1、編號:A412013 年蕪湖高校數學建模競賽參賽隊伍選擇的題號（從 A/B/C/D 中選擇一項填寫）： B 題參賽隊員：隊員 1：陳鈺，學院數理學院 隊員 2：朱方超，學院電氣學院隊員 3：張夢姣，學院人文學院題 目面包店問題一、摘 要在競爭日益激烈的市場環(huán)境下，利益最大化無疑是每個市場主體最關注的問題。面包自明朝傳入中國以來，越來越受到大眾的喜愛。如今各地面包店不斷增加，面包店著如何將其利益最大化的問題。問題一，所需的不同種類的面包數量及樣式已經確定，故在考慮面包店最大化時，可以將求利潤最大值轉化為求烘烤面包時間最小值，那么結合題目中有四個批次的面包，我們就可以每個批次計算最短時間，從而計算

2、出總的最短時間。題目中有說明在面包烘烤過程中不同種類的面包的烤制時間不一 樣，但可以在同一個烤箱中烤制，那么此時每批次生產面包就有兩種生產方式。方式一是在同一烤箱中只生產同種面包，運用線性的知識就可以算出每批次生產面包的所需的最短時間；方式二是在同一烤箱中可以烘烤不同種類的面包，那么就有每一批次中哪種面包是在哪次烘烤的問題。所以我們應用了 0-1模型來解決這個問題，然后再根據烘烤面包的實際要求兩種面包烘烤時間相差不能過大，在建模中我們定義相差時間為 t，從而利用非線性模型通過軟件來計算出每批次烘烤面包的最短時間，進而得到總的最短時間。問題二，考慮到在一天中對面包的需求是不一樣的，故可以將一天中

3、生產出售給大眾的面包也分成如問題一中的四個階段，在每一階段生產面包中首先滿足賓館所需的面包后再面向大眾出售?？紤]到面包在每一階段時間的需求不同，以及面包生產后風險，故在每一階段生產面包時計算出每類面包的模型計算出在同等時間條件下生產面包的一個最優(yōu)預期。然后運用動態(tài)的生產計劃。最后，對于模型的評價及改進我們提出了合理化的建議。：非線性模0-1 模型動態(tài)模型二、問題的提出某個面包店有兩個烤箱，每個烤箱有數個烤盤。該店可以烤制數十種樣式的面包。不同種類的面包的烤制時間不一樣，但可以在同一個烤箱中烤制。當天烤制的面包只能當天銷售，過期銷毀。（1） 如果該面包店只為某些賓館服務，賓館每天分四批來取貨，每

4、次取貨的面包樣式及數量提前一天告知面包店，則面包店應該如何安排，才能使每天的最大？（2） 如果面包店同時還面向大眾零售服務，則應該如何安排生產計劃才能使預、期的最大？請為面包店建立模型安排每天的生產計劃，并 果。說明你的數據產生的方式，評價模型的優(yōu)缺點。給出數據檢驗模型的效三、問題分析面包店生產面包的時候必然追求生產效益最大化，面包銷售獲利的最大化包括面包的生產、銷售的過程中面包的獲利最大化，對兩個部分影響面包銷售獲利最大化的情況進行不同的分析。問題一中我們已知賓館對面包的需求數量和種類，故銷售面包獲得利潤最大化就是對生產面包時間的最小化，我們可以通過用 0-1 模型對每次烘烤面包的種類進行界

5、定，再通過建立非線性合。模型進行求解，從而得到生產面包的最優(yōu)組問題二中對整個問題進行分解，即把每個時間段里生產的面包分為供應賓館的面包和出售給大眾的面包，首先滿足供應賓館的面包，其是通過問題一求得最優(yōu)生產組合，可以得到每個階段烘烤面包所用的時間。然后我們可以用每個時間段減去生產供應賓館的面包的時間，就得到每個時間段里生產出售給大眾的面包的時間，再結合動態(tài)來進行求解就可以得到最優(yōu)生產組合，從而得到每天面包店獲得大利潤的最優(yōu)生產組合。四、建模過程、問題一1、模型假設：1、面包烘烤過程中拿出面包與放入面包時間忽略不計。2、不同種類的面包在烘烤之前的準備工作時間忽略不計（如：烤箱預熱以及面團的制作與發(fā)

6、酵等）。3、在烘烤過程不考慮不同種類的面包烘烤所需的溫度、濕氣不同。4、在烘烤過程中無其他突發(fā)發(fā)生（如：斷電等）。5、假設所有數據是合理的，可行的。2、符號說明：m n w j: 該店可以烤制的面包樣式總數: 每個烤箱烤盤數量：每個烤盤所能容納的面包數量m>=10:烘烤面包的次數j=1,2,3,h第一、二、三、四批賓館所需面包數量 f=1,2,3,4bf:Tf:ni:Ai:ti:Bi:每批次的的面包烤制所需的時間f=1,2,3,4賓館每批面包中 A1,A2,Am 各樣式所需的數量 i=1,2,3,m各種樣式的面包i=1,2,3,m不同種類的面包烘烤所需的時間 i=1,2,3,m各種樣式的

7、面包各戶所需的數量 i=1,2,3,m3、模型建立：題中烘烤不同種類的面包可以有兩種烘烤方式：3.1（模型一）在同一烤箱內只烘烤同一種面包，此時有面包利潤最大化即烘烤時間最小化，可有如下模型:先討論第一批次的面包烘烤，可有如下定義 Mi，n / 2nw + 1, ni / 2nw > 1ìMi =ií1, n / 2nw < 1îi此時可有模型ìbi = n1 + n2 + ×××××× +nmi =1,2,3××××××m

8、íîT = åt * Mi1i同理可有，烘烤第二、三、四批次的面包時間T2、T3、T4 ，則為賓館烘烤面包總時間為T1 = T + T + T + T12343.2 （模型二）在同一烤箱中可以烘烤不同種類面包，則烘烤時間不同的面包可以同時烘烤，考慮到在烘烤面包的過程中一旦烤箱開始工作就不能打斷烤箱工作這一事實客觀事實，未免烘烤時間過長考壞面包須滿足兩種面包烘烤時間不能相差過大，此處相差時間設為 t。引入決策 0-1 變量 Mij，則在第一批次烘烤面包中，= ì 1, 第i種面包在第j次烘烤Mí0, 第i種面包不在第j次烘烤ijî由題目

9、可有目標函數：hmin T1 = åtjj =1（tj 表示每次烘烤面包的所需的時間）目標函數滿足如下約束條件：（1） 每次烘烤的數量不大于烤箱中可以烘烤面包的數量 nw（2） 兩種面包烘烤時間相差不大于 t綜上各種條件有如下線性模型：min T1 = åtjj =1滿足的條件為：t j = maxTi * Mij ( j一定時）hmå(ni * Mij ) £ nwi=1maxTi * Mij - minTi Mij £ t( j一定時）= 0或1Mij那么由以上的模型可以分別得出第二、三、四批次面包烘烤過程中所需的最短時間T 、T 、T ，

10、故最短總時間為T 2 = T + T + T + T2341234模型比較，比較兩種模型的優(yōu)越性可比較兩種模型求解出的時間T1 、T 2 的大小即可，時間越小即說明烘烤面包花費成本小，也就是利潤越高，此時模型越優(yōu)越。鑒于此，在通過對面包店中我們知道某一面包店的烤箱數量為兩個，且每個烤箱的烤盤有兩個，每個烤盤可以烘烤十個面包，某社區(qū)在其店訂購面包數量的數據如下：模型一，經分析可有如下烘烤順序：第一批次的烘烤順序第二批次的烘烤順序第三批次的烘烤順序第四批次的烘烤順序A (6 分鐘)A (6 分鐘)A (6 分鐘)兩次A (6 分鐘)B（7 分鐘）B（7 分鐘）B（7 分鐘）B（7 分鐘）C（8 分

11、鐘）C（8 分鐘）C（8 分鐘）C（8 分鐘）D（9 分鐘）D（9 分鐘）D（9 分鐘）兩次D（9 分鐘）E（10 分鐘）E（10 分鐘）兩次E（10 分鐘）E（10 分鐘）AE（10 分鐘）AB（7 分鐘） CD（10BD（9 分鐘）B（9 分鐘）面包種類ABCDE烘烤時間（分鐘）678910第一批次3040503050第二批次6050605080第三批次7060409040第四批次4050403040故可得到第一批次生產面包花費時間為T1 =50，第二批次生產面包花費時間T2 =67，第三批次生產面包花費時間T3 =64，第四批次生產面包花費時間T4 =49，總時間為T1 = T + T

12、+ T + T=230 分鐘1234模型二，可有如下烘烤順序及組合：故可得到第一批次生產面包花費時間為T1 =43，第二批次生產面包花費時間T2 =65，第三批次生產面包花費時間T3 =64，第四批次生產面包花費時間T =40,總時間為T1 = T + T + T + T =212 分鐘41234顯然通過兩種模型的比較可以很清楚的看出模型二比模型一優(yōu)越。、問題二1、模型假設：1、每種面包在每次烘烤過程中都會，沒有考壞的面包2、每天銷售的各種面包數量大致符合同一分布函數3、面包烘烤過程中拿出面包與放入面包時間忽略不計。4、在烘烤過程中無其他突發(fā)發(fā)生。5、假設所有數據是合理的，可行的。2、符號說明

13、：m : 該店可以烤制的面包樣式總數n : 每個烤箱烤盤數量m>=10第一批次的烘烤組合及順序 AC(8 分鐘)B(7 分鐘） C98 分鐘） DE(10 分鐘） E(10 分鐘）第二批次的烘烤組合及順序A(6 分鐘)A(6 分鐘)B(7 分鐘)C(8 分鐘)D(9 分鐘) E(10 分鐘) E(10 分鐘) BCD(9 分鐘)第三批次的烘烤組合及順序A(6 分鐘)B(7 分鐘)C(8 分鐘)D(9 分鐘)D(9 分鐘) E(10 分鐘)A(6 分鐘) BD(9 分鐘)第四批次的烘烤組合及順序A(6 分鐘)B(7 分鐘)C(8 分鐘) CD(9 分鐘) E(10 分鐘)43 分鐘65 分

14、鐘64 分鐘40 分鐘分鐘）烘烤次數6886烘烤時間5O 分鐘67 分鐘64 分鐘49 分鐘w ：每個烤盤所能容納的面包數量Ai:ti:Bi:Ci:各種樣式的面包i=1,2,3,m 不同種類的面包烘烤所需的時間 各種樣式的面包各戶所需的數量 各種樣式的面包銷售后的不同利潤i=1,2,3,mi=1,2,3,mi=1,2,3,m*T: 一天中每個階段生產面包的時間i=1,2,3,4iCi :一天中每個階段生產面向大眾銷售的面包的最大i=1,2,3,43、模型建立：在解決問題一的過程中可以知道，面向大眾出售面包時要各個時間段各種面包的需求不同的這個客觀存在的環(huán)境，鑒于此根據一天中每種面包的需求量隨時

15、間變化的函數大致都滿足正態(tài)分布函數。在此我們假設該函數的均值為ui ，方差為s i ，其中 i=1,2,3,m。根據正態(tài)分布函數我們可以求得每個時間段的的均值為：- (t -ui )2*T1 -T1 eo1òs i2E1( A ) =dti2ps i- (t -ui )2*T2 -T2 es i21ò *E 2 ( A ) =dti2ps T -Ti11- (t -ui )2*T3 -T3 e1ò *s i2E3 ( A ) =dti2ps T -T22i- (t -ui )2*T4 -T4 es i 21ò*E 4 ( A ) =dti2ps T -T

16、i33這樣我們就可以知道每種面包在一天中每個時間段的需求量，分別為E1( A ) 、 E2 (A ) 、 E3(A ) 、 E4 (A ) 。其中i=1,2,3,miiii我們假設面包作坊每天的工作時間分為四個時間段，時間長度分別為T *、T *、T *、T *，結合第一題的數據可以知道每個時間段中用來生產面向大眾銷1234售的面包的時間分別為T *-T 、T *-T 、T *-T 、T *-T11223344在上述過程后我們可以得到如下表的數據：為了讓面包店的最大化，在面向大眾出售面包的過程中，在第一個時間段面包店在選擇生產哪幾種面包時可以有如下模型： 目標函數為：max C1 = x1*C

17、 + x2*C + x3*C ××××××+ xm*C其中要滿足 xm £ E1(A )123mi滿足如下關系：ìx1* t / 2nw + x2 * t / 2nw + ×××××× +xm * t/ 2nw = T * -T12m11íîxi * ti / 2nw ³ 0, i = 1, 2, 3××××××m則可以分別求出面向大眾出售面包是每個階段最大為C 2

18、、C3 、C 4 ，C = C1 + C2 + C3 + C4 。從而可以得出總的最大由動態(tài)可有a、逆推解法：可以把問題的變量個數劃分階段，把它看作為一個 m 階段決策問題，設狀態(tài)變量為 s1、s2、s3、s4sm,并記 s1=c；取問題中的變量 x1,x2,x3,x4xm為決策變量；各階段指標函數按函數乘積方式結合。令最優(yōu)值函數 fk (sk ) 表示為第 k 階段的初始狀態(tài)為 sk，從 k 階段到第 m 階段所得到的最大值。從第 m 階段開始，則有fi (si) = max vi (si, xi)xiÎDi (si)其中 Dm (sm) 是有狀態(tài) sm 所確定的第 m 階段的決策

19、模型集合。借此極面包種類第一段時間T *-T11面包需求量第二段時間T *-T22面包需求量第三段時間T *-T33面包需求量第一段時間T *-T44面包需求量1E1( A )1E2 ( A )1E3(A )1E4 ( A )12E1( A )2E2 (A )2E3( A )2E4 (A )23E1(A )3E2 ( A )3E3( A )3E4 ( A )34E1( A )4E2 (A )4E3( A )4E4 (A )4ME1(A )mE2 ( A )mE3( A )mE4 ( A )m致問題，就得到最優(yōu)解 xm = xm (sm ) 和最優(yōu)值 fm (sm ) 。在第 m-1 階段，有f

20、m-1 (sm-1 ) =vm-1 (sm-1, xm-1 ) +maxfm (sm )xm-1ÎDm (sm-1 )其中 sm = Tm-1(sm-1, xm-1) ，解此問題可以得到最優(yōu)解 xm-1 = xm-1 (sm-1 ) 和最fm-1 (sm-1 ) 。優(yōu)值在第 k 階段，有fk (sk ) =max vk (sk , xk ) +fk +1(sk +1)xk ÎDk (sk )= x（1xk = xk (sk )其中 x1fk (sk )s2）， 解此問題可以得到最優(yōu)解和最優(yōu)值如此類推，直到第一階段，有f1 (s1 ) = max v1 (s1, x1) +f

21、2 (s2 )x1ÎD1 (s1 )= T1 (s1, x1 )x1 = x1 (s1 ) 和最優(yōu)值其中 s2f1 (s1 )， 解此問題可以得到最優(yōu)解由于初始狀態(tài) s1 已知，故 x1=x1（s1）和 f1 (s1 ) 是確定的，從而 s2= T1 (s1, x1 )也就可以確定，于是 x2=x2（s2）和 f2 (s2 ) 也就可以確定。這樣，按照上述遞推過程相反的順序推算下去，就可逐步確定出最優(yōu)的烘烤面包的種類以及每種面包的數量。b、順推解法：設已知終止狀態(tài) x ，并假定最優(yōu)值函數 fk (s) 表示第 k 階段末的結束狀態(tài)為s，從 1 階段到 k 階段所得到的最大利益。已知終

22、止狀態(tài) x1 Î D1 (s1 ) 用順推解法與已知初始狀態(tài)用逆推解法在本質上沒有區(qū)別，它相當于把實際的起點視為終點，實際的終點視為起點，而按逆推解法進行的。換言之，只要把圖 8-6 的箭頭倒轉過來即可，把輸出sk -1 看作輸入，把輸入sk 看作輸出，這樣便得到順推解法。但應注意，這里是在上述狀態(tài)變量和決策變量的記法不變的情況下考慮的。因而這時的狀態(tài)變換是上面狀態(tài)變換的逆變換，記為s = T *(s, x ) ；從運算而言，既是由s = T *(s , x ) 和 x而去確定s 的。kkk +1k1121kk從第一階段開始，有fi (s2 ) = max v (s , x )s =

23、 T *(s , x )其中111，1121x1ÎD1 (s1 )解得最優(yōu)解x1 = x（1 s2）和最優(yōu)值 f1 (s2 ) 。若 D1 (s1 ) 只有一個決策，則 x1 Î D1 (s1 ) 就寫成x1 = x（1 s2）。在第二階段，有f2 (s3 ) =max v2 (s2 , x1) + f1(x3ÎD2 (s2 )其中s = T *(s , x ) ，解得最優(yōu)解x= x（s ）和最優(yōu)值 f (x ) 。223222323如此類推，直到第 n 階段，有fm (sm+1 ) =max vm (sm ,xmÎDm (sm )= x（mfm (sm

24、+1 ) 。其中 s = T *(s, x ) 。解到最優(yōu)解xmsm+1）和最優(yōu)值mmm+1m由于終止狀態(tài) sm+1 是已知的，故xm= x（msm+1）和fm (sm+1 ) 是確定的。再按計算過程的相反順序推算上去，就可以逐步確定出每階段的決策及效益。應指出的是，若將狀態(tài)變量的記法改為s0 , s1,，sm ，決策變量記法不變，則按順序解法，此時的最優(yōu)值函數為 fk (sk ) 。因而，這個符號與逆推解法的符號一樣，但含義是不同的，這里的 sk 是表示 k 階段末的結束狀態(tài)。結合問題一的數據我們有：根據每種面包的烘烤時間以及每種面包每個利潤可以有分別對四個階段分別求解，如下第一階段中（每種

25、面包的預計銷售量見附錄二）15 + x2 *18 + x3*15 +ìí3.îC1 =通過動態(tài)3* 2 +進行迭代可以求得每種面包應生產計劃：生產 x3 的數量為 140個，生產 x5 的數量為 100 個。可以求得以下結果:T *-T11T *-T22T *-T33T *-T44120-43=77120-65=55120-64=56120-40=80（x1：表示奶油面包，x2：表示法式軟面包，x3：巧克力面包，x4：蛋糕卷，x5： 表示全麥土司）計算結果中第一階段主要銷售巧克力蛋糕和全麥蛋糕，第二階段主要銷售奶油面包、巧克力蛋糕以及蛋糕卷，第三階段主要銷售奶油蛋

26、糕、法式軟面包以及全麥土司，在第四階段五種面包均有銷售。此結果較為符合一天中從早到晚人們對面包的需求的種類和數量。五、模型的評價與推廣面包店銷售面包時為取得最大利潤，在賣出面包數量一定時通過對面包烘烤的過程中面包烘烤順序的合理安排可以減少烘烤時間增加；在時間一定時則可以通過對面包烘烤數量、種類與獲利的合理考慮得到最優(yōu)組合。a、模型的優(yōu)點：問題一中我們在已知所要供應的面包數量的條件下，我們運用非線性規(guī)劃模型對兩個面包烘烤箱進行合理安排和使用可以使烘烤時間最短，從而知道面包店生產面包獲得最大利潤的最優(yōu)組合。問題二中通過從銷售面包中把對賓館的面包的供應和對大眾銷售的面包的供應分離開來，運用動態(tài)知識求

27、得在一定時間條件下，生產各種面包所能獲得的最大利潤的最優(yōu)組合，再結合問題一中生產面包的最優(yōu)組合從而得到問題二中生產面包的最優(yōu)組合。b、模型的缺點：在整個建模過程中我們忽略了在烘烤面包時可能存在考壞的情況，從而整個烘烤過程是理想化的情況下進行的。在向大眾出售面包時用均值來體現生產面包的風險過于數據化，理想化，與實際銷售情況可能C、模型的推廣：。本模型有效地解決了面包烘烤過程中存在的一些實際問題，合理的烘烤方案可以有效地節(jié)約、節(jié)省大量的時間。當面包烘烤、準備所需要的時間和所占用的烤箱容量都發(fā)生變化并且烤箱數量也發(fā)生變化時，此模型同樣能夠找出在時間最短情況下的最優(yōu)組合。此模型還可以推廣到做飯、做食品

28、、生產零件等領域優(yōu)化分配方案，具有很強的實用性，而且模型在日常生活中也具有廣泛的用途。X1X2X3X4X5第一階段001400100第二階段500801000第三階段4090040120第四階段60601008050六、參考文獻1.許洛輝 ,鄭桑妮 .面包烘焙.遼寧科學技術.2004 年版.2006 年版2.薛文通 ,李里特 .新版面包配方.中國輕工業(yè)3.朱道元.數學建模案例精選.科學.2003 年版4.陳恩水，王峰，朱道元 .數學建模與實驗.2008 年版5.姜啟源.數學模型M.北京: 高等教育.1987 年 4 月第一版6.胡守信,李柏年.基于的數學實驗M.北京科學.2004 年 6 版7.運籌學編寫組.運籌學.第三版七、附錄附錄一：附錄二：附錄三： clear; clc; W=40;data=xlsread('D: X=(data(:,2)'Y=(data(:,1)'if rem(n,2)=1 N=n-1;pop=eye(N,n);for i=1:Njianmo.xls',1);if (pop(i,i)<(W-X(1,n)&&(Y(1,i)