1、 . 對(duì)二元二次不定方程解法的探討院 系： 教師教育學(xué)院 專 業(yè)： 小學(xué)教育 年 級(jí)： 2009級(jí) 學(xué)生:建麗，董雪嬌，汝，蓓 學(xué) 號(hào)： 第十四組 導(dǎo)師與職稱： 杜先存 2011年12月二元二次不定方程解法探討摘要：在實(shí)際生活中，許多問(wèn)題往往歸結(jié)為不定方程求解。同時(shí)，不定方程與其它學(xué)科如組合數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、幾何等也有著密切的聯(lián)系，故研究不定方程有與大的實(shí)用價(jià)值。本文主要介紹二元二次不定方程的解法。關(guān)鍵詞：不定方程，二元二次，解法。二次不定方程的一般形式：（皆非零），以此形式來(lái)研究其解法。一、二元二次不定方程解的情況：（1）無(wú)解例 的整數(shù)解。解：因?yàn)槭钦麛?shù)，故必須是完全平方數(shù)，為了找出取哪些整數(shù)值

2、時(shí)為完全平方數(shù)，不妨對(duì)作如下變形：或由此可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才可能非負(fù)，對(duì)的整數(shù)逐一檢驗(yàn)，相應(yīng)的均非完全平方數(shù)，故方程無(wú)解。（2）有限組解。例 解：看成的二次方程得： 因或故只有時(shí)，才可能非負(fù)，對(duì)的整數(shù)逐一檢驗(yàn)只有、時(shí)，、才是完全平方數(shù)，故原方程有且僅有四組整數(shù)解：（3）有無(wú)窮多解例 求的整數(shù)解。解：因式分解得：故由或易知原方程有無(wú)窮多組整數(shù)解。二、二元二次不定方程的解法：（1）一般方法（又名判別式法）：將它看作某一未知數(shù)（如）的一元二次方程，由求根公式求解，并由“另一未知數(shù)（如）的取值必須使被開(kāi)方數(shù)為平方數(shù)”的原則找到該未知數(shù)的取值（可將變形或解縮小的取值圍，再試驗(yàn)。）從而求出另一變?cè)M(jìn)而取得原方

3、程的整數(shù)解。（2）特殊解法：對(duì)特殊的二元二次不定方程式可化為二元二次不定方程的方程往往有特殊解法，有觀察法，因式分解法，分離分式法，奇偶分析法，換元法，配方法，同余法等。（一）、因式分解與因式組合法。對(duì)于可化為 (是整數(shù)的形式的不定方程可用因式分解與因式組合求解)。例 若，求的整數(shù)解。解：分解因式得 ，有整數(shù)解且滿足 的方程組解之得整數(shù)解：二判別式法。巧用判別式，簡(jiǎn)便快速解題。例 求不定方程 的整數(shù)解. 解：將方程整理成關(guān)于x 的一元二次方程 判別式 即 因?yàn)闉檎麛?shù)，所以 0,1,2把0 代入原方程中，得 0 或1把1代入原方程中，得 0 或 2把2代入原方程中，得 1 或 2所以不定方程的解

4、為:三奇偶分析法。例 求 ，列表如下：奇 奇 偶 偶偶 偶 偶 偶奇 偶 奇 奇偶 奇 奇 奇因 與同奇、同偶，則 與均為偶數(shù)設(shè)，代入原方程，得所以 或，代入方程得 解之得原方程的正整數(shù)解為：四. 求根公式法。求根公式一直以來(lái)是一元二次方程的主要解法，把二元二次轉(zhuǎn)化為已知的一元二次求解，即化未知為已知。例4. 求 的正整數(shù)解.解：把原方程看成的二元二次方程，因?yàn)樗灾豢赡苋?5,4,3,2,1,0 分別代入方程，求得正整數(shù)解為：五.估計(jì)法。若一個(gè)不定方程有整數(shù)解，它當(dāng)然就有實(shí)數(shù)解。當(dāng)方程的實(shí)數(shù)解集為有界集時(shí)，就能用這一必要條件確定整數(shù)解的界限，然后逐一檢驗(yàn)以確定全部解。應(yīng)著眼于整數(shù)，利用整數(shù)的

5、各種性質(zhì)產(chǎn)生適用的不等式，進(jìn)行解得估計(jì)。例6. 求不定方程的全部整數(shù)解. 解：假設(shè)方程有整數(shù)解，當(dāng)然就有實(shí)數(shù)解。作為 X 的二次方程其判別式應(yīng)非負(fù)，即 可解得 即 ，將y在這一圍的整數(shù)逐一代入原方程檢驗(yàn)（可首先檢查上述判別式是否為完全平方數(shù)），從而得出方程的全部整數(shù)解為，例 式求求出所有的整數(shù)解使得 能夠整除,其中. 解：首先估計(jì) 的圍。令則，注意到所以或若則_（1）顯然，若，則，此時(shí)與（1）矛盾，因此,此時(shí) 易知（當(dāng)時(shí)，上式不成立）從而得出 若，則_（2）于是有，否則（2）左邊此時(shí)（2）式為易知，從而得出的方程的整數(shù)解為六、同余法。求的整數(shù)解。解：利用同于，因?yàn)?，所以令，顯然，對(duì)任意整數(shù)都不

6、能被整除，故原方程無(wú)整數(shù)解。七、換元法。求的整數(shù)解。解：令有，因，故，令則，列表如下： K-6-3036P-18-90918Q1223402094(X,Y)無(wú)解無(wú)解(0,0)(5,4)無(wú)解舍去（0，0）或（5，4）八、解析法。 形如 ：_(1)當(dāng)時(shí)的解。我們知道，當(dāng)時(shí)，（1）表示一個(gè)橢圓形圓錐曲線，過(guò)它上任意一點(diǎn)的切線斜率為故過(guò)點(diǎn)的切線方程為注意到，解不定方程（1）（當(dāng)）就是求適合條件（1）的整數(shù)對(duì)而（1）表示橢圓型圓錐曲線，那么，適合（1）的必在某一有限圍且也在某一有限圍。只要知道其中一個(gè)有限圍，利用實(shí)驗(yàn)法就可以求出不定方程（1）的解。不失一般性，假設(shè)（1）表示橢圓型圓錐曲線的圖型如下圖所示

7、:從上圖易知，適合條件（1）的任何實(shí)數(shù)對(duì)(X,Y)必滿足因?yàn)椋ǎ?），（，0）是橢圓型圓錐曲線的平行y軸的焦點(diǎn)，故與y軸平行的切線的切點(diǎn)（，）從中求出的兩個(gè)值，即為和，同理，與x軸平行的切點(diǎn)必滿足從中求出的值，即和。 這樣，不定方程（1）中的x 可能取值已知，同時(shí)y的取值也可能已知，然后利用實(shí)驗(yàn)法就可求出不定方程（1）的所有解。例 試判斷不定方程是否有正整數(shù)解。 解：因?yàn)?，故由可得方程組：解之得， 這樣，的可能取值為0,1,2,3,4,5. 又由（3）可得方程組解之得，由于，知<1,所有，適合已知不定方程的正整數(shù)y不存在。因此，已知不定方程無(wú)正整數(shù)解。九、分離變數(shù)例 求的正整數(shù)解。解：求

8、得（因?yàn)榇朐讲怀闪ⅲ?，必為的約數(shù)，解得,或十、一個(gè)重要的二元二次不定方程佩爾方程1、佩爾方程定理 設(shè),且不是完全平方數(shù)，則形如的方程叫做佩爾方程.如果是使最小的方程的解（稱為最小解），則每個(gè)解都可以取冪得到證明 若是方程的解，則假設(shè)解不能表示為式的形式，由的最小性可知.又由假設(shè)，存在使得不妨設(shè)則式的對(duì)偶式是得所以，是方程的解.由,與，則,因此，由式與的最小性矛盾，所以式成立.2、佩爾方程的應(yīng)用求方程的正整數(shù)解。解：設(shè)是方程的最小整數(shù)解.則方程的所有正整數(shù)解滿足.它的前幾組解也可以這樣得到：由，所以，是方程的一組解對(duì)式兩邊立方得所以，是方程的一組解對(duì)式兩邊4次方得所以式方程的一組解.因式的前幾組解是參考文獻(xiàn)：1 7 8 9 何政 從教材的一處錯(cuò)誤說(shuō)起談二元二次不定方程的解法N教育學(xué)院學(xué)報(bào)十五卷 第一期 1999.12 中學(xué)數(shù)學(xué)里不定方程的解法N教育學(xué)院學(xué)報(bào)2003.83 馬稀遠(yuǎn) 妙解二元二次不定方程D省武功縣教育局.4 10