1、積分因子的求法及簡(jiǎn)單應(yīng)用1 .恰當(dāng)微分方程的概念及判定1.1 恰當(dāng)微分方程的概念我們可以將一階方程dy ff x,ydx寫(xiě)成微分形式f x, y dx dy 0或把x,y平等看待，寫(xiě)成下面具有對(duì)稱(chēng)形式的一階微分方程M x, y dx N x, y dy 0這里假設(shè)M(x,y) , N(x,y)在某矩形域內(nèi)是x, y的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，如果方程的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)u(x,y)的全微分.即M x, y dx N x, y dy du x, yu dx u dyx y則稱(chēng)方程為恰當(dāng)微分方程.11.2 恰當(dāng)微分方程的判定定理1假設(shè)函數(shù)M(x,y)和N(x,y)在某矩形域內(nèi)是x, y

2、的連續(xù)函數(shù)且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則方程是恰當(dāng)微分方程的充分必要條件是在此區(qū)域內(nèi)包有MNyx.利用定理1我們就可以判定出一個(gè)微分方程是否是恰當(dāng)微分方程.2 .積分因子M N如果對(duì)于方程在某矩形域內(nèi)y x,此時(shí)方程就稱(chēng)為非恰當(dāng)微分方程。對(duì)于非恰當(dāng)微分方程，如果存在某個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)u(x,y) *0,使得u x, y M x, y dx u x, y N x,y dy 0為恰當(dāng)微分方程，則稱(chēng)u(x,y)為方程的1個(gè)積分因子.注可以證明，只要方程有解存在，則必有積分因子存在，并且不是唯一的.定理2函數(shù)u(x,y)是方程的積分因子的充要條件是MN uyx3 .積分因子求法舉例3.1 觀察法對(duì)于一些簡(jiǎn)

3、單的微分方程，用觀察法就可以得出積分因子如：1 ydx xdy 0有積分因子xy111112-22-22(2) ydx xdy 0有積分因子x2, y ,xy, x y , xy例1找出微分方程1 xy ydx1xy xdy0的一個(gè)積分因子.解將原方程各項(xiàng)重新組合可以寫(xiě)成ydx xdy xy ydx xdy 0由于xy是ydx xdy的積分因子，xy也是ydx xdy的積分因子，從而原方程12有積分因子xy .觀察法只運(yùn)用于求解簡(jiǎn)單的微分方程的積分因子，有的可以直接看出，有的 需要先將原方程重新組合，再運(yùn)用觀察法得出.3.2 公式法引理1微分方程存在形如：ux22u y u x y u xy

4、u x yu -x的積分因子的充要條件有:方程存在僅與x有關(guān)的積分因子的充要條件:1 M N x N y x , x是僅與x有關(guān)的函數(shù);方程存在僅與y有關(guān)的積分因子的充要條件:Nx , y是僅與y有關(guān)的函數(shù); 方程有形如u x y的積分因子的充要條件：M Nx y xN M , x y是僅與x+y有關(guān)的函數(shù),x y是僅與x-y有關(guān)的函數(shù);方程有形如xy的積分因子的充要條件：xyNy Mxxy是僅與xy有關(guān)的函數(shù);方程有形如的積分因子的充要條件:My2NxNx2My2y是僅與2y有關(guān)的函數(shù),2Nx 2 My2y是僅與2y有關(guān)的函數(shù);方程有形如x的積分因子的充要條件:y x11NyS M -xxy

5、 yx是僅與x有關(guān)的函數(shù)Nx的關(guān)系滿足以上6個(gè)充要條件M若方程中的M(x,y) , N(x,y)以及y ,之一時(shí)，則方程的積分因子u(x,y)都可由一階線性齊次微分方程d In u x, y； zdz求得(其中z是z的函數(shù)).z可以取x, y,x y,xy,。o yzdz22x y , x ,由此可得u z e .我們將上述引理歸結(jié)為求積分因子的公式法2 3例2求解微分方程x yy dx3 2x y x dy 0的積分因子.MNc2 M 解由于yx , Nx,y yM x, y x 2xy觀察可得：N x，y y M x，yxxy是關(guān)于xy的函數(shù)u x, y e故原方程有積分因子：id xy

6、xyixy3.3 分組求積分因子法定理3若u為方程的一個(gè)積分因子,且 uMdx uNdy dv 則u也是方程的積分因子，其中v是丫的任一連續(xù)可微函數(shù).也可以說(shuō)微分方程 Midx NidyM2dx N?dy 0ui是第一部分的積分因子，即uiM 1dx uiNidy duiu2是第二部分的積分因子，即u2M 2dx UzN/y du2從1 5 ,2u2中選擇滿足ui1uiu22u2的1u1和2u2,其中1 Uu1 1 u1是原方程的積分因子.2 u2是分別關(guān)于u1, u2的連續(xù)可微函數(shù)，這樣例3求解微分方程5xy 3y3 dx2-23x 7xy dy °的積分因子.將原方程各項(xiàng)重新組合2 .5xydx 3x dy3 ,3y dxr 2 , 7xy dy 0Ui15xydx x y2 ,3x dyd5 3ln x y1-2x y是第一部分的積分因子U213xy是第二部分的積分因