1、高二文科立體幾何復(fù)習(xí)講義一、基礎(chǔ)知識(shí)梳理:1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些 面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表不：用各頂點(diǎn)字母，如五棱枉 ABCDE - A BC D E或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱AD幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截 面是與底面全等的多邊形。(2)棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為

2、分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表不：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐 P - A B C D E幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平 方。(3)棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái) P -a'b'c'd'e'幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底

3、面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。(6)圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。(7)球體：定義： 以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影)；側(cè)視圖(從左向右

4、)俯視圖(從上向下)注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。3-空間幾何體的直觀圖一一斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法特點(diǎn)： 原來(lái)與x軸平行的線段仍然與 x平行且長(zhǎng)度不變；原來(lái)與y軸平行的線段仍然與 y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。(2)特殊幾何體表面積公式S直棱柱側(cè)面積=ch1SE棱臺(tái)側(cè)面積=(cl c2)h2S圓柱表=2二r r l(c為底面周長(zhǎng)，h為高，h為斜高，1 一S圓

5、柱側(cè)=2 rh S正棱錐側(cè)面積=chSa臺(tái)側(cè)面積=(r，R)：l2S圓錐表=江r (r +1 )Su臺(tái)表=江(rl為母線)S圓錐側(cè)面積二二rl2rl Rl R(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式V柱=Sh如柱=Sgi 2r h % =- Sh3V臺(tái)=1 (S1 +JSS +S)hV圓臺(tái)=1(S' + JSS +S)h =1兀(r 2+ rR + R )h(4)球體的表面積和體積公式：V球=f nR3 ； S球面=4n R234、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系(1)平面 平面的概念：A.描述性說(shuō)明；B.平面是無(wú)限伸展的； 平面的表示：通常用希臘字母a、3、丫表示，如平面a (通常寫在一個(gè)銳角內(nèi)

6、)；也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面BC。 點(diǎn)與平面的關(guān)系： 點(diǎn)A在平面a內(nèi)，記作AWa ；點(diǎn)A不在平面a內(nèi)，記作A任a點(diǎn)與直線的關(guān)系： 點(diǎn)A的直線l上，記作：ACl；點(diǎn)A在直線l外，記作A巧；直線與平面的關(guān)系：直線l在平面a內(nèi)，記作l二a ;直線l不在平面a內(nèi)，記作l遼a。(2)公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。(即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線)應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)用符號(hào)語(yǔ)言表示公理 1： AWLBWliAW&BWotn l Ua(3)公理2:經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論：一直線和直線外

7、一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用： 它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)它是證明平面重合的依據(jù)(4)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線符號(hào)：平面a和3相交，交線是 a,記作a n 3 = a。符號(hào)語(yǔ)言：PWaDb= Ap|B=l,PWl公理3的作用：它是判定兩個(gè)平面相交的方法。它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)。它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。(5)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行(6)空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線

8、異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。異面直線判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別引直線a'/a, b'/b,則把直線a'和b'所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是(0。，90。,若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這 兩條異面直線互相垂直。說(shuō)明：(1)判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理(2)在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)。是任取的，而和點(diǎn) O的位置無(wú)關(guān)。求異面直線所成角步驟：A、利用定義構(gòu)造角，可

9、固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來(lái)求角(7)等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi) 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).直線不在平面內(nèi)戶目交一一只有一個(gè)公關(guān)點(diǎn).(或直線在平面外平行一一沒(méi)有公共點(diǎn).三種位置關(guān)系的符號(hào)表不':aUaaCla=A a II a(9)平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒(méi)有公共點(diǎn)；a / 3相交有一條公共直線。a n 3 = b5、空間中的平行問(wèn)題(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面

10、內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行。線線平行二線面平行線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行 二線線平行(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(線面平行一面面平行)，(2)如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。(線線平行一面面平行)，(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理(1)如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。(面面平行一線面平行)(2)如果兩個(gè)平行平面都和

11、第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。(面面平行一線線平行)7、空間中的垂直問(wèn)題(1)線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角)，就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線

12、平行。面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。9、空間角問(wèn)題(1)直線與直線所成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為 0：兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。兩條異面直線所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線 a, b平行的直線a , b ,形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。(2)直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0一。 平面的垂線與平面所成的

13、角：規(guī)定為90 o平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角, 叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過(guò)斜線上的一點(diǎn)或過(guò)斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面

14、內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角、強(qiáng)化練習(xí):1,1 .如圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為那么這個(gè)幾何體的體積為（D ）A. 1 B. -C. 1236（單位長(zhǎng)度：cm）,則此幾何體的表面積是（A ）（第2題（第3題）A. (20 4.2)cm22B. 21cmC. (24 4.2)cm2D. 24cm24.12012高考江西文7】若一個(gè)幾何體的三視圖如

15、圖所示，則此幾何體的體積為3.如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)均為2,且側(cè)棱AA1_L面ABQ1,正視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，該三棱柱的左視圖面積為（B ）A. 4B. 2.3C. 2 211A .2【答案】B.5C.49D.2【解析】通過(guò)觀察三視圖，確定幾何體的形狀，繼而求解通過(guò)觀察幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為六邊形（2條對(duì)邊長(zhǎng)為1 ,其余4條邊長(zhǎng)為J2 ）,高為1的直棱柱.所以該幾何體的體積為 V = sh= 1<2 + 2<-<2y2, I2父1 =4故選D.5.12012高考全國(guó)文8】已知正四棱柱 ABCDABC1D1中，AB=2, CG = 2 J2

16、 , E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC,與平面BED的距離為(A) 2(B) 73(D) 1【答案】D6.設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V, P、Q分別是側(cè)棱 AA、CC上的點(diǎn)，且PA=QC,則四棱錐 B-APQC勺體積為(C )A lv6B. 1V4C 3VD.7.如圖，在多面體ABCDEF,已知面 ABCD!邊長(zhǎng)為3的正方形,EF/ ABEF與面AC的距離為2,則該多面體的體積為（ D ）B. 58.（廣東文）.如圖1 3,某幾何體的正 是等邊三角形，等腰三角形和菱形，則和俯視圖分別俯視圖圖3A. 4格C. 2 "D. 2B. 41（C）.該幾何體是一個(gè)底面為麥形的四棱錐，麥形

17、的面積S = M2M2J3 = 2J3 ,四棱錐的高為3 ,2-11_則該幾何體的體積V二Sh=2 .3 3=2,、3339.12012高考上海文5】一個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為 2元，該圓柱的表面積為 【答案】6二【解析】根據(jù)該圓柱的底面周長(zhǎng)得底面圓的半徑為r =1 ,所以該圓柱的表面積為：2“ 柱表=2 二rl 2二 r =4 二 2奠=6 二.10.12012高考江蘇7（5分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDABGD1中，AB=AD=3cm, AA1=2cm,則四棱錐A-BB1D1D的體積為 cm3.【答案】6?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，棱錐的體積?！窘馕觥慷L(zhǎng)方體底面ABCD是正方形，ABD中BD=

18、3，2 cm, BD邊上的高是3 J2cm （它也是ABB1D1D中2BB1D1D上的高）。四棱錐 ABBD1D的體積為1父3我父2父3寸5=63211.12012高考山東文13如圖，正方體 ABCD AB1CQ1的棱長(zhǎng)為1, E為線段BC上的一點(diǎn)，則三棱錐 A-DED1的體積為 .6考點(diǎn)：空間多面體的體積解析：求A DEDi的體積，顯然為定值，也就是說(shuō)三棱錐的地面面積與三棱錐的高都為定值，因此，我們需1要找底面二角形的面積為定值，二角形ADD1的面積為一（為定值），而E點(diǎn)到底面ADD1的高正合適為正方1211體的高為1 （為定值），因此體積為 一612.12012高考天津文科10】一個(gè)幾何體

19、的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積 m3.【答案】30【解析】由三視圖可知這是一個(gè)下面是個(gè)長(zhǎng)方體，上面是個(gè)平躺著的五棱柱構(gòu)成的組合體。長(zhǎng)方體的體積為（1 2）3 M 4 M 2 = 24 ,五棱柱的體積是 M1 M 4 = 6 ,所以幾何體的總體積為 30。213.12012高考新課標(biāo)文19（本小題滿分12分）如圖，三棱柱 ABCAiBiCi中，側(cè)棱垂直底面，/ ACB=90 , AC=BC= 2aa n D是棱AA 1的中點(diǎn)(I)證明：平面 BDCJ平面BDC(n)平面BDCi分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì) 及幾何

20、體的體積計(jì)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力，是簡(jiǎn)單題【解析】(I )由題設(shè)知 BC± CC1 ,BC± AC, CC1 c AC = C ,面 ACC1A, 又DC1 二面 ACC1A , . . DC1 _L BC ,由題設(shè)知 ZA1DC1 =/ADC =450, .NCDC1=90°,即 DC1 _L DC,又.DC c BC =C ,DCJ面 BDC ,. DC1 c 面 BDC1 ,面 BDC，面 BDC1 ；1 1 2 . .1(n)設(shè)棱錐 B DACC1的體積為M , AC=1,由題意得，V=一父父1父1=一,322由三棱柱 ABC -A1B1C1的

21、體積V =1, (V -V1):V1=1：1 ,平面BDC1分此棱柱為兩部分體積之比為1:1.14. 在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD ABC1D1中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF與BD交于點(diǎn)G ,棱上BBi一點(diǎn).(1) EF 平面 A1C1D；(n)當(dāng)B1M ： MB的值為多少時(shí)， D1M，平面EFB1,證明之;(出)求點(diǎn)D到平面EFB1的距離.解：(I) E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF / AC ，又 AC/A1C1 ,EF A1C1,，EF 平面 AC1D1 .(II )當(dāng)BM : MB = 1時(shí)，DiM，平面EFBi ,證明如下: BM ： MB = 1 ,A1M 1B1E,又 A

22、1D1 _L 平面 AA1BB1, A1D1 _ B1E, BiE _L 平面AiMD, B1E _L D1M,又 EF _L 平面 DD1 B1 B,GD1M，平面 EFB1(III )設(shè)點(diǎn)D到平面EFB1的距離d ,-VD*EF =VB，4EF，. EF _LD1M，又 EFcB1E = E ,4aT11 ” ,鼻 d S毋EF =.BB1 SQEF， d =3315.12012高考廣東文18】本小題滿分13分)如圖5所示，在四B隹P -ABCD中，AB _L平面PAD , AB /CD , PD = AD , E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD1上的點(diǎn)且DF = AB , PH為L(zhǎng) PAD中AD邊上的高.2(1)證明：PH _L 平面 ABCD ；(2)若 PH=1, AD=J2, FC =1,求三棱錐E -BCF的體積；(3)證明：EF，平面PAB .【解析】(1)證明：因?yàn)?AB _L平面PAD ,所以PH _L AB o因?yàn)镻H為叢PAD中AD邊上的高，所以PH_LAD