1、點、線、面之間的位置關(guān)系 垂直關(guān)系知識講解一、線面垂直1 .定義:如果一條直線和一個平面相交于點 O,并且和這個平面內(nèi)過交點的任何直線都垂直，則稱這條直線與這個平面互相垂直.1）這條直線叫做平面的垂線，這個平面叫做直線的垂面，交點叫垂足.2）垂線上任意一點到垂足間的線段，叫做這個點到這個平面的垂線段.垂線段的長度叫做這個點到平面的距離.3）如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直.4）畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如下圖.直線l與平面豆互相垂直，記作l，口 .2 .線面垂直的判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線

2、與這個平面垂直.符號語言表述：la,lb,a,b ： ,aDb =A= l 、圖像語言表述:4.線面垂直的性質(zhì)(1)一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線(2)推論1：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面;(3)推論2:如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行;垂直于同一直線的兩個平面平行5.證明線面垂直的方法(1)線面垂直的定義(2)線面垂直的判定定理(a_Lb,a_Lc,bU 口，cUn,br|c = M= a -L )(3)平行線垂直平面的傳遞性(a|_|b, ba -L )面面垂直的性質(zhì)(c(_LB,c(nP=l,a:=P,

3、a_Ll=a_Lc()(5)面面平行的性質(zhì)(a_La,aJP= a _LP )(6)面面垂直的性質(zhì)(c(nP=l,ct_L/,B_L，=l_L/)面面垂直1.定義：如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，則稱這兩個平面互相垂直2.平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.符號語言表述：m ：m圖像語言表述:3 .面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線 垂直于另一個平面符號語言表述：:- 一 一：；n一：=l,m- -,m_l= m,：圖像語言表述:4 .面面垂直的性質(zhì)

4、(1)兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么兩相交平面的交線垂直于第三個平面(2)兩平面互相垂直，過公共交線上一點做一個平面的垂線，則這條直線在第二個平面內(nèi)5 .證明面面垂直的方法(1)面面垂直的定義(2)面面垂直的判定定理(ct _LP,auan aP )三、垂直模型總結(jié)1 .勾股定理222a b =c = AC _ CB2 .等腰三角形三線合一AB =AC , D 為 BC 重點二 ADBC3 .直徑所對的圓周角為直角BD =CD =AD = BA _ AC4 .菱形對角線垂直平分在菱形 ABCD中=BD-LAC5 .正方形、矩形臨邊垂直AB - BC , BC _ CD6 .正方形中點連線

5、垂直在正方形 ABCD中，E, F為CD, BC的中點= AE-LDF7 .直棱柱、正棱柱中側(cè)棱垂直底面在直三棱柱中 二AD，面 ABC , AD _L AB , AD _L BC , AD _L AC典型例題舉題（共10小題）1 . （2018?云南模擬）在正方體ABCA A1B1C1D1中，點P是線段BG上任意一點,則下列結(jié)論中正確的是（）A. ADiXDPB. API BiC C ADP D AiP BiC【解答】解：在正方體ABCD- AiBiCiDi中,BiC，BQ, Bid AB,BG A AB=B,. BiC,平面 ABCDi,點P是線段BG上任意一點，API BiC.故選：B.

6、2. （20i8春?武邑縣校級月考）如圖，四棱錐 P-ABCD中，PABtzXPBC是正三角形，平面PAB1平面PBC AC BD,則下列結(jié)論不一定成立的是（）A. PB，AC B. PD，平面 ABCDC. ACPD D.平面 PBD，平面 ABCD【解答】解：在A中，取PB中點O,連結(jié)AO、CO,四棱錐P-ABCD中，zPAB與4PBC是正三角形，平面 PABL平面PBC ACXBD,AO PB, CO PB,. AOn CO=OPB，平面 AOC,. AC?平面 AOC, , PBl AC,故 A 成立；在B中，.PAB與APBC是正三角形，a PA=PC AB=AC設(shè)ACA BD=M,

7、連結(jié)PM,則PMXAC, PD與AC不垂直，PD與平面ABCD不垂直，故B不成立；在 C中，PB，平面 AOC AC?平面 AOC .,.AC PB,v AC BD, PBA BD=B, AC，平面 PBD,. PD?平面 PBD, .-.AC PD,故 C 成立；在D中，.AC!平面PBD, AC?平面ABCD平面PBD1平面ABCD 故D成立.3. （2016秋？湖北期末）如圖，四邊形 ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A、B的一點，則下面結(jié)論中錯誤的是（A. AE，CE B. B已DE C. DE，CE D.面 ADEW BCE【解答】解：由AB是底面圓的直徑，則ZAEB=,即A

8、ELEB.V四邊形ABCD圓柱的軸截面，；AD，底面AEB, BOI AEB.可得：BEX DE,因此BE!平面ADE同理可得：AE CE平面BCEL平面ADE.可得A, B, D正確.而DEX CE不正確.故選：C.4. （2016秋？杭州期末）如圖所示，四邊形ABCD中，AD/BC, AD=AB, / BCD=45,/BAD=90,將 ABD沿BD折起，使面ABD上面BCD連結(jié)AC,則下列命題正確的是（A.面 ABDXW ABC B 面 ADCXW BDC C 面 ABCL面 BDC D.面 ADCXW ABC【解答】解：由題意知，在四邊形 ABCD中，CD BD.在三棱錐 A- BCD中

9、，平面 ABD,平面BCD 兩平面白交線為 BD,所以CD,平面ABD,因此有AB CD.又因為ABAD, ADA DC=D,所以ABL平面ADC,于是得到平面ADC，平面ABC 故選：D.5. （2017春？昆都侖區(qū)校級期中）如圖， 4ABC是直角三角形，/ABC=90, PA，平面ABC,此圖中直角三角形的個數(shù)為（）SA. 1B. 2 C. 3 D. 4【解答】解：.ABC是直角三角形，/ ABC=90, PA1平面ABC, .AB，BC, PAL BC,ABn PA=ABC，平面 PAB,圖中直角三角形有 ABC （/ABC是直角）， PAC （/PAC是直角），zPAB（/PAB是直角

10、），zPBC （ / PBC是直角），;圖中直角三角形有4個.故選：D.6. （2017?青州市模擬）如圖，在三棱錐A- BCD中，AB，平面BCD /ACB=45,/ADB=30, /BCD=120, CD=4Q WJ AB=（）AA. 10 B. 20 C. 30 D. 40【解答】解：設(shè)BC=x.在三棱錐 A BCD中，AB，平面 BCD, /ACB=45, /ADB=30, /BAC玄 ACB=45, / BAD=60 , / ABCBD=90 ,AB=x AD=2x, BD=一,Z BCD=120, CD=40cos120=,解得x=40或x=- 20 （舍）.AB=40故選：D.7

11、. （2017秋？贛州期中）設(shè)a, B為不重合的平面，m, n為不重合的直線，則下 列命題正確的是（）A.若 m? a, n? B, m / n,則 all 0B.若 n, a, n 0, m 0,則 m aC.若 m / a, n / B, m，n,則 a pD.若 a, 0, n p, m，n,則 m，a【解答】解：A若m? a, n? B, m / n,則all B或a與B相交，故不正確；B若 n, a, n B, m & 則 m a,由 n, a, n B可得 all B,又因 m 0,所 以m a.故正確；C若m/ a, n II B, mn,則a, 0不正確，也可能平行；D若 a

12、B, n B, mn,則 m a,不正確，可能有 m? a；故選：B.8. （2015秋？臨海市校級月考）在三棱錐 A- BCD中，若ADBC, BDAD, BCD是銳角三角形，那么必有（）A.平面ABD，平面ADC B.平面ABD，平面ABCC.平面ADC，平面BCDD,平面ABC1平面BCD【解答】證明：由AD BC, BD AD? AD，平面BCD, AD?平面ADC,平面ADC1平面BCD故選：C.9. （2014秋？興慶區(qū)校級期末）兩個平面平行的條件是（A. 一個平面內(nèi)一條直線平行于另一個平面B. 一個平面內(nèi)兩條直線平行于另一個平面C. 一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行于另一個平面D. 一

13、個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面如圖/ & 1? %但% B卻相交.錯1/ B, 1? % m / B, m? a 但 & B 卻相交.錯類似于在a內(nèi)有無數(shù)與l平行的直線，它們均與B平行，但a, B卻相交,錯可知，兩個平面無公共點，它們平行. 對故選：D.10. （2015秋？東昌區(qū)校級期中）過4ABC所在平面a外一點P,彳PO, a,垂足為 O,若 PA! PB, PB PC, PCX PA 則點 O 是 4ABC 的（）A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.外心【解答】解：連接AO并延長交BC于一點E,連接PO,由于PA PB, PC兩兩垂直可以得到PAL面PBC,而BC?面PBC. BC P

14、A,POL 平面 ABC于 O, BC?面 ABC, 二 POL BC, ；BC，平面 APE AE?面 APE,BC AE;同理可以證明才 CHU AB,又BHAC.H是4ABC的垂心.二.填空題（共4小題）11. 過平面外兩點，可作 0或1個平面與已知平面平行.【解答】解：兩點與平面的位置不同，得到的結(jié)論是不同的， 當(dāng)這兩點在平面的同一側(cè)，且距離平面相等，這樣就有一個平面與已知平面平行， 當(dāng)這兩點在平面的異側(cè)，不管兩個點與平面的距離是多少， 都沒有平面與已知平 面平行，這樣的平面可能有，可能沒有，故答案為：0或1.12. （2015春?上海校級期末）點P為4ABC所在平面外一點，PO,平面

15、ABC 垂足為O,若PA、PR PC兩兩垂直，則點。是 ABC的 垂 心.【解答】證明：連結(jié)AO并延長，交BC與D連2g BO并延長，交AC與E;因 PAI PB, PAI PC,故 PA，面 PBC 故 PA! BC;因 PO上面 ABC,故 PO BC,故 BC，面 PAQ故 AO, BC即 ADXBC;同理：BEX AC;故。是 ABC的垂心.故答案為：垂.13. （2015春？上海校級期中）如圖所示，以等腰直角三角形ABC斜邊BC上的高AD為折痕.使4ABD和4ACD折成互相垂直的兩個平面，則 / BAC= 60 .【解答】解：設(shè)AB=AC=1則BD=CDh,v BD，平面 ADC,

16、CD?平面 ADC,，BD1CD,v BDC是等腰直角三角形， BC= CD1,.ABC是正三角形， . / BAC=60.故答案為：60 .14.直角4ABC的兩條直角邊BC=3 AC=4, PCJ_平面ABC, PC= , JM點P到斜邊AB的距離是 3 .【解答】解：:ABC的兩條直角邊BC=3, AC=4, .AB=5,過C作CMXAB,交AB于M ,連結(jié)PM,由三垂線定理得PMXAB,點P到斜邊AB的距離為線段PM的長，由 -，得 CM= -,PM= 一 =3.點P到斜邊AB的距離為3.故答案為：3.p三.解答題（共2小題）15.如圖所示，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，側(cè)棱 AAi,底面ABC AB=AC=1AAi=2, /B1A1C1=90, D 為 BB1 中點,求證：AD，平面 A1DC1.【解答】證明：:AA，平面A1B1C1,AAi XA1C1又 A1C1M1B1,. A1C1,平面 A1B1BAAD ACAD= 一, A1D= 一, AA1=2,由 AD2+A1 D2=,得 AD，AD.A1C1nA1D=A116. (2017秋？東湖區(qū)校級期末)如圖，在正方體 ABCD- AiBiCiDi中，E是AA