1、對稱性及常微分方程的精確解1根據(jù)對稱性求解一階常微分方程如何求解一階常微分方程12(1)dyx-ydxxy的精確解？看起來有些困難。但是，仔細觀察，不難發(fā)現(xiàn)方程具有如下對稱性2x=xy=y也就是說對因變量y和自變量x作這樣的變換，微分方程仍然不變dy'xy2dxxy我們看如何通過變換變量求解這個方程?將變換寫為2ax=ex,ay=ey可以看出，變換就是參數(shù)a從0改變的結(jié)果，可以認為是對a從0平移到a造成的。a可以任意改變不影響這個對稱性，我們稱方程（1）具有單參數(shù)平移變換不變性。你可能有點不耐煩，“那有怎么樣，我要的是方程的精確解！”稍安勿躁，這包含變換變量的技巧！如果我將因變量和自變

2、量變?yōu)閣,t=y2/x,ln（x）又會怎樣?可以預(yù)見，方程（1）會變成F（dw,w）=0的形式。這樣就可以求解了！dt為什么？222我們看w=y/x在變換（2）時是不變的w=y/x=y/x,而t=ln（x）在變換（2）時有t'=ln（x）=ln（eax）=t+a,一般方程（1）會變?yōu)閐w,F（-,t,w）=0（3）dt的形式，但是別忘了方程（1）具有變換（2）不變性，同樣地方程（3）也具有變換（2）不變性。dt由于dw和w在變換（2）中不變，在變換（2）時方程（3）變?yōu)閐w,F(,ta,w)=0dt因此上述方程只能不再顯含t?；卮鹜戤叀Ｎ覀兛匆豢瘁槍Ψ匠?1)具體的表達式222dwd(

3、y/x)xd(y/x)2ydyy=-dt1/xdxdxdxx222-2yCxy-)-y=2-3-=23wxyxx果然改變變量后變=2-3w不顯含to于dt1-31-3ln(2-3w)=tC2ln(2-3)=lnxCx22-3=Cx'x_31/2y=：（x（2-Cx）/3）這樣就求出方程的精確解。真得感謝對稱性。是啊，對稱性是個好東西!2尋找微分方程的對稱不變解2微分萬程有沒有滿足對稱性（2）的解？有的，當C=0時y=±（x）1就具有（3性。事先求解方程能否得到它？可以的。看變換（2）滿足的微分方程，如果將（2）看成包含參數(shù)a的隱函數(shù)（x；y'不改變）我們知道方程（1）

4、的對稱解也滿足這個方程，因此，對稱解同時滿足兩個微分方程dy_x-y2dxxydy二上dx2x22消去dy,得到±4二,即紅=x,即y=±（Zx）1/2。dx2xxy23)所示對稱dIny_1dInx23.一般情況我們應(yīng)該總結(jié)一下了：對于微分方程F(dy,x,y)=0,已經(jīng)知道它的變換不變性x=f(x,a)y=g(y,a)其中f(x,0)=x;g(y,0)=y我們可以反解出a來，a=f(y,y)a=g(x,x)選取變量w,t=h(g,(x,x。)一f(y,yo),g,(x,x0),這里xo,y。是任意選定的常數(shù)，h()是任意形式的函數(shù)，h(g,(x,x。)-f(y,y。)可

5、以是變換不變的任意表達式。就可以將方程化為G(dw,w)=0的形式，從而求解方程。dt計算微分方程的變換不變解，可以先計算對稱解遵循的常微分方程dy_%g(x,a)a"dxtaf(x,a)將這個導(dǎo)數(shù)帶入原微分方程F(dy,x,y)=0,就得到dxF：ag(x,a)：:af(x,a)a=0,x,y)得到的隱函數(shù)就是微分方程的變換不變解。4根據(jù)對稱性化簡高階微分方程或微分方程組我們知道，高階微分方程可以化為一階微分方程組，比如dy2ydyxy=0dxdx就可以化為dydxdzdx=-2yz-xy依次類推。我們只將微分方程組的化簡。為了方便，我們舉例講解比如微分方程組dydx二xyz2dz

6、1zydxyx2xeax滿足變換yte2ay的不變性_aztez我們選取自變量t=ln(x),選取因變量u=W，v=xzx可以預(yù)見原來方程組變?yōu)閐u出=F(u,v)d=G(u,v)dt不顯含t,原因同上面講的一樣，這個方程組，只能由變換不變的量組合起來，即由,u,v組合而成，不能顯含t°dtdt將上式相除，可以約掉t,變?yōu)閐u_F(u,v)dvG(u,v)使得方程組減少一個變量，化簡了方程。具體上述例子dudt2、.d(y/x)dyyxyzy2=-24二2-2七=1uv-2u2,dv_d(xz)_xdzdtdlnxdx2Q)zx=xdlnxxdxxxx-vuu果然方程變?yōu)?1uv-2

7、udtdv12=一vu-vdtu不再顯含t,化簡為常微分方程duu(1uv-2u)-2-2dv1-vuvu碰巧，這個方程還有對稱性，可以完全求解。這里作為讀者一個練習(xí)題。計算方程的不變解，與微分方程的情況相同。將對稱性變?yōu)槲⒎址匠?dlny.二2dInxdInz_dInx上述對稱性解也滿足這個微分方程，因此同時滿足dydx二xyz2dz_1zy7=2"dxyxdy=2y/xdxdzz/xdx因此，對稱解滿足yz=2y/x2zy2x=-z/x4根據(jù)對稱性化簡微分方程組一般情況常微分方程組F：(-,x,u:)=0；=1,.,ndx具有如下單參數(shù)變換不變性(單參數(shù)李群變換不變性)x'X(x,u,a)BBaRu'U(x,u,a),=1,.,n反求第一個方程得到a=T(x,ua),上面n+1個方程消去a,可以得到n個表達式V：(x,u：)=1,.,n作新因變量wP=VP(x,u丐)