(shù)，在時，函數(shù)即當(dāng)）為增函數(shù)，不合題意在時，函數(shù)即當(dāng)或解得令的導(dǎo)數(shù)函數(shù)例例5（全國卷（全國卷）已知函數(shù)）已知函數(shù) 在在R上是減函上是減函 數(shù)，求數(shù)，求a的取值范圍的取值范圍.1323xxaxf(x)解：求函數(shù)解：求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)：的導(dǎo)數(shù)：f(x)=3ax2+6x-1. (1) 當(dāng)當(dāng)f(x)0(xR)時，時，f(x)是減函數(shù)是減函數(shù). 3ax2+6x-10 (xR) a0,且且=36+12a0 a-3 所以，當(dāng)所以，當(dāng)a-3時，由時，由f(x)-3時，在時，在R上存在一個區(qū)間，其上有上存在一個區(qū)間，其上有f(x)0. 所以，當(dāng)所以，當(dāng)a-3時，時， f(x) (xR)是不是減函數(shù)是不

7、是減函數(shù). 綜上，所求綜上，所求a的取值范圍是（的取值范圍是（-，-3.89)31x( 3133323xxxf(x)例例2 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1, 有極大值和極小值有極大值和極小值, 則實數(shù)則實數(shù)a 的取值范圍是的取值范圍是 （ ） A -1a2 B -3a6 C a6 D a2例例1（04湖北）函數(shù)湖北）函數(shù)f(x)=ax3+x+1有極值的充要條件是有極值的充要條件是 （ ） A a0 B a 0 C a0, f(x)=ax2+bx+c, 曲線曲線y=f(x) 在點在點 處的切線處的切線 的傾斜角的取值范圍為的傾斜角的取值范圍為 ，則，則P到曲線到曲線y=

8、f(x)對稱軸的距離對稱軸的距離 取值范圍為取值范圍為 （ ） A B C D )x(f ,x(P004, 0a1, 02a1, 0|2ab| , 0|2a1-b| , 0例例2 設(shè)點設(shè)點P是曲線是曲線 上的任意一點，上的任意一點，P點處切線點處切線 傾斜角為傾斜角為 ，則角，則角 的取值范圍是的取值范圍是 （ ）32x3xy3),32)65,2(),65)2, 0),32)2, 0BDCA例例3 若曲線若曲線f(x)=x4-x在點在點P處的切線與直線處的切線與直線x+3y-1=0垂直，則點垂直，則點 P的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 （ ） A（1，0） B（1，2） C（-1，4） D（-1，0）例例4

9、（04湖北）已知湖北）已知b-1,c0，函數(shù)，函數(shù)f(x) =x+b的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)g(x)= x2+bx+c的圖象相切的圖象相切. (1) 求求b與與c的關(guān)系式（用的關(guān)系式（用c表示表示b）；）； (2) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)F(x) =f(x)g(x)在在 內(nèi)有極值點，求內(nèi)有極值點，求c的取的取值范圍值范圍.),(c21b), 347()347 , 0(例例5 (全國卷全國卷),(1,0)2xxy21處的切線在點為曲線已知直線l.x2) 1 (212212積軸所圍成的三角形的面和求由直線）（的方程；求直線，且為該曲線的另一條切線、lll.lll.922x31y.32b,3112b2.-b-

10、1)x(2by),2bb, b(B2xxy3.-3xy. 12x y) 1 (221222221的方程為所以，則有因為的方程為則直線上的點過曲線設(shè)直線的方程為直線llllll解：解：(2).12125|25|32521S).0 ,322()(1,0 x).25,61(和.25y61x.922x31y33xy2121所以所求三角形的面積、軸交點的坐標(biāo)分別為與、的交點坐標(biāo)為所以直線得解方程組llll1.1.設(shè)三次方程設(shè)三次方程f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+bx2 2+cx+d=0 (a0) +cx+d=0 (a0) 有且有且只有一個實根的條件是：只有一個實根的條件是：f(x)f(x)是

11、單調(diào)函數(shù)或是單調(diào)函數(shù)或f(x)f(x)有極值，極值同號。（如示意圖有極值，極值同號。（如示意圖）0 x0 xyy0 x是拐點(非極值點)0處x(x)ff(x)單調(diào)遞增.0,(x)f03acb即0(2)f(x)單調(diào)遞增.0,(x)f03ac即b03ac44bc2bx3ax(x)f(1)0)(aR)(xdcxbxax設(shè)f(x):說明0222223一個實根.0有且僅有)有一種情況f(x)以上(1)(2)(30時,)f(x當(dāng)f(x兩個極點,即有,x,有兩個根x0,(x)f方程03acb即0(3)212120(如示意圖)f(x且f(x0,3acb異實根的條件是2.三次方程有三個相212yx0 x1x2例

12、例3（02北京春）已知函數(shù)北京春）已知函數(shù) 則則b的取值范圍是的取值范圍是_.f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，的圖象如圖所示，xyO12)0 ,(4個 實圍32232例 已 知 方 程 xaxa x640和 x2ax4x0都 有 相 異 的 三根 ,求a的 范.3321222223a64f(a),a27564)3af(3aa或xxa)a)(x(3xa2ax3x(x)f4)2axx(xg(x)64xaaxx設(shè)f(x):解2 3333a5又 f()f(a)(64a )(64a )03275即 (a4)(a4)03125a或 a452 個 實23而 g(x)0只 要 4a160就

13、有三根 ,即 a2或 a2125a或 a4532x6x9x100A.0 B.1 C.2 D.3例題：(學(xué)海 四模)方程的實根的個數(shù)為個個個個32f(x)x6x9x 10 x解析：求方程根的個數(shù)，就是求函數(shù)圖象與 軸的交點的個數(shù)，我們可以利用導(dǎo)數(shù)判斷極值點的大小，從而判斷根的個數(shù)2f (x)=3x12x9,f (x)0 x13f(1) f 314 10 0f(x)=0令或又( )=方程只有一個實數(shù)根們在解題中不斷體會。在此不列舉了，請同學(xué)。運用其的工具性來解決方程、不等式問題都可凡涉及到函數(shù)問題、導(dǎo)數(shù)在其它領(lǐng)域內(nèi),即可證出.0,單調(diào)遞增后f(a)判斷a時,當(dāng)x因此,0,即證f(x)B.A構(gòu)造f(

14、x)B,構(gòu)造函數(shù)一般為證A判斷單調(diào)性,證不等式時要構(gòu)造函數(shù):回顧解：（1）由f(x)=3x2+a,若a0時， f(x) 0恒成立，所以f(x)在x R，單調(diào)遞增，不合題意。例、已知函數(shù)f(x)=x3+ax-4a3在（-|a|,|a|）上單調(diào)遞減。 （1）確定a的取值范圍；（2）求f(1)的取值范圍。若a0, 故故f(x)在單調(diào)區(qū)間在單調(diào)區(qū)間(- ,-1)上是增函數(shù)上是增函數(shù).當(dāng)當(dāng)x (- 1, 1)時時, f(x)0, 故故f(x)在單調(diào)區(qū)間在單調(diào)區(qū)間(1,+ )上是增函數(shù)上是增函數(shù).所以，所以，f(x)在在x=-1處取得極大值，極大值為處取得極大值，極大值為f(-1)=2.(2) 解：由解：由(1)知，知， f(x)=x3-3x（x -1，1）是減函數(shù)，且）是減函數(shù)，且f(x)在在-1，1上的最大值上的最大值M=f(-1)=2,f(x)在