1、第一章空間幾何體柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征1棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共 邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點字母，如五棱柱 ABCDE a'bC'd'e'或用對角線的端點字母，如五棱柱 AD'幾何特征:兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。2棱錐定義：有一個面是多邊形， 其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)

2、作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等 表示：用各頂點字母，如五棱錐 P a'b'c'd'e'幾何特征:側(cè)面、對角面都是三角形； 平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到 截面距離與高的比的平方。3棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的局部 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等 表示：用各頂點字母，如五棱臺 p a'b'c'd'e'幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點4圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn) ，其余三

3、邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾 何體幾何特征:底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個矩形。5圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個扇形。6圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的局部 幾何特征：上下底面是兩個圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點； 側(cè)面展開圖是一個弓形。7球體：定義： 以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體 幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點到球心的距離等于半徑。 空間幾何體的三視圖和直觀圖1三視圖：正視圖：從前往后

4、側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下2畫三視圖的原那么：長對齊、高對齊、寬相等3直觀圖：斜二測畫法4斜二測畫法的步驟：1在圖形中取相互垂直的x軸和y軸，兩軸相交于 O。畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x'軸與y'軸，兩軸交于點O'，且使 x'O'y' 45 或135 ，它們確定的平面表示水平面。2.圖形中平行于 x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y'軸的線段；3圖形中平行于 X軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段,長度為原來的一半。5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：1畫軸2畫底面3畫側(cè)棱4成圖1.3空間幾何體

5、的外表積與體積一空間幾何體的外表積1棱柱、棱錐的外表積：各個面面積之和2圓柱的外表積 S 2 rl 2 r24圓臺的外表積S rl r2 RlR2二空間幾何體的體積1柱體的體積 V S底h3圓錐的外表積S rl25球的外表積S 4 R12錐體的體積 V S底h33臺體的體積St ) h4球體的體積根底練習(xí)1選擇題1. 如圖的組合體的結(jié)構(gòu)特征是 A .一個棱柱中截去一個棱柱C. 一個棱柱中截去一個棱錐答案C2. 有以下命題：B 一個棱柱中截去一個圓柱D .一個棱柱中截去一個棱臺 圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線; 在圓臺上、下底面圓周上各取一點，那么這兩點的連線是圓臺的母線; 圓柱

6、的任意兩條母線所在的直線是平行的.其中正確的有C. 2個 答案B3.答案A4. 圖中最左邊的幾何體由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的 圓錐而得現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，那么截面圖形可能是|>(4)刃A (1)(2)B (1) (3)C. (1)(4)D (1) (5)答案D5 假設(shè)一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為.3,那么這個圓錐的全面積是)A 3 nB 3J3 nC 6 nD 9 n解析：設(shè)圓錐底面半徑為 R, 2 R V3R=j3 , R= 1,母線 l 長為 2,S 全=nR2+ tRI = n 2 n= 3 n.答案：A6長方體三個面的面積分

7、別為2,6和9，那么長方體的體積是A 6 3B 3 ,6C. 11D. 12解析：設(shè)長方體長、寬、高分別為a, b, c,不妨設(shè)ab = 2, ac = 6, bc = 9,相乘得abc2=108 , V = abc = 6 3.答案：A7. 2022湖北卷一個幾何體的三視圖如下列圖，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為 V1, V2, V3, V4,上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，那么有IE視圖鬧視圖啼視1*1A . V1<V2<V4<V3B . V1<V3<V2<V4C. V2<V1<V3<V

8、4D . V2<V3<V1<V4答案：C&用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是1 : 3，這截面把圓錐母線分成的兩段的比是A . 1 : 3B . 1 : . 3- 1C. 1 : 9D. 3 ： 2解析：由題意可知，截面面積與底面面積之比為1 : 3,截面半徑與底面半徑之比為1 : 3,這兩段母線長之比為 1 : 3- 1.答案：B 二、填空題1. 如圖是一個幾何體的外表展成的平面圖形，那么這個幾何體是答案圓柱2. 一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一截面，那么以下列圖中，截面不可能是 填序號.答案3. 如圖，長方體 ABCDA1B1C1D1，過

9、BC和AD分別作一個平面交底面 A1B1C1D1 于EF、PQ,那么長方體被分成的三個幾何體中，棱柱的個數(shù)是 .解析：三個幾何體都是棱柱.答案：34假設(shè)一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如下列圖，那么其外表積等于2,一 一 一 25. 如圖，圓柱體底面圓的半徑為 -ncm,高為2 cm, AB、CD分別是兩底面的直徑,AD、BC是母線，假設(shè)一只小蟲從 A點出發(fā),從側(cè)面爬行到 C點，那么小蟲爬行的最短路線的長度解析：通過三視圖復(fù)原三棱柱直觀圖如下列圖，通過正視圖可以得出該三棱柱底面邊長為 側(cè)棱長為1三個側(cè)面為矩形，上下底面為正三角形, S表= 3X (2X 1)+ 2 X 3X 224答案：6+

10、 2 3是cm結(jié)果保存根式.答案：2 26. 圓臺的上、下底面半徑分別是 10 cm和20 cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180 °圓臺的外表積是分析：由題目可獲取以下主要信息： 求圓臺的外表積應(yīng)考慮上、下底面及側(cè)面積； 上、下底面面積易得，主要求側(cè)面積.解答此題可先把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即在展開圖內(nèi)求母線的長，再進一步代入側(cè)面積公式求出側(cè)面積，進而求出外表積.解析：如下列圖，設(shè)圓臺的上底面周長為C,因為扇環(huán)的圓心角是 180°故 C= n SA= 2 nX 10, SA= 20,同理可得SB = 40, AB= SB SA= 20, S夕卜表積=S側(cè)+ S上+

11、S下=n(i+ r2)B + n2+ n2=n (10F 20) X 20+ nX 102+ nX 202=1 100 n (erf).故圓臺的外表積為1 100 n cm7 如右圖所示，在底半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為，3的圓柱，圓柱的外表積為解析：圓錐高h= *42 22= 2.3，畫軸截面積圖(如右圖)，那么233=2'故圓錐內(nèi)接圓 柱的底半徑x= 1.貝U圓柱的外表積S= 2 nX 12+ 2 nX 1 X J3= (2 + 2#3) n.答案：(2 + 2 3 ) n強化提升一選擇題1在棱柱中()A .只有兩個面平行B .所有的棱都平行C.所有的面都是平行四邊形D

12、 .兩底面平行，且各側(cè)棱也互相平行答案D2以下命題中，正確的選項是()A .有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B 棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面C.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D 棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形答案D3. (2022 2022嘉興高一檢測)如以下列圖都是正方體的外表展開圖，復(fù)原成正方體后，其中 兩個完全一樣的是()(1) (2)A . (1)(2)B. (2)(3)C.(4)D . (1)(4)答案B解析在圖(2)、(3)中，不動，把圖形折起，那么為對面，為對面，為對面，故圖(2)、(3)完全一樣，而(1)、(4)那么不同解題提示讓其中

13、一個正方形不動，其余各面沿這個正方形的各邊折起，進行想象后判斷.4以下說法不正確的選項是()A .圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形B .圓錐過軸的截面是一個等腰三角形C. 直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D. 圓臺平行于底面的截面是圓面答案C5. 如右圖所示的平面中陰影局部繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為A .一個球體B .一個球體中間挖出一個圓柱C.個圓柱D .一個球體中間挖去一個長方體答案B解析圓旋轉(zhuǎn)一周形成球，圓中的矩形旋轉(zhuǎn)一周形成一個圓柱，所以選B.6. 某空間幾何體的三視圖如下列圖，那么此幾何體為 正視圖側(cè)視圖俯視圖A .圓臺B .四棱錐C.四棱柱D .四棱臺

14、答案D7以下幾何體中，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都相同的幾何體的序號是B. (2)(3)D. (1)(4)(1) (2)A. (1)(2)C. (3)(4)答案D& 2022 2022安徽淮南高三模擬以下幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的答案D解析正方體，三視圖均相同；圓錐，正視圖和側(cè)視圖相同；三棱臺，三視圖各不 相同；圓臺，正視圖和側(cè)視圖相同.點評熟悉常見幾何體的三視圖特征，對于畫幾何體的直觀圖是根本的要求.以下列圖是最根本的常見幾何體的三視圖幾何體直觀圖形正視圖側(cè)視圖俯視圖正方體1長方體圓柱1圓錐1co圓臺OO球1010O9給出以下關(guān)于斜二測直觀圖的結(jié)論，其中正確的個數(shù)是 角

15、的水平放置的直觀圖- -定是角. 相等的角在直觀圖中仍相等. 相等的線段在直觀圖中仍然相等. 假設(shè)兩條線段平行，那么在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行.答案C解析由斜二測畫法規(guī)那么可知， 直觀圖保持線段的平行性，對，對；而線段的長度, 角的大小在直觀圖中都會發(fā)生改變，.錯.10利用斜二測畫法得到： 三角形的直觀圖是三角形；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；正方形的直觀圖是正方形；菱形的直觀圖是菱形.以上說法正確的選項是A .B .C.D .答案B解析根據(jù)畫法規(guī)那么，平行性保持不變，與y軸平行的線段長度減半.二填空題1.如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD AiBiCiDi容器中灌進一些水，將容器底

16、面一邊BC置于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，以下命題：水的形狀成棱柱形； 水面EFGH的面積不變；水面 EFGH始終為矩形.其中正確的命題序號是 答案2以下列圖形：三角形；直線；平行四邊形；四面體；球其中投影不可能是線 段的是.答案解析三角形的投影是線段成三角形；直線的投影是點或直線；平行四邊形的投影是線段 或平行四邊形；四面體的投影是三角形或四邊形；球的投影是圓.3.由假設(shè)干個小正方體組成的幾何體的三視圖如以下列圖，那么組成這個組合體的小正方體的 個數(shù)是.正視圖側(cè)視圖俯視圖答案5解析由三視圖可作出直觀圖，由直觀圖易知共有5個小正方體.4. 20222022煙臺高一檢測某一幾何體的

17、正視圖與側(cè)視圖如下列圖，那么以下列圖形中, 可以是該幾何體的俯視圖的圖形有 .正視圖側(cè)視圖俯視圖答案3解析該幾何體是四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高等于 4，如圖所示的四棱錐A AiBiCiDi，如圖所示，三個相同的四棱錐A A1B1C1D1, A BB1C1C, A DD iCiC可以拼成一個棱長為4的正方體.6.斜二測畫法中，位于平面直角坐標系中的點M(4,4)在直觀圖中的對應(yīng)點是 M '，那么點M '的坐標為，點M '的找法是.答案M ' (4,2)在坐標系x' O ' y'中，過點(4,0)和y'軸平行的直線與過點(0

18、,2)和x' 軸平行的直線的交點即是點M '.解析在x'軸的正方向上取點Mi,使OiMi = 4,在y'軸上取點 M2，使O' M2 = 2,過Mi和M2分別作平行于y'軸和x'軸的直線，那么交點就是M '.7.如右圖，水平放置的A，C，= 6,B' C，= 4，貝U AB邊的實際長度是.答案10解析由斜二測畫法，可知 ABC是直角三角形，且/ BCA = 90 ° AC= 6, BC= 4X 2= 8,貝U AB = AC2+ BC2= 10.&如圖，是 AOB用斜二測畫法畫出的直觀圖，那么AOB的面積

19、是 .答案16解析由圖易知厶AOB中，底邊0B = 4, 又底邊0B的高為8,1面積 S= qX 4X 8= 16.9.如下列圖，正方形 O' A' B ' C'的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,那么原圖形的周長是答案8解析原圖形為OABC為平行四邊形,OA = 1 , AB= .：0A2+ OB2= 3, 四邊形OABC周長為8.章節(jié)練習(xí)、選擇題1右面的三視圖所示的幾何體是.A .六棱臺B .六棱錐C .六棱柱D .六邊形正視圖第1題側(cè)視圖俯視圖2兩個球的外表積之比為1 : 9,那么這兩個球的半徑之比為.C. 1 : 9D. 1 : 813 一個

20、長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正主視圖與側(cè)左視圖分別如右圖所示，那么該幾何體的俯視圖為正主視圖側(cè)左視圖第3題4. A, B為球面上相異兩點，那么通過A, B兩點可作球的大圓圓心與球心重合的截面圓( )A .一個B 無窮多個C.零個D 一個或無窮多個5右圖是一個幾何體的三視圖，那么此幾何體的直觀圖是ABC正視圖側(cè)視圖俯視圖6以下列圖為長方體木塊堆成的幾何體的三視圖，堆成這個幾何體的木塊共有A 1塊B 2塊C. 3塊D 4塊 7 關(guān)于斜二測畫法畫直觀圖說法不正確的選項是A .在實物圖中取坐標系不同，所得的直觀圖有可能不同B .平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標軸C平行于坐標軸的線段長

21、度在直觀圖中仍然保持不變D .斜二測坐標系取的角可能是135 &如圖，以下幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是正方悴團健三棱臺幕啟題2A .B .C.D .9 .一正方體的各頂點都在同一球面上，用過球心的平面去截這個組合體，截面圖不能是5，它的體對角線的長分別是9第13題10如果一個三角形的平行投影仍然是一個三角形，那么以下結(jié)論正確的選項是.A 原三角形的內(nèi)心的平行投影還是投影三角形的內(nèi)心B 原三角形的重心的平行投影還是投影三角形的重心C.原三角形的垂心的平行投影還是投影三角形的垂心D 原三角形的外心的平行投影還是投影三角形的外心二、填空題11. 一圓球形氣球，體積是 8 c

22、m3,再打入一些空氣后，氣球仍然保持為球形，體積是27 cm3 那么氣球半徑增加的百分率為 12. 底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長為和15,那么這個棱柱的側(cè)面積是 13. 右圖是一多面體的展開圖，每個面內(nèi)都給了字母，請根據(jù)要求答復(fù)以下問題： 如果A是多面體的下底面，那么上面的面是 如果面F在前面，從左邊看是面B，那么上面的面14. 一個幾何體的三視圖如以下列圖所示，那么此幾何體的體積是三、解答題正視圖P15. 圓柱內(nèi)有一個四棱柱，四棱柱的底面是圓柱底面的內(nèi)接正方形.6p,且底面圓直徑與母線長相等，求四棱柱的體積.16. 以下列圖是一個幾何體的三視圖單位：cm1畫出這個幾何體的直觀圖

23、 不要求寫畫法;2求這個幾何體的外表積及體積.圓柱外表積為A俯視圖第16題A17. 如圖，在四邊形 ABCD 中，/ DAB = 90° / ADC = 135 ° AB= 5, CD = 2最,AD求四邊形ABCD繞直線AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的外表積及體積.第17題18 正方體、球、底面直徑與母線相等的圓柱，它們的外表積相等，試比擬它們的 體積 V正方體，V球，V圓柱 的大小.19如圖，一個圓錐形容器的高為a，內(nèi)裝有一定量的水如果將容器倒置，這時水所形成的圓錐的高恰為a，求原來水面的高度.20.如圖，四棱柱的底面是菱形，各側(cè)面都是長方形兩個對角面也是長方形，面積分別為Qi

24、, Q2.求四棱柱的側(cè)面積.參考答案一、選擇題1. B解析：由正視圖和側(cè)視圖可知幾何體為錐體，由俯視圖可知幾何體為六棱錐.2. A解析：由設(shè)兩個球的半徑分別為r, R,貝U 4pr2： 4tR2= 1 : 9. a r2 : R2= 1 : 9,即 r : R= 1 : 3.3. C解析：在根據(jù)得到三視圖的投影關(guān)系，正視圖中小長方形位于左側(cè)，a小長方形也位于俯視圖的左側(cè)；小長方形位于側(cè)視圖的右側(cè)，.小長方形一定位于俯視圖的下側(cè)，a圖C正確.4. D解析：A, B不在同一直徑的兩端點時，過 A, B兩點的大圓只有一個； A, B在同一直徑的端點時大圓有無數(shù)個.5. D解析：由幾何體的正視圖和側(cè)視

25、圖可知,幾何體上局部為圓錐體,由三個視圖可知幾何體下局部為圓柱體，幾何體是由圓錐和圓柱組成的組合體.6. D平行于y軸的線段長解析：由三視圖可知幾何體為右圖所示，顯然組成幾何體的長方體木 塊有4塊.7. C解析：由平行于x軸和z軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變,度在直觀圖中是原來的一半，C不對.8. D解析：的三個視圖均相同；的正視圖和側(cè)視圖相同；的三個視圖均不相同； 的正視圖和側(cè)視圖相同.有且僅有兩個視圖相同的是.9. A解析：B是經(jīng)過正方體對角面的截面；C是經(jīng)過球心且平行于正方體側(cè)面的截面；D是經(jīng)過一對平行的側(cè)面的中心，但不是對角面的截面.10. B解析：在平行投影中線段中點在投影后仍為

26、中點，應(yīng)選B .二、填空題11. 50%.解析：設(shè)最初球的半徑為 r，那么8= 4pr3;打入空氣后的半徑為 R,那么27= *pR3.33 R3 : r3= 27： 8.二R : r = 3 : 2.二氣球半徑增加的百分率為50% .12. 160.解析：依條件得菱形底面對角線的長分別是.152 52 = : ： 200和92 52 = . 56 .2、5622菱形的邊長為 200_ 2棱柱的側(cè)面積是 5X 4X= 160 .13. F, C.解析：將多面體看成長方體，A, F為相對側(cè)面.如果 A是多面體的下底面，那么上面的面是F ;如果面F在前面，從左邊看是面 B,那么右面看必是 D，于是根據(jù)展開圖，上面 的面應(yīng)該是C.14. 80.解析：由三視圖可知，幾何體是由棱長為4的正方體和底面邊長為 4，高為3的四棱錐1組成，