1、第二講參數(shù)方程1參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上_的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在_，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱_相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做_2幾種常見曲線的參數(shù)方程(1)直線：經(jīng)過點P0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是_(t為參數(shù))(2)圓：以O(shè)(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是_，其中是參數(shù)當圓心在(0,0)時，方程(3)橢圓：中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓的參數(shù)方程有以下兩種情況：橢圓1(a>b>0)的參數(shù)

2、方程是_，其中是參數(shù)橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程是_，其中是參數(shù)(4)拋物線：拋物線y22px(p>0)的參數(shù)方程是(t為參數(shù))1(課本習題改編)若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線的斜率為_2橢圓(為參數(shù))的離心率為_3已知點P(3，m)在以點F為焦點的拋物線(t為參數(shù))上，則|PF|_.4(課本習題改編)直線(t為參數(shù))的傾斜角為_5已知曲線C的參數(shù)方程是(t為參數(shù))則點M1(0,1)，M2(5,4)在曲線C上的是_.題型一參數(shù)方程與普通方程的互化例1已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0<)和(tR)，它們的交點坐標為_思維升華(1)參數(shù)方程化為普通方程常用的消參技巧有

3、代入消元、加減消元、平方后再加減消元等對于與角有關(guān)的參數(shù)方程，經(jīng)常用到的公式有sin2cos21,1tan2等(2)在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時，還要注意其中的x，y的取值范圍，即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性(2013·廣東)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，C在點(1,1)處的切線為l，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則l的極坐標方程為_題型二參數(shù)方程的應用例2在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l經(jīng)過點P(2,2)，傾斜角.(1)寫出圓的標準方程和直線l的參數(shù)方程；(2)設(shè)l與圓C相交于A、B兩點，求|PA|

4、·|PB|的值思維升華根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論：(1)直線與圓錐曲線相交，交點對應的參數(shù)分別為t1，t2，則弦長l|t1t2|；(2)定點M0是弦M1M2的中點t1t20；(3)設(shè)弦M1M2中點為M，則點M對應的參數(shù)值tM(由此可求|M2M|及中點坐標)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；(2)若直線l與曲線C交于A、B兩點，求線段AB的長題型三極坐標、參數(shù)方程的綜合應用例3在直角坐標平面內(nèi)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系曲線C的極坐標方程是4cos，直線l的參數(shù)方

5、程是(t為參數(shù))，M，N分別為曲線C、直線l上的動點，則|MN|的最小值為_思維升華涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解轉(zhuǎn)化后可使問題變得更加直觀，它體現(xiàn)了化歸思想的具體運用(2013·湖北)在直角坐標系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，a>b>0)，在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標方程分別為sin()m(m為非零常數(shù))與b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為_參數(shù)的幾何意義不明致誤典例：(10分)已知直線l的參數(shù)方程

6、為(t為參數(shù))，若以直角坐標系xOy的O點為極點，Ox方向為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程為2cos()(1)求直線l的傾斜角；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點，求|AB|.易錯分析不明確直線的參數(shù)方程中的幾何意義導致錯誤規(guī)范解答解(1)直線的參數(shù)方程可以化為2分根據(jù)直線參數(shù)方程的意義，直線l經(jīng)過點(0，)，傾斜角為60°.4分(2)直線l的直角坐標方程為yx，6分2cos()的直角坐標方程為(x)2(y)21，8分所以圓心(，)到直線l的距離d.所以|AB|.10分溫馨提醒對于直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))來說，要注意t是參數(shù)，而則是直線的傾斜角與此類似

7、，橢圓參數(shù)方程的參數(shù)有特別的幾何意義，它表示離心角方法與技巧1參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧：代入消元、加減消元、平方后加減消元等，經(jīng)常用到公式：cos2sin21,1tan2.2利用曲線的參數(shù)方程來求解兩曲線間的最值問題非常簡捷方便，是我們解決這類問題的好方法3經(jīng)過點P(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))若A，B為直線l上兩點，其對應的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點為M，點M所對應的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：t0；|PM|t0|；|AB|t2t1|；|PA|·|PB|t1·t2|.失誤與防范在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時，不僅僅

8、要把其中的參數(shù)消去，還要注意其中的x，y的取值范圍也即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性A組專項基礎(chǔ)訓練1若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線的傾斜角為_2將參數(shù)方程(0t5)化為普通方程為_3(2013·湖南)在平面直角坐標系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(為參數(shù))的右頂點，則常數(shù)a的值為_4(2013·陜西)如圖，以過原點的直線的傾斜角為參數(shù)，則圓x2y2x0的參數(shù)方程為_5已知曲線C：(參數(shù)R)經(jīng)過點(m，)，則m_.6(2013·重慶)在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系若極坐標方程為cos

9、4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，則|AB|_.7(2012·天津)已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中p>0，焦點為F，準線為l.過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E.若|EF|MF|，點M的橫坐標是3，則p_.8已知曲線C：(為參數(shù))和直線l：(t為參數(shù)，b為實數(shù))，若曲線C上恰有3個點到直線l的距離等于1，則b_.9在直角坐標系xOy中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與曲線C2：(為參數(shù)，a>0)有一個公共點在x軸上，則a_.10若直線l的極坐標方程為cos()3，圓C：(為參數(shù))上的點到直線l的距離為d，則d的最大值為_B組專項能力提升1已知拋物線C1的

10、參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C2的極坐標方程為r(r>0)，若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C1的焦點，且與圓C2相切，則r_.2直線(t為參數(shù))與曲線(為參數(shù))的交點個數(shù)為_3在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為(t為參數(shù))和(為參數(shù))，則曲線C1與C2的交點坐標為_4在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系已知射線與曲線 (t為參數(shù))相交于A，B兩點，則線段AB的中點的直角坐標為_5已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P是橢圓y21上的任意一點，則點P到直線l的距離的最大值為_6已知圓C的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建

11、立極坐標系，直線l的極坐標方程為sin1，則直線l與圓C的交點的直角坐標為_7(2013·遼寧改編)在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系圓C1，直線C2的極坐標方程分別為4sin，cos2.(1)C1與C2交點的極坐標為_；(2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù))，則a，b的值分別為_答案基礎(chǔ)知識自主學習要點梳理1任意一點這條曲線上參數(shù)普通方程2(1)(2)(3)夯基釋疑12.3.44.50°5.M1題型分類深度剖析例1解析將兩曲線的參數(shù)方程化為普通方程分別為y21 (0y1，<x)和y2x，

12、聯(lián)立解得交點為.跟蹤訓練1cossin20解析由(t為參數(shù))，得曲線C的普通方程為x2y22.則在點(1,1)處的切線l的方程為y1(x1)，即xy20.又xcos，ysin，l的極坐標方程為cossin20.例2解(1)由圓C的參數(shù)方程可得其標準方程為x2y216.因為直線l過點P(2,2)，傾斜角，所以直線l的參數(shù)方程為即(t為參數(shù))(2)把直線l的參數(shù)方程代入圓C：x2y216中，得(2t)2(2t)216，t22(1)t80，設(shè)A、B兩點對應的參數(shù)分別為t1、t2，則t1t28，即|PA|·|PB|8.跟蹤訓練2解(1)x2y216.(2)將代入x2y216，并整理得t23t

13、90.設(shè)A、B對應的參數(shù)為t1、t2，則t1t23，t1t29.|AB|t1t2|3.例3解析化極坐標方程4cos為直角坐標方程x2y24x0，所以曲線C是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓化參數(shù)方程(t為參數(shù))為普通方程xy30.圓心到直線l的距離d，此時，直線與圓相離，所以|MN|的最小值為2.跟蹤訓練3解析橢圓C的標準方程為1，直線l的標準方程為xym，圓O的方程為x2y2b2，由題意知，a2b22b2，a23b2，e.練出高分A組1150°解析由直線的參數(shù)方程知，斜率ktan，為直線的傾斜角，所以該直線的傾斜角為150°.2x3y50，x2,77解析化為普通方程為x3

14、(y1)2，即x3y50，由于x3t222,77，故曲線為線段33解析橢圓C的右頂點坐標為(3,0)，若直線l過(3,0)，則03a，a3.4.0<解析由題意得圓的標準方程為2y22，設(shè)圓與x軸的另一交點為Q，則Q(1,0)，設(shè)點P的坐標為(x，y)，則OPOQcoscos.0<.5±解析將曲線C：(參數(shù)R)化為普通方程為x21，將點(m，)代入該橢圓方程，得m21，即m2，所以m±.616解析將極坐標方程cos4化為直角坐標方程得x4，將x4代入得t±2，從而y±8.所以A(4,8)，B(4，8)所以|AB|8(8)|16.72解析根據(jù)拋物

15、線的參數(shù)方程可知拋物線的標準方程是y22px，所以y6p，所以E，F(xiàn)，所以3，所以p24p120，解得p2(負值舍去)8±解析將曲線C和直線l的參數(shù)方程分別化為普通方程為x2y24和yxb，依題意，若要使圓上有3個點到直線l的距離為1，只要滿足圓心到直線的距離為1即可，得到1，解得b±.9.解析將曲線C1與C2的方程化為普通方程求解消去參數(shù)t得2xy30.又消去參數(shù)得1.方程2xy30中，令y0得x，將代入1，得1.又a>0，a.1031解析cos()3，cossin6，直線l的直角坐標方程為xy6.由圓C的參數(shù)方程知圓C的圓心為C(0,0)，半徑r1.圓心C(0,0

16、)到直線l的距離為3.dmin31.B組1.解析拋物線C1的普通方程為y28x，其焦點坐標是(2,0)，過該點且斜率為1的直線方程是yx2，即xy20.圓r的圓心是極點、半徑為r，直線xy20與該圓相切，則r.22解析將參數(shù)方程化為普通方程求解將消去參數(shù)t得直線xy10；將消去參數(shù)得圓x2y29.又圓心(0,0)到直線xy10的距離d<3.因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個交點3(1,1)解析化參數(shù)方程為普通方程然后解方程組求解C1的普通方程為y2x(x0，y0)，C2的普通方程為x2y22.由得C1與C2的交點坐標為(1,1)4.解析化射線的極坐標方程為普通方程，代入曲線方程求t值射線的普通方程為yx(x0)，代入得t23t0，解得t0或t3.當t0時，x1，y1，即A(1,1)；當t3時，x4，y4，即B(4,4)所以AB的中點坐標為.5.解析由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，故直線l的普通方程為x2y0.因為P為橢圓y21上的任意一點，故可設(shè)P(2cos，sin)，其中R.