1、幾種分式型遞推數(shù)列的通項求法李云皓（湖北省宜昌市夷陵中學(xué)，湖北宜昌443000）1.1引言數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是高考的熱點，而遞推數(shù)列又是數(shù)列的重要內(nèi)容。數(shù)列中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，遞推數(shù)列的通項問題也具有很強的邏輯性和一定的技巧性，因此此類問題也經(jīng)常滲透在高考試題和數(shù)學(xué)競賽中。本文對分式型遞推數(shù)列求通項問題作一些探求，希望對大家有所啟發(fā)。2.1 基本概念設(shè)數(shù)列J的首項為叼，且由4十%,、J巾=荻7瓦=以4）其中外、片。=12）為常數(shù)，同時/Oj-二1啊玩,我們稱這個遞推公式為分式遞推式，而數(shù)列稱為由分式遞推式給定的數(shù)列。顯然，該數(shù)列的遞推式也可寫成%+1%+叫+1+/?afl+y

2、=0（n=12）2.2 遞推式的特征方程與特征根我們先來看一個引例：首項為巴,由遞推式N+1%+叫，+1+僅*=。5=12）給定的數(shù)列14】的通項公式我們是會求的:in+1aw+cran+1+/?an-0agA1+=0%an+1a11阿0為常系數(shù)等比差數(shù)列（由遞推式該數(shù)列的通項是熟知的，為給定的數(shù)列，其中小0為常數(shù)），an=-(tq-)+于是考慮能不能變型后讓中的了沒有，即讓中的色沒有。我們可以利用遞推式的特征方程來解決這個問題。下面給出特征方程推導(dǎo)過程：數(shù)列的遞推式為兩邊同時減去入得“燈十%a-x=x片場+P1通分后得(%-啊況+/?1-砒a-x=1%4+%(%'%)(%工)+%74

3、+匯口五%)；，即1一1三a2(ar-x)+/?2-Fxtrz令0鄧信十(%嗎)=0即口產(chǎn)十%產(chǎn)+色）=0叩+氏,工X=,為特征根。a2x+fl2方程保留了原遞推式的特征，故稱為該遞推式的特征方程,3.1例題（第一部分）下面我們通過幾個例題來說明特征方程的應(yīng)用。3。-2例1在數(shù)列棺/中，為=4,且勺+1=,求數(shù)列與的通項公北4+43x+2解：特征方程工=一7有兩個不等根：勺=1,x2=-2M+4L34+22an-2u1-1=1="%十44+43詢125%+10冊+1+2=4-2=|%+44+4兩式相除得（%11山此可見.數(shù)列是以7為首項.口瓊+22冊+1+25(4+2);為公比的等比

4、數(shù)歹L口口1H-1Z十5aa.=（n12，*，）n5n-2ft'2故當(dāng)方程有兩不等實根時，可用此方法求出通項公式。24-1例2在數(shù)列4中，%=3,且4+1=正;？求數(shù)列的通項公式解：特征方程工=有兩個重根：X1=X2=-i9x+83124-115(3%+1)n+139an+833(94+8)兩邊同乘3得心_5(3%+1)_5(34+1)34+1+1-啊+8-3(碼+1)+5兩邊取倒數(shù)131+3tllt+i+153an+11316n-5X=一(fl-1)+=34+153%+1105-2n-%=-5=12)6孔-5故當(dāng)方程有兩相等實根時，也可用此方法求出通項公式。2例3在數(shù)列Qj中.%=3

5、,且5+L：;,求數(shù)列（%J的通項公式。解：特征方程卻=二有兩個虛數(shù)根：巧=1+i,勺=1-i2-x/2(1+i)%2t&2。一叫+2t/一。一)口g-U-0=(1-0=(i-I)/2-41/2f(>2-4兩式相除得1-(1+0_1+i<in-(H-0喂。二。"EqQ-D,4(1+i)_(I+I%(1+產(chǎn).L2i-q>二，)H二(11D一1771 +支產(chǎn)-1+3一3Qjj5=1,2/*）2 4-+F由此，當(dāng)方程有兩虛數(shù)根時，用此方法求通項公式也是正確的。3.2例題（第二部分）下面我們來看另一類型的分式遞推式。例叼在數(shù)列4中.%=%,且詢+1=3,求數(shù)列口/的

6、通項公式,N£1I£1解：兩邊取倒數(shù)有：11/I111I 1/1131=ti|1%+1。1%a)II /IIVlUn-L+-=Q|+|"1QI十I%a&-1a)&a)還要兩邊再取倒數(shù)還原，請讀者自己完成化簡力+6例5在數(shù)列詢中，%=%,且詢+1=,求數(shù)列（品的通項公式,解：兩邊同乘2%十%整理得：2%+i/+Q%+i-W4=0令%=47卜二%+42（%+|+©（%+，）+口（%+）一（與+工）？-b=02（%+x）（bn+，）+M4-】+工）一（%+了y-b=02btl+bjt+（2x+d）bn+1一片+2+以一f一匕二0令,即第一三_、解出2x+Q練習(xí)1呵=0,0n+1%34+1+Q*斗1=0練習(xí)2%=1,2%+1%-7%”+2%=3練習(xí)3孫=-：4+i%+2%+1=0練習(xí)4&