1、第2課時角度問題學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能靈活運用正弦定理及余弦定理解角度問題(重點)2.會將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題(難點)3.能根據(jù)題意畫出幾何圖形(易錯點)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1方位角從指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角如點B的方位角為(如圖1­2­18所示)方位角的取值范圍：0°360°.圖1-2-182方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.基礎(chǔ)自測1判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)若P在Q的北偏東44

2、°，則Q在P的東偏北44°方向()(2)如圖1­2­19所示，該角可以說成北偏東110°.()圖1­2­19(3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系，其范圍均是.()(4)若點A在點C的北偏東30°方向，點B在點C的南偏東60°方向，且ACBC，則點A在點B北偏西15°方向()解析(1)錯誤因若P在Q的北偏東44°，則Q應(yīng)在P的南偏西44°.(2)錯誤因本圖所標(biāo)角應(yīng)為方位角，可以說成點A的方位角為110°.(3)錯誤因為方向角的范圍為

3、0°90°，而方位角的范圍為0°360°.(4)正確答案(1)×(2)×(3)×(4)2某次測量中，A在B的南偏東34°27，B在A的()【導(dǎo)學(xué)號：12232045】A北偏西34°27B北偏東55°33C北偏西55°33D南偏西55°33A如圖所示3已知兩座建筑A，B與規(guī)劃測量點C的距離相等，A在C的北偏東40°，B在C的南偏東60°，則A在B的()A北偏東10°B北偏西10°C南偏東10°D南偏西10°B如圖，因為

4、ABC為等腰三角形，所以CBA(180°80°)50°，60°50°10°.即北偏西10°.4某人從A處出發(fā)、沿北偏西60°行走2 km到達(dá)B處，再沿正東方向行走2 km到達(dá)C處，則A、C兩地的距離為_km.【導(dǎo)學(xué)號：12232046】2如圖所示，ABC30°，又AB2，BC2，由余弦定理得AC2AB2BC22AB×BCcosABC1242×2×2×4，AC2，所以A、C兩地的距離為2 km.合 作 探 究·攻 重 難角度問題(1)如圖1­2&#

5、173;20，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()圖1­2­20A北偏東10°B北偏西10°C南偏東80°D南偏西80°(2)有一攔水壩的橫斷面是等腰梯形，它的上底長為6 m，下底長為10 m，高為2m，那么此攔水壩斜坡的坡比和坡角分別是() 【導(dǎo)學(xué)號：12232047】A.，60°B，60°C.，30°D，30°思路探究(1)兩座燈塔A，B與觀察站C的距離相等，說明A與B有何大小關(guān)系？燈塔B在

6、觀察站南偏東60°，說明CBD是多少度？(2)本小題關(guān)鍵是理解坡比與坡角的意義解析(1)由條件及圖可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.(2)如圖所示，橫斷面是等腰梯形ABCD，AB10 m，CD6 m，高DE2 m，則AE2 m，tan DAE，DAE60°.答案(1)D(2)B規(guī)律方法測量角度問題畫示意圖的基本步驟：跟蹤訓(xùn)練1在一次抗洪搶險中，某救生艇發(fā)動機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風(fēng)向是北偏東30°，風(fēng)速是20 k

7、m/h；水的流向是正東，流速是20 km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向為北偏東_，大小為_km/h.60°20如圖，AOB60°，由余弦定理知OC2202202800cos 120°1 200，故OC20，COY30°30°60°.求航向的角度某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45°，距離為10 n mile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mile/h的速度前

8、去營救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間. 【導(dǎo)學(xué)號：12232048】思路探究本題中所涉及的路程在不斷變化，但艦艇和漁輪相遇時所用時間相等，先設(shè)出所用時間t，找出等量關(guān)系，然后解三角形解如圖所示，根據(jù)題意可知AC10，ACB120°，設(shè)艦艇靠近漁輪所需的時間為t h，并在B處與漁輪相遇，則AB21t，BC9t，在ABC中，根據(jù)余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos 120°，所以212t210281t22×10×9t×，即360t290t1000，解得t或t(舍去)所以艦艇靠近漁輪所需的時間為 h.此時AB14，

9、BC6.在ABC中，根據(jù)正弦定理得，所以sinCAB，即CAB21.8°或CAB158.2°(舍去)即艦艇航行的方位角為45°21.8°66.8°.所以艦艇以66.8°的方位角航行，需 h才能靠近漁輪規(guī)律方法1.測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解.2.在解三角形問題中，求某些角的度數(shù)時，最好用余弦定理求角.因為余弦函數(shù)在(0，)上是單調(diào)遞減的，而正弦函數(shù)在(0，)上不是單調(diào)函數(shù)，一個正弦值可以對應(yīng)兩個角.但角在

10、上時，用正、余弦定理皆可.跟蹤訓(xùn)練2某海上養(yǎng)殖基地A，接到氣象部門預(yù)報，位于基地南偏東60°相距20(1) n mile的海面上有一臺風(fēng)中心，影響半徑為20 n mile，正以每小時10 n mile的速度沿某一方向勻速直線前進(jìn)，預(yù)計臺風(fēng)中心將從基地東北方向刮過且1 h后開始影響基地持續(xù)2 h求臺風(fēng)移動的方向. 【導(dǎo)學(xué)號：12232049】解如圖所示，設(shè)預(yù)報時臺風(fēng)中心為B，開始影響基地時臺風(fēng)中心為C，基地剛好不受影響時臺風(fēng)中心為D，則B，C，D在一直線上，且AD20，AC20.由題意AB20(1)，DC20，BC(1)·10.在ADC中，DC2AD2AC2，DAC90

11、76;，ADC45°.在ABC中，由余弦定理得cosBAC.BAC30°，又B位于A南偏東60°，60°30°90°180°，D位于A的正北方向，又ADC45°，臺風(fēng)移動的方向為向量的方向即北偏西45°方向答：臺風(fēng)向北偏西45°方向移動求解速度問題探究問題1某物流投遞員沿一條大路前進(jìn)，從A到B，方位角是50°，距離是4 km，從B到C，方位角是80°，距離是8 km，從C到D，方位角是150°，距離是6 km，試畫出示意圖提示如圖所示：2在探究1中，若投遞員想在半小

12、時之內(nèi)，沿小路直接從A點到C，則此人的速度至少是多少？提示如探究1圖，在ABC中，ABC50°(180°80°)150°，由余弦定理得AC，則此人的最小速度為v8(km/h)3在探究1中若投遞員以24 km/h的速度勻速沿大路從A到D前進(jìn)，10分鐘后某人以16 km/h的速度沿小路直接由A到C追投遞員，問在C點此人能否與投遞員相遇？提示投遞員到達(dá)C點的時間為t1(小時)30(分鐘)，追投遞員的人所用時間由探究2可知t20.55 小時33分鐘；由于30<3310，所以此人在C點不能與投遞員相遇如圖1­2­21所示，一輛汽車從O點出

13、發(fā)沿一條直線公路以50公里/小時的速度勻速行駛(圖中的箭頭方向為汽車行駛方向)，汽車開動的同時，在距汽車出發(fā)點O點的距離為5公里、距離公路線的垂直距離為3公里的M點的地方有一個人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機(jī)問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實現(xiàn)他的愿望，此時他駕駛摩托車行駛了多少公里？ 【導(dǎo)學(xué)號：12232050】圖1­2­21思路探究根據(jù)已知圖形構(gòu)造三角形利用余弦定理建立速度與時間的函數(shù)求解解作MI垂直公路所在直線于點I，則MI3，OM5，OI4，cosMOI.設(shè)騎摩托車的人的速度為v公里/小時，追上汽車的時間為t小時，由余弦定理得(vt)252(50t)

14、22×5×50t×，即v22 50025900900，當(dāng)t時，v取得最小值為30，其行駛距離為vt公里故騎摩托車的人至少以30公里/小時的速度行駛才能實現(xiàn)他的愿望，此時他駕駛摩托車行駛了公里規(guī)律方法解決實際問題應(yīng)注意的問題：(1)首先明確題中所給各個角的含義，然后分析題意，分析已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵最主要的一步.(2)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，要正確使用正、余弦定理解決問題.跟蹤訓(xùn)練3如圖1­2­22，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(1)n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西

15、75°的方向，距離A處2 n mile的C處的緝私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船圖1­2­22此時，走私船正以10 n mile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿著什么方向能最快追上走私船？解設(shè)緝私船用t h在D處追上走私船，則有CD10t，BD10t，在ABC中，AB1，AC2，BAC120°，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC(1)2222·(1)·2·cos 120°6，BC，且sinABC·sinBAC·

16、;.ABC45°.BC與正北方向垂直CBD90°30°120°，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30°.即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1臺風(fēng)中心從A地以20 km/h的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40 km處，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為()【導(dǎo)學(xué)號：12232051】A0.5 hB1 hC1.5 hD2 hB2一個大型噴水池的中央有一個強(qiáng)大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45

17、°，沿點A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A50 mB100 mC120 mD150 mA設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C(圖略)，則在ABC中，A60°，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m3已知兩燈塔A和B與海洋觀測站C的距離都等于a km，燈塔A在觀測站C的北偏東20°，燈塔B在觀測站C的南偏東40

18、°，則燈塔A與燈塔B的距離為_km.【導(dǎo)學(xué)號：12232052】a由題意知ACB120°，ACBCa，由余弦定理，得AB2a2a22a×a×cos 120°3a2，ABa.4一輪船從A點沿北偏東70°的方向行駛10海里至海島B，又從B沿北偏東10°的方向行駛10海里至海島C，若此輪船從A點直接沿直線行駛至海島C，則此船沿_方向行駛_海里至海島C.北偏東40°10在ABC中，ABC110°10°120°.又ABBC，故CABACB30°，AC10.故此船沿著北偏東70°30°40°方向行駛了10海里到達(dá)海島C.5如圖1­2­23，某海輪以60海里/時的速度航行，在A點測得海面上油井P在南偏東60°，向北航行40分鐘