1、1“相容性、獨立性和完全性相容性、獨立性和完全性”的觀點的觀點2一、相容性、獨立性和完全性一、相容性、獨立性和完全性 組織、表述數學知識和理論的經典方法，往往是形式的組織、表述數學知識和理論的經典方法，往往是形式的公理化方法公理化方法，即從一批公理、定義出發(fā)，通過邏輯推理，得，即從一批公理、定義出發(fā)，通過邏輯推理，得到一系列結論（稱為命題、定理或推論）的方法。到一系列結論（稱為命題、定理或推論）的方法。 公元前公元前300年歐幾里得的年歐幾里得的 幾何原本：幾何原本：5條公理；條公理；5條共設；條共設；119個定義；個定義；465個命題個命題 1899年希爾伯特的幾何基礎：年希爾伯特的幾何基礎

2、：幾何對象的深刻抽象；公理系統(tǒng)的邏輯要求幾何對象的深刻抽象；公理系統(tǒng)的邏輯要求 20條公理，分為五組：關聯(lián)公理，順序公理，合同公理，平行公理，連續(xù)公理。條公理，分為五組：關聯(lián)公理，順序公理，合同公理，平行公理，連續(xù)公理。 形式的公理化方法在邏輯上的要求，是滿足形式的公理化方法在邏輯上的要求，是滿足相容性、獨相容性、獨立性和完全性立性和完全性。31.相容性：不允許從公理系統(tǒng)推出矛盾相容性：不允許從公理系統(tǒng)推出矛盾2.獨立性：每一個公理不可由其它公理獨立性：每一個公理不可由其它公理 推出推出3.完全性：該形式系統(tǒng)中所有命題都能完全性：該形式系統(tǒng)中所有命題都能 判定真?zhèn)闻卸ㄕ鎮(zhèn)? 【含有【含有“不可

3、判定命題不可判定命題”的系統(tǒng)是不完全的。的系統(tǒng)是不完全的。 所謂不可判定命題，是指該命題和其反所謂不可判定命題，是指該命題和其反命題都不能由該系統(tǒng)中的公理推導出來。命題都不能由該系統(tǒng)中的公理推導出來。 （A與非與非A都能導出都能導出叫叫“不相容不相容”，A與非與非A都不能導出都不能導出叫叫“不完全不完全”）】）】5二、哥德爾的不完全性定理二、哥德爾的不完全性定理 1.關于關于 數學證明數學證明 與與 科學證明科學證明 的再認識的再認識 公理邏輯推理公理邏輯推理 假說觀察、實驗假說觀察、實驗 （主觀符合客觀）（主觀符合客觀） 不能推翻不能推翻 可能推翻可能推翻6 數學證明是依靠邏輯推理導出結論，

4、定理一經數學證明是依靠邏輯推理導出結論，定理一經證明證明就永遠是對的，就永遠是對的，除非發(fā)現(xiàn)證明本身有誤。除非發(fā)現(xiàn)證明本身有誤。 而其它學科的證明，往往是在某些依據下提出一種而其它學科的證明，往往是在某些依據下提出一種假說假說，當觀察和，當觀察和實驗與該假說相符，就成為假說成立的證據。如果該假說不僅能描述已實驗與該假說相符，就成為假說成立的證據。如果該假說不僅能描述已知的現(xiàn)象，而且能預見未知的事實，就成為假說成立的更強的證據。證知的現(xiàn)象，而且能預見未知的事實，就成為假說成立的更強的證據。證據積累到一定的數量，假說就改稱為理論而被人們接受。據積累到一定的數量，假說就改稱為理論而被人們接受。 觀察

5、和實驗是可能出錯的，或者可能是不精確的，從而只能提供近觀察和實驗是可能出錯的，或者可能是不精確的，從而只能提供近似的證據，導出似的證據，導出相對相對正確的理論。所以其它學科的理論，可能在后來會正確的理論。所以其它學科的理論，可能在后來會被證明是錯的，從而導致科學上的革命，以至用新理論去代替舊理論。被證明是錯的，從而導致科學上的革命，以至用新理論去代替舊理論。數學證明卻與此不同，數學證明不是依賴于觀察和實驗，而是依賴于邏數學證明卻與此不同，數學證明不是依賴于觀察和實驗，而是依賴于邏輯，所以，數學證明具有輯，所以，數學證明具有“絕對絕對的意義的意義”。7 這些，是我們過去的認識。但是，形式的、公理

6、化的、邏輯的推理方這些，是我們過去的認識。但是，形式的、公理化的、邏輯的推理方法確實是無懈可擊嗎？數學真理一定是絕對真理嗎？法確實是無懈可擊嗎？數學真理一定是絕對真理嗎？ 1931年，年僅年，年僅25歲的奧地利數學家和邏輯學家哥德爾（歲的奧地利數學家和邏輯學家哥德爾（Kurt .Godel 1906年年1978年）在數學物理期刊上發(fā)表了一篇題為年）在數學物理期刊上發(fā)表了一篇題為“論數學原理論數學原理和有關系統(tǒng)中的形式不可判定命題和有關系統(tǒng)中的形式不可判定命題”的論文。他當時在維也納大學。論文的論文。他當時在維也納大學。論文剛發(fā)表時并未受到重視，但僅過了幾年，就被數學界認為是數學和邏輯剛發(fā)表時并

7、未受到重視，但僅過了幾年，就被數學界認為是數學和邏輯的基礎方面的劃時代文獻。哥德爾的論文提出了的基礎方面的劃時代文獻。哥德爾的論文提出了公理化方法的局限性公理化方法的局限性，這是人們始料不及的。哥德爾證明了兩個重要的定理，即哥德爾第一定這是人們始料不及的。哥德爾證明了兩個重要的定理，即哥德爾第一定理和哥德爾第二定理。理和哥德爾第二定理。89 .哥德爾第一定理哥德爾第一定理：對于包含自然數對于包含自然數系的任何相容的形式體系，中都有不系的任何相容的形式體系，中都有不可判定命題，從而該體系是可判定命題，從而該體系是“不完全不完全”的。的。 （這里，（這里，“包含自然數系包含自然數系”不是特別的要求

8、，不是特別的要求， 一般的形式體系都包含自然數系。）一般的形式體系都包含自然數系。）10 哥德爾第一定理表明，相容的體系一哥德爾第一定理表明，相容的體系一定是不完全的，這太令人吃驚了！定是不完全的，這太令人吃驚了！ 例如哥德巴赫猜想，至今未被證明，也例如哥德巴赫猜想，至今未被證明，也未被推翻，它是不可判定的命題嗎？那樣我未被推翻，它是不可判定的命題嗎？那樣我們就永遠也不能證明它了！們就永遠也不能證明它了！11 . . 哥德爾第二定理哥德爾第二定理：對于包含自然數系的任何相對于包含自然數系的任何相容的形式體系，容的形式體系，“的相容性的相容性”是不可判定的。是不可判定的。 只有有窮個命題的體系，

9、只有有窮個命題的體系，“體系的相容性體系的相容性”原則上是可原則上是可以判定的；但包含自然數系的形式體系中有無窮個命題以判定的；但包含自然數系的形式體系中有無窮個命題（因為（因為自然數有無窮多個）自然數有無窮多個），而哥德爾又證明了：對于包含自然數系的，而哥德爾又證明了：對于包含自然數系的任何相容的形式體系，任何相容的形式體系，“的相容性的相容性”是不可判定的。是不可判定的。 這就是說，公理化體系對邏輯的三條最基本的要求這就是說，公理化體系對邏輯的三條最基本的要求相容性、獨立性、完全性，是無法同時滿足的相容性、獨立性、完全性，是無法同時滿足的。 公理化體系大廈的基礎崩塌了！公理化體系大廈的基礎

10、崩塌了！據說，哥德爾對據說，哥德爾對“形式化形式化”方法的懷疑，方法的懷疑，是受到一個是受到一個 有名的悖論的啟發(fā)有名的悖論的啟發(fā)說謊者悖論：說謊者悖論：“這句話是謊話。這句話是謊話。”哥德爾的模仿：哥德爾的模仿：“這句話是不能證明的。這句話是不能證明的?！眴l(fā)：啟發(fā)：任何形式系統(tǒng)中都有這樣的命題任何形式系統(tǒng)中都有這樣的命題 在該系統(tǒng)中既不能證明，也不能證否在該系統(tǒng)中既不能證明，也不能證否1213 .問題的核心仍是問題的核心仍是“自我指謂自我指謂” 在講集合論的在講集合論的“羅素悖論羅素悖論”時，我們提到過時，我們提到過“含有自身含有自身的集合的集合”這樣的詞句，說明過該悖論的要害是這樣的詞句

11、，說明過該悖論的要害是“自我指謂自我指謂”，即命題中又說到命題本身。即命題中又說到命題本身。 還有還有“說謊者悖論說謊者悖論”的要害也是的要害也是“自我指謂自我指謂” （說謊者說：（說謊者說：“這句這句話是謊話話是謊話”，則，說，則，說“這句話是實話這句話是實話”將導致這句話是謊話，說將導致這句話是謊話，說“這句這句話是謊話話是謊話”又將導致這句話是實話，左右為難）（命題中有又將導致這句話是實話，左右為難）（命題中有“這句話這句話”一詞）。一詞）。 “這句話是不能證明的。這句話是不能證明的?！?該悖論要害也是該悖論要害也是“自我指謂自我指謂” 。 14 哥德爾第一定理說，相容的體系中存在不可判

12、定的命哥德爾第一定理說，相容的體系中存在不可判定的命題。這就是，如果只從體系內去判斷體系里的命題，這就題。這就是，如果只從體系內去判斷體系里的命題，這就是是“自我指謂自我指謂”。古詩說。古詩說“不識廬山真面目，只緣身在此山不識廬山真面目，只緣身在此山中中”，也是這個道理。，也是這個道理。 哥德爾第二定理說，公理體系的相容性不能在體系中哥德爾第二定理說，公理體系的相容性不能在體系中被證明。這就是，如果只想從體系中去證明體系本身的相被證明。這就是，如果只想從體系中去證明體系本身的相容性，這就是容性，這就是“自我指謂自我指謂”。俗話說：。俗話說：“老王賣瓜，自賣自老王賣瓜，自賣自夸夸”。人們不能只聽

13、他自己的宣傳，就判定他的瓜是好的；。人們不能只聽他自己的宣傳，就判定他的瓜是好的；也不能只從公理體系自己的邏輯推理，就推出體系自己的也不能只從公理體系自己的邏輯推理，就推出體系自己的相容性來。相容性來。15 當然，這里所說的當然，這里所說的“自我指謂自我指謂”，與羅素悖論，與羅素悖論的的“自我指謂自我指謂”還不完全一樣，因為形式的公理化還不完全一樣，因為形式的公理化方法本來就是自成系統(tǒng)的。所以這種方法本來就是自成系統(tǒng)的。所以這種“自我指謂自我指謂”的毛病，來自公理系統(tǒng)自身。的毛病，來自公理系統(tǒng)自身。 這表明，公理化方法確有局限性，公理化方法這表明，公理化方法確有局限性，公理化方法在邏輯方面的三

14、大基本要求，本身是無法完全滿足在邏輯方面的三大基本要求，本身是無法完全滿足的。的。16 .哥德爾的重大貢獻哥德爾的重大貢獻 哥德爾的兩條定理可以說是所有數學定理中哥德爾的兩條定理可以說是所有數學定理中最具重要意義的定理之一。由此，人類對于宇最具重要意義的定理之一。由此，人類對于宇宙的認識和對于數學地位的認識，被迫作出了宙的認識和對于數學地位的認識，被迫作出了根本性的改變：數學不再是精確論證的頂峰，根本性的改變：數學不再是精確論證的頂峰，不再是絕對真理的化身，數學也有它自己的局不再是絕對真理的化身，數學也有它自己的局限性。限性。17 具體地，哥德爾的貢獻可以簡要地從三個方面來闡述：具體地，哥德爾

15、的貢獻可以簡要地從三個方面來闡述： ）把）把“正確正確”與與“可證明可證明”區(qū)別開來區(qū)別開來 按照哥德爾的定理，任一個形式系統(tǒng)中都存在不可判定的命題。而按照哥德爾的定理，任一個形式系統(tǒng)中都存在不可判定的命題。而邏輯里的邏輯里的排中律排中律告訴我們：一個命題和它的否命題非必有一個是正告訴我們：一個命題和它的否命題非必有一個是正確的；現(xiàn)在又說：對于不可判定命題，和非在系統(tǒng)中都不可證明。確的；現(xiàn)在又說：對于不可判定命題，和非在系統(tǒng)中都不可證明。這就表明：這就表明：“正確正確”與與“可證明可證明”是兩回事，而且是兩回事，而且“正確正確”弱于弱于“可證可證明明”“可證明可證明”一定一定“正確正確”，“正

16、確正確”不一定不一定“可證明可證明”。 這是極其深刻的：一方面把這是極其深刻的：一方面把邏輯真邏輯真與與“主觀符合客觀主觀符合客觀”之謂真，區(qū)別之謂真，區(qū)別開來了；另一方面，又把開來了；另一方面，又把邏輯真邏輯真與邏輯的與邏輯的可證明可證明區(qū)別開來了。區(qū)別開來了。18 ）清醒地提出）清醒地提出 “數學基礎數學基礎的問題能否徹底解決的問題能否徹底解決” 的問題的問題 從世紀起，數學家就在尋求從世紀起，數學家就在尋求“數學基礎數學基礎”，極限理論和實數理，極限理論和實數理論的建立，康托的集合論，希爾伯特的公理化思想，使人們看到了解決論的建立，康托的集合論，希爾伯特的公理化思想，使人們看到了解決這一

17、問題的希望，以致年龐加萊在國際數學家大會上宣稱這一問題的希望，以致年龐加萊在國際數學家大會上宣稱“完完全的嚴格性已經達到了！全的嚴格性已經達到了！” 年的年的“羅素悖論羅素悖論”，曾對此給以，曾對此給以“當頭棒喝當頭棒喝”，引起了歷史上的，引起了歷史上的第三次數學危機；雖然危機后來由集合論的公理化而局部化解了。第三次數學危機；雖然危機后來由集合論的公理化而局部化解了。19 但哥德爾的兩條定理出世以后，有誰敢說，數學已經但哥德爾的兩條定理出世以后，有誰敢說，數學已經得到嚴格的基礎了？相反，現(xiàn)在比較有共識的看法是，關于得到嚴格的基礎了？相反，現(xiàn)在比較有共識的看法是，關于“數學基礎數學基礎”的問題，

18、很可能不會有一個最終的、為一切人所的問題，很可能不會有一個最終的、為一切人所接受的解決。接受的解決。 實際上，在公理化集合論建立、實際上，在公理化集合論建立、“羅素悖論羅素悖論”被化解以被化解以后，同一個龐加萊就打過比喻，說：現(xiàn)在后，同一個龐加萊就打過比喻，說：現(xiàn)在“羅素悖論羅素悖論”這樣的這樣的“狼狼”是被圈在外面了，但圈內有沒有隱藏的是被圈在外面了，但圈內有沒有隱藏的“狼狼”，并不知道。，并不知道。20 3）數學的任務不能僅僅是邏輯推理）數學的任務不能僅僅是邏輯推理 數學的任務不僅僅是形式化的邏輯推理，還必須對數學的任務不僅僅是形式化的邏輯推理，還必須對外界進行觀察和研究，不斷用對客觀世界

19、的新發(fā)現(xiàn)來外界進行觀察和研究，不斷用對客觀世界的新發(fā)現(xiàn)來豐富數學；而這些新的發(fā)現(xiàn)，可以是不能使用原來的豐富數學；而這些新的發(fā)現(xiàn)，可以是不能使用原來的數學知識去證明的。數學知識去證明的。 這為數學研究大大拓寬了視野。這為數學研究大大拓寬了視野。21三、對數學如何三、對數學如何“補救補救” . .算術相容性的證明算術相容性的證明 “算術相容性算術相容性”，本來在希爾伯特的，本來在希爾伯特的“元數學元數學”體系中是一個不體系中是一個不可判定命題，但是根岑（可判定命題，但是根岑（Gentzen,Gerhard,1909年年-1945年）在年）在年證明了它。年證明了它。 根岑是擴大了希爾伯特的元數學中所

20、允許采用的邏輯而應用了根岑是擴大了希爾伯特的元數學中所允許采用的邏輯而應用了超限歸納法，從而完成了這一證明。超限歸納法，從而完成了這一證明。 哥德爾第一定理是說，在一個相容的形式系統(tǒng)內，有該系統(tǒng)無法哥德爾第一定理是說，在一個相容的形式系統(tǒng)內，有該系統(tǒng)無法證明也無法證否的命題。但根岑想到，在一個擴大的形式系統(tǒng)中該命題證明也無法證否的命題。但根岑想到，在一個擴大的形式系統(tǒng)中該命題是可能被證明或證否的。這使我們找到了是可能被證明或證否的。這使我們找到了“補救補救”數學的途徑。數學的途徑。22 .擴大形式系統(tǒng)去擴大形式系統(tǒng)去“補救補救” 上面上面“算術相容性算術相容性”被證明的例子，使我們了解了公被證

21、明的例子，使我們了解了公理化方法的局限性和補救的一種辦法：對每一個具體的公理化方法的局限性和補救的一種辦法：對每一個具體的公理化形式系統(tǒng)，總有不可判定的命題；但是，適當擴大這理化形式系統(tǒng)，總有不可判定的命題；但是，適當擴大這個形式系統(tǒng)，又可以證明或證否該命題。個形式系統(tǒng)，又可以證明或證否該命題。23例例1）關于非歐幾何）關于非歐幾何 對歐幾里得的對歐幾里得的第五公設第五公設，在，在“去掉第五公設的歐去掉第五公設的歐氏幾何系統(tǒng)氏幾何系統(tǒng)”內，用歐氏幾何的其它公理公設，不能證內，用歐氏幾何的其它公理公設，不能證明、也不能證否。明、也不能證否?！叭切稳齼冉侵蜑槿切稳齼冉侵蜑椤边@這一命題，也是

22、一命題，也是 既不能證明又不能證否的命題。既不能證明又不能證否的命題。24 現(xiàn)在，把該形式系統(tǒng)擴大，現(xiàn)在，把該形式系統(tǒng)擴大，增加第五公設增加第五公設：過直線外：過直線外一點，能作且只能作一條直線與已知直線平行。這樣就產一點，能作且只能作一條直線與已知直線平行。這樣就產生了生了歐幾里得幾何歐幾里得幾何的系統(tǒng)。在這一系統(tǒng)內，的系統(tǒng)。在這一系統(tǒng)內，“三角形三內角三角形三內角之和為之和為”的命題，就可以得到證明。的命題，就可以得到證明。25 如用另一種方式把該系統(tǒng)擴大：不是增加第五公設，如用另一種方式把該系統(tǒng)擴大：不是增加第五公設，而是而是增加增加下邊的公理（稱為下邊的公理（稱為羅巴契夫斯基公理羅巴契

23、夫斯基公理）：過直線）：過直線外一點，至少能作兩條直線與已知直線平行（從而可作無外一點，至少能作兩條直線與已知直線平行（從而可作無窮條直線與已知直線平行）。窮條直線與已知直線平行）。 這樣就產生了非歐幾里得幾何的系統(tǒng)（叫這樣就產生了非歐幾里得幾何的系統(tǒng)（叫羅氏幾何羅氏幾何，也叫雙曲幾何）。在這一系統(tǒng)內，也叫雙曲幾何）。在這一系統(tǒng)內，“三角形三內角之和為三角形三內角之和為”的命題，就可以被證否。而的命題，就可以被證否。而“三角形三內角之和三角形三內角之和小于小于”的命題，卻可以得到證明。的命題，卻可以得到證明。26 如果再用另一種方式把該系統(tǒng)擴大：不是增加第五公如果再用另一種方式把該系統(tǒng)擴大：不

24、是增加第五公設，而是設，而是增加增加下邊的公理（不妨稱為下邊的公理（不妨稱為黎曼公理黎曼公理）：過直線）：過直線外一點，不能作任何直線與已知直線平行。外一點，不能作任何直線與已知直線平行。 這樣就產生了另一種非歐幾何的系統(tǒng)（叫這樣就產生了另一種非歐幾何的系統(tǒng)（叫黎曼幾何黎曼幾何，也叫橢球幾何）。在這一系統(tǒng)內，也叫橢球幾何）。在這一系統(tǒng)內，“三角形三內角之和為三角形三內角之和為 ”的命題，就可以被證否，而的命題，就可以被證否，而“三角形三內角之和三角形三內角之和大于大于”的命題，卻可以得到證明。的命題，卻可以得到證明。27例例2）關于）關于“連續(xù)統(tǒng)假設連續(xù)統(tǒng)假設” 在康托的集合論的系統(tǒng)內，有一個

25、在康托的集合論的系統(tǒng)內，有一個“連續(xù)統(tǒng)假設連續(xù)統(tǒng)假設”，是說，是說，“無窮勢中無窮勢中可數無窮勢可數無窮勢是最小的勢，是最小的勢，連續(xù)統(tǒng)勢連續(xù)統(tǒng)勢是是次小的勢次小的勢”。證明這一命題為真，被列為希爾伯特。證明這一命題為真，被列為希爾伯特個問題中的第一個問題。后來的研究表明，個問題中的第一個問題。后來的研究表明，“連續(xù)統(tǒng)假連續(xù)統(tǒng)假設設”在上述系統(tǒng)內，既不能被證明，也不能被證否。在上述系統(tǒng)內，既不能被證明，也不能被證否。28 年，哥德爾證明，把年，哥德爾證明，把“連續(xù)統(tǒng)假設連續(xù)統(tǒng)假設”加進該系加進該系統(tǒng)（集合論的系統(tǒng)）中是相容的，不會導出矛盾。我統(tǒng)（集合論的系統(tǒng)）中是相容的，不會導出矛盾。我們把這

26、樣擴充后得到的公理化集合論，叫們把這樣擴充后得到的公理化集合論，叫康托集合論康托集合論。 年，科恩又證明，年，科恩又證明，“連續(xù)統(tǒng)假設連續(xù)統(tǒng)假設”在系統(tǒng)在系統(tǒng)中是獨立的，即不能從其它公理導出。這樣，如果把中是獨立的，即不能從其它公理導出。這樣，如果把“連續(xù)連續(xù)統(tǒng)假設統(tǒng)假設”的否命題加進該系統(tǒng)中也是相容的，不會導出矛盾。的否命題加進該系統(tǒng)中也是相容的，不會導出矛盾。我們把這樣擴充后得到的公理化集合論，叫我們把這樣擴充后得到的公理化集合論，叫非康托集合論非康托集合論。29 .用非形式的數學方法去用非形式的數學方法去“補救補救” 剛才說的擴大形式系統(tǒng)，仍是采用剛才說的擴大形式系統(tǒng)，仍是采用“形式系統(tǒng)

27、形式系統(tǒng)”的方的方法去法去“補救補救”數學，希望每一個具體的命題（在擴大的形式數學，希望每一個具體的命題（在擴大的形式系統(tǒng)中）總可以證明或證否。這樣，雖然不是在同一個形系統(tǒng)中）總可以證明或證否。這樣，雖然不是在同一個形式系統(tǒng)中做到的，人們也可以滿足了。式系統(tǒng)中做到的，人們也可以滿足了。 但是，除了形式的方法外，也還可以有非形式的數學但是，除了形式的方法外，也還可以有非形式的數學方法，去解決具體的數學問題。例如方法，去解決具體的數學問題。例如構造構造的方法、的方法、問題問題的的方法。我們是否可以用非形式的數學方法去解決問題，以方法。我們是否可以用非形式的數學方法去解決問題，以“補救補救”數學呢？

28、數學呢？30 .用非數學的方法去用非數學的方法去“補救補救” 數學是為認識宇宙產生的，但解決宇宙中的問題，數學是為認識宇宙產生的，但解決宇宙中的問題，判斷一個命題的真?zhèn)?，除了數學的方法外，還可以有非數判斷一個命題的真?zhèn)?，除了數學的方法外，還可以有非數學的方法。采用多種方法，我們總可以一步步前進，逐漸學的方法。采用多種方法，我們總可以一步步前進，逐漸地認識世界。地認識世界。 例如，觀察、實驗、實踐等等方法。例如，觀察、實驗、實踐等等方法。31 .數學家并未失去信心，也未停止工作數學家并未失去信心，也未停止工作 數學的邏輯基礎，雖然從世紀三十年代起就由哥德爾定理發(fā)數學的邏輯基礎，雖然從世紀三十年代

29、起就由哥德爾定理發(fā)現(xiàn)了問題，但數學仍然有力地解決著各種實際問題，發(fā)揮著越來越大現(xiàn)了問題，但數學仍然有力地解決著各種實際問題，發(fā)揮著越來越大的作用。衛(wèi)星上了天，人類也登上月球。數學不但得到認可，而且深的作用。衛(wèi)星上了天，人類也登上月球。數學不但得到認可，而且深入各個角落。這與世紀微積分誕生以后的情形很相似。當時，雖入各個角落。這與世紀微積分誕生以后的情形很相似。當時，雖然有然有“貝克萊悖論貝克萊悖論”，但數學仍然有力地解決著機械、航海、天文等各，但數學仍然有力地解決著機械、航海、天文等各領域的大量實際問題，發(fā)揮著巨大的作用。領域的大量實際問題，發(fā)揮著巨大的作用。 所以說，數學家并未因數學基礎的問

30、題尚未解決而失去信心，也從所以說，數學家并未因數學基礎的問題尚未解決而失去信心，也從來沒有停止他們的數學工作。來沒有停止他們的數學工作。32四、數學：確定性的喪失四、數學：確定性的喪失 .克萊因的一本材料豐富的書克萊因的一本材料豐富的書 美國著名數學家美國著名數學家克萊因年出版了一本克萊因年出版了一本名為數學：確定性的喪失的書。名為數學：確定性的喪失的書。 這是一本材料十這是一本材料十分豐富的書。這本書早已有了中譯本。分豐富的書。這本書早已有了中譯本。 但對這一書的書名，有不少數學家說：但對這一書的書名，有不少數學家說：“實在不敢實在不敢茍同茍同”。3334 .確定性并未喪失確定性并未喪失 不

31、敢茍同不敢茍同“數學喪失了確定性數學喪失了確定性”的原因有二：的原因有二： ）哥德爾定理乃至）哥德爾定理乃至“確定性的喪失確定性的喪失”，本身是非常確定的，本身是非常確定的，是用非常確定的數學方法得出的非常確定的結果。是用非常確定的數學方法得出的非常確定的結果。 ）是的，數學的）是的，數學的“確定性確定性”不是絕對的，是有局限性的；不是絕對的，是有局限性的；但這種局限性不是含糊的，數學是但這種局限性不是含糊的，數學是“非常確定非常確定”地闡明了自己地闡明了自己的不確定性。即，局限性在哪里，是的不確定性。即，局限性在哪里，是“確定的確定的”。35 .新境界的開辟新境界的開辟 數學上要求的數學上要

32、求的“確定性確定性”，是歷史上長，是歷史上長期形成的一種定見或者說是成見（這不免期形成的一種定見或者說是成見（這不免就有些貶意了）。這種帶引號的就有些貶意了）。這種帶引號的“確定性確定性”的喪失，其實常常意味著新境界的開辟。的喪失，其實常常意味著新境界的開辟。36 ）數學的新學科體系的誕生）數學的新學科體系的誕生 例如歐幾里得第五公設既不能被證明，也不能被證例如歐幾里得第五公設既不能被證明，也不能被證否，看起來喪失了確定性，成為不可判定命題。否，看起來喪失了確定性，成為不可判定命題。 但是，但是，由此卻誕生了兩種非歐幾何的新學科體系由此卻誕生了兩種非歐幾何的新學科體系羅巴契夫羅巴契夫斯基幾何和

33、黎曼幾何。所以，這究竟是斯基幾何和黎曼幾何。所以，這究竟是“確定性的喪失確定性的喪失”呢，還是開辟了新的境界呢？呢，還是開辟了新的境界呢？37 ）新的邏輯體系有可能誕生）新的邏輯體系有可能誕生 前面講到前面講到“正確正確”與與“可證明可證明”的差別時說，如果承認邏輯上的的差別時說，如果承認邏輯上的“排中律排中律”，則命題與非必有一個為，則命題與非必有一個為“真真”；當兩者均不可證明時，；當兩者均不可證明時，就出現(xiàn)了不可判定命題，系統(tǒng)就是不完全的。但是，我們?yōu)槭裁匆痪统霈F(xiàn)了不可判定命題，系統(tǒng)就是不完全的。但是，我們?yōu)槭裁匆欢ㄒ獔猿诌壿嬌系亩ㄒ獔猿诌壿嬌系摹芭胖新膳胖新伞蹦?？如果不承認呢？如果不承

34、認“排中律排中律”，則命題與，則命題與非均不可證明時，可以認為可能存在非均不可證明時，可以認為可能存在“真真”與與“非真非真”之外的另一個之外的另一個邏輯概念。當數學中像公理化體系這樣過去認為邏輯概念。當數學中像公理化體系這樣過去認為“明顯明顯”的的“真理真理”都都已已“崩潰崩潰”了的時候，邏輯的法則為什么一定不能改變呢？新的邏輯了的時候，邏輯的法則為什么一定不能改變呢？新的邏輯體系為什么不可能誕生呢？體系為什么不可能誕生呢？38五、嚴肅的反思五、嚴肅的反思 本節(jié)討論的問題，有些是學術界正在研究的問本節(jié)討論的問題，有些是學術界正在研究的問題。把材料介紹給大家，并不是定論，只是希望開題。把材料介

35、紹給大家，并不是定論，只是希望開闊大家的眼界。闊大家的眼界。 有些論點互相也不一致。這些問題真正的意義有些論點互相也不一致。這些問題真正的意義是什么，也許再過許多年才能看清楚。我們僅以以是什么，也許再過許多年才能看清楚。我們僅以以下三點下三點反思反思結束這一節(jié)。結束這一節(jié)。 39 1.1.是否有是否有“現(xiàn)有條件下不可解決的問題現(xiàn)有條件下不可解決的問題”？ 當我們用數學方法去解決一個問題，去預測一件事情當我們用數學方法去解決一個問題，去預測一件事情時，我們有必要問自己：我們是不是在試圖解決現(xiàn)有條件時，我們有必要問自己：我們是不是在試圖解決現(xiàn)有條件下不可解決的問題？是不是在預測現(xiàn)有條件下不可預測的

36、下不可解決的問題？是不是在預測現(xiàn)有條件下不可預測的事情？我們自認為已經懂得的東西，是不是包含了某些超事情？我們自認為已經懂得的東西，是不是包含了某些超出我們當前智力的困難？出我們當前智力的困難？ 其實，牛頓創(chuàng)立微積分的時代，這些問題就已經十分其實，牛頓創(chuàng)立微積分的時代，這些問題就已經十分尖銳地存在了。正因為此，英國大主教貝克萊關于牛頓尖銳地存在了。正因為此，英國大主教貝克萊關于牛頓“無無窮小量窮小量”的責難，才在兩百年間無人能夠徹底批駁。的責難，才在兩百年間無人能夠徹底批駁。40 2.對一個哲學觀點的印證對一個哲學觀點的印證 哲學是對整個世界的普遍規(guī)律的研究。很多哲學觀點哲學是對整個世界的普遍

37、規(guī)律的研究。很多哲學觀點是十分深刻的。本節(jié)關于數學的討論就印證了以下的哲學觀是十分深刻的。本節(jié)關于數學的討論就印證了以下的哲學觀點。點。 真理是無限的、絕對的，人對真理的認識是有限的、真理是無限的、絕對的，人對真理的認識是有限的、相對的。相對的。 在有限的時間里、有限的范圍內、有限的條件下，人類在有限的時間里、有限的范圍內、有限的條件下，人類對真理的認識是有局限性的。隨著時間的推移，人類對真理對真理的認識是有局限性的。隨著時間的推移，人類對真理的認識，會逐步地接近真理，如同古人所說：的認識，會逐步地接近真理，如同古人所說：“路漫漫其修路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索遠兮，吾將上下而求索”。41

38、3.數學文化的地位數學文化的地位 ）認識宇宙和人類自身）認識宇宙和人類自身數學是向數學是向兩個方向生長的大樹兩個方向生長的大樹 為什么大多數數學家并不太擔心哥德爾定理所造成為什么大多數數學家并不太擔心哥德爾定理所造成的陰影呢？因為數學這棵大樹是向兩個方向生長的。它的陰影呢？因為數學這棵大樹是向兩個方向生長的。它既向上生長，去研究宇宙的深度；也向下生長，去研究既向上生長，去研究宇宙的深度；也向下生長，去研究人類自身理性思維的深度。人類自身理性思維的深度。42 如果不是這樣，而只向上生長，一旦細微的須根如果不是這樣，而只向上生長，一旦細微的須根出了問題，基礎就要崩潰，大樹就會倒下?，F(xiàn)在，枝出了問題

39、，基礎就要崩潰，大樹就會倒下。現(xiàn)在，枝葉也在生長，根須也在生長，大樹就不會因為少許須葉也在生長，根須也在生長，大樹就不會因為少許須根的根的“問題問題”而倒下。因為，認識宇宙的過程中會有許而倒下。因為，認識宇宙的過程中會有許多一時不能解決的問題（如宇宙大爆炸的問題、黑洞多一時不能解決的問題（如宇宙大爆炸的問題、黑洞的問題），我們并未因此而氣餒；認識人類自身理性的問題），我們并未因此而氣餒；認識人類自身理性思維的過程中也會遇到許多一時難以解決的問題，我思維的過程中也會遇到許多一時難以解決的問題，我們又何必氣餒而懷疑整個數學的價值呢？們又何必氣餒而懷疑整個數學的價值呢？43 哥德爾定理是人類認識自身理性思維的記錄，哥德爾定理是人類認識自身理性思維的記錄，但，這不是失敗的記錄，而是勝利的記錄。但，這不是失敗的記錄，而是勝利的記錄。 如果說哥德爾定理揭示了形式的公理系統(tǒng)的深如果說哥德爾定理揭示了形式的公理系統(tǒng)的深刻矛盾，則問題在于，我們是在探索世界的過程中，刻矛盾，則問題在于，我們是在探索世界的過程中，自己把數學變成形式系統(tǒng)的，數學本身并不一定非自己把數學變成形式系統(tǒng)的，數學本身并不一定非要是形式系